精品解析：福建省（全国名校联盟）2026届高三上学期开学摸底联合考试数学试题

全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 2025.8 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上和本试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 5. 若实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 6. 若函数为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 记锐角的内角的对边分别为，已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 11. 已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立.当第号节点发送0时，第号节点收到1的概率为，收到0的概率为；当第号节点发送1时，第号节点收到0的概率为，收到1的概率为.设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______. 13. 记为公比大于1的等比数列的前项和，若，，则__________. 14. 英国数学家约翰•康威发现了有趣的“康威圆定理”，如图，设的内角的对边分别为，依次延长线段至，使得，，则六点共圆，并称此圆为的“康威圆”.已知某三角形的面积为，其一条边长为2，点在该三角形的“康威圆”上运动，若是该三角形内切圆的直径，则的最小值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. （1）已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下表所示（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数； （2）根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若，求的值. 17. 如图，在矩形中，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直角. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，圆与C恰有两个交点． （1）求C的方程； （2）设A为C的左顶点，过F且斜率存在的直线交C的右支于，两点，直线，分别交圆O的另一点于，． ①证明：，，三点共线； ②设直线与直线交于D，证明：点D在定直线上． 19. 已知函数定义在上，记的导函数为. （1）求的单调区间与最小值； （2）若，讨论函数的极值点个数； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 2025.8 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上和本试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，结合数轴求交集. 【详解】由已知，， 所以. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先求，再求共轭复数即可. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 3. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出，利用公式即可求得. 【详解】由可得，则椭圆的长半轴长为短半轴长为， 则其焦距为. 故选：B. 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 5. 若实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式，结合条件即可求解. 【详解】实数满足，由基本不等式得：,当且仅当,即时取等号，则的最小值是4； 故选：C 6. 若函数为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数为减函数等价于恒成立，即；讨论的最值求解. 【详解】因为为减函数， 所以恒成立，即 令，则， 对于函数， 当时，在单调递增，，得； 当时成立； 当时，在单调递减，，得； 综上，的取值范围为. 故选：B. 7. 记锐角的内角的对边分别为，已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和将展开，然后结合已知条件求出，最后根据正弦定理求出. 【详解】因为，， 所以 化简得： 因为是锐角三角形，，所以， 两边同时除以，可得，即， 又因为，所以， 由正弦定理，已知，则， 因为，所以，即，， 因为，根据大边对大角，，且，所以. 故选：D. 8. 设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于， 所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质及线面垂直的性质判断各项的正误. 【详解】A：若，则存在使，又，则，故，对； B：若，则或，错； C：若，则平行或相交都有可能，错； D：若，根据线面垂直的性质知，对. 故选：AD 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用诱导公式和二倍角公式化简函数，再利用三角函数的平移规律得到平移后的函数表达式，结合偶函数的性质求出值，然后逐一分析选项即可. 【详解】， 将图象向左平移个单位长度得， 因为平移后图象关于轴对称，所以，所以， 因为，所以，所以B正确； 又，所以函数的最小正周期为，所以A错误； 令，解得， 当时，函数的单调递减区间为，又， 所以在区间上单调递减，所以C正确； 令，解得，当时，，当时，， 所以图象关于点和点对称，不关于点对称，所以D错误. 故选：BC 11. 已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立.当第号节点发送0时，第号节点收到1的概率为，收到0的概率为；当第号节点发送1时，第号节点收到0的概率为，收到1的概率为.设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式，结合已知条件，分别计算不同情况下第号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为，再逐一分析选项即可. 【详解】当基站（0号节点）发送信号1时，1号节点接收到1的概率为， 当基站（0号节点）发送信号0时，1号节点接收到0的概率为， 所以， 若，则，所以A正确； 当基站（0号节点）发送信号1时，1号节点接收到1，2号节点也接收到1的概率为，1号节点接收到0，2号节点接收到1的概率为； 当基站（0号节点）发送信号0时，1号节点接收到0，2号节点也接收到0的概率为，1号节点接收到1，2号节点接收到0的概率为， 所以， 若，则，所以B错误； 设基站发送信号1时，第号节点依次接收到的信号仍是1的概率为， 设基站发送信号0时，第号节点依次接收到的信号仍是0的概率为， 若，则， 对于，有，，，所以C正确； 若，则，， 可得递推关系，，解得，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】若事件相互独立，则. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出曲线过坐标原点的切线方程：______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切点和斜率写出切线方程，并根据切线过原点求得切线方程. 【详解】当时，，则， 曲线在点处的切线方程为. 若该切线经过原点，则，解得，此时切线方程为. 