第八章 第5节 椭圆（第一课时）（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第八章　平面解析几何 第5节 椭圆 第一课时 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　椭圆的定义★★★☆☆ 知识点2　椭圆的标准方程和几何性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点1　椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距. 注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论： (1)若a＞c，则集合P为 椭圆； (2)若a＝c，则集合P为 线段F1F2； (3)若a＜c，则集合P为 空集. 知识点2　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为 2a； 短轴B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|＝ 2c 离心率 e＝ ∈(0,1) a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 【名师点拨】 1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a. 4．e＝.离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆． 5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 6．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 7．若M、N为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考向一 椭圆的定义及应用——自主练透 1.过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程为 　. 【解析】将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝36，圆心B(－2,0)，r＝6，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C. 则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， ∴|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝6>4＝|AB|， ∴点M的轨迹是以点B(－2,0)，A(2,0)为焦点、线段AB中点O为中心的椭圆，且a＝3，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝5， ∴所求轨迹方程为＋＝1. 2．已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为 9　，若A(1,1)，则|PA|＋|PF1|的取值范围为 　. 【解析】由椭圆的方程＋＝1知，a＝3，c＝2， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF1|·|PF2|≤2＝9，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为9. ∴|PA|＋|PF1|＝|PA|－|PF2|＋6. 由椭圆方程＋＝1知c＝＝2， ∴F2(2,0)，∴|AF2|＝. 利用－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|(当P、A、F1共线时等号成立)． ∴|PA|＋|PF1|≤6＋，|PA|＋|PF1|≥6－. 故|PA|＋|PF1|的最大值为6＋，最小值为6－. 3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3，则b＝ 　. 【解析】|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2， 即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2， 所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝b2， 又因为S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3.故填3. [引申]本例2中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF1|－|PA|的最大值为 　，|PF1|＋|PA|的最大值为 8　. 【解析】∵|PF2|＋|PA|≥|AF2|＝2(P在线段AF2上时取等号)，∴|PF1|－|PA|＝6－(|PF2|＋|PA|)≤4， ∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(当P在AF2延长线上时取等号)，∴|PF1|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8. 【名师点