当时，同理可得满足题意的切线方程为. 故答案为：； 13. 记为公比大于1的等比数列的前项和，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件解得基本量和，再由前项和公式即可得. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即. 再由，得，即，解得或（舍去）, . 所以. 故答案为：. 14. 英国数学家约翰•康威发现了有趣的“康威圆定理”，如图，设的内角的对边分别为，依次延长线段至，使得，，则六点共圆，并称此圆为的“康威圆”.已知某三角形的面积为，其一条边长为2，点在该三角形的“康威圆”上运动，若是该三角形内切圆的直径，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】由题可得的“康威圆”的圆心与内切圆的圆心重合，则由弦长公式可得：，所以,假设,过作的垂线，交为,设，所以可看着点到点和的距离之和，故要使最小，等价于点到点的距离，求出的最小值即可求解. 【详解】设的“康威圆”的半径为,其圆心为,内切圆半径为,内切圆圆心为, 因为,所以到,,的距离相等，则的“康威圆”的圆心与内切圆的圆心重合， 则到的距离为内切圆半径,由弦长公式可得：,则 由于,所以, 由于三角形的面积为，其一条边长为2，不妨假设,过作的垂线，交为,设, 所以,则,,, 所以可看作点到点和的距离之和，由于点在直线上运动，点关于的对称点为，故当取最小值，等价于点到点的距离，则，当时，即为中点，则△ABC为等腰三角形时，取最小值为4，所以, 故答案为：9 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个. （1）已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下表所示（其中，是正整数） 服务评分 8.5 9 9.5 10 订单数量 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数； （2）根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关. 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）8.25 （2）订单获得好评与服务改进有关 【解析】 【分析】（1）先根据题意计算出和的值，再依据百分位数的计算方法求解即可； （2）先根据题意计算出服务改进前好评订单的数量，进而完成列联表，进行独立性检验时，提出零假设，计算，根据与临界值大小关系即可判断结论. 【小问1详解】 根据题意，这100个好评订单评分的极差为2， 因此，解得， 又有，解得， 因为，所以这100个好评订单的第40百分位数为服务评分按从小到大的顺序排列后的第40个订单和第41个订单服务评分的平均数，即. 故这100个好评订单的第40百分位数为8.25. 【小问2详解】 根据题意，服务改进前好评订单的数量为，由此可得列联表如下： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 零假设：订单获得好评与服务改进无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即订单获得好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】（1）； （2）100或97 【解析】 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）得到，分为偶数和奇数两种情况，分组求和，进而分为奇数和偶数，求出答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， 若为偶数，则， 若为奇数，则， ，若为偶数，则，解得， 若为奇数，则，解得， 综上，或97 17. 如图，在矩形中，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直角. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理和勾股逆定理得到，由二面角为直角得到面面垂直，进而得到线面垂直，故⊥，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，得到两法向量夹角余弦值，进而求出面面角的正弦值. 【小问1详解】 矩形中，，故， 又，由勾股定理得， ， 又，故， 由勾股定理逆定理得， 因为二面角为直角，即平面⊥平面，交线为， 又⊥，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； 【小问2详解】 平面中，过点作⊥，过点作⊥于点， 则，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由于，故， 所以，， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，，故， 所以， 平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，圆与C恰有两个交点． （1）求C的方程； （2）设A为C的左顶点，过F且斜率存在的直线交C的右支于，两点，直线，分别交圆O的另一点于，． ①证明：，，三点共线； ②设直线与直线交于D，证明：点D在定直线上． 【答案】（1） （2）①将双曲线与圆按：平移，；即，； 令，齐次化联立得：， 由于斜率均存在，故同除以； 所以，所以，所以O，P，Q三点共线． ②又因为，所以， 所以且，所以， 所以，所以，即与交于，平移回去， 所以PQ与MN交于． 【解析】 【分析】（1）由圆与C恰有两个交点可知，通过离心率结合双曲线定义即可求出，，进而求出方程. （2）①将双曲线与圆向右平移一个单位，得到新的曲线，在此基础下设出相应的直线，与之进行联立，结合韦达定理得到，根据直径所对圆周角为直角进而知道P，O，Q三点共线； ②在平移之后的情况下联立求出相对应的点D位于直线上，再平移回去即可求出点D在定直线上. 【小问1详解】 因为圆与C恰有两个交点，由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以，又，所以， 故，所以双曲线C的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 已知函数定义在上，记的导函数为. （1）求的单调区间与最小值； （2）若，讨论函数的极值点个数； （3）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，再根据单调性求解函数的最小值； （2）先求，再通过导数的单调性，函数图象交点的个数，判断其零点个数，进而确定函数极值点的个数； （3）构造函数，求的导数得，分析与0的大小,得到的单调性，得到的最小值为，再通过最小值的形式，构造函数，利用构造函数是上的增函数，得到，从而得到所证. 【小问1详解】 的定义域为， ，令，即，得. 当时，，在上是单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 的单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为． 【小问2详解】 ，， ， 令，即，变形得， 由（1）知的最小值为， 当时，与的图象没有交点，即，无极值点； 当时，与的图象有且只有一个交点，即有一个解， 但在该点两侧同号，无极值点； 当时，与的图象有两个交点，即有两个解， 又， ，， 在区间各有唯一零点和，且由的单调性，在和单调递增，在单调递减，在上无其它零点, 故有且仅有2个极值点. 综上，当时，无极值点；当时，有且仅有2个极值点． 【小问3详解】 ， 则， 即， 令，即，解得． 当时，单调递减； 当时，单调递增， 则为的最小值， 故， 设， ， ，易知，，是上的增函数， ，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $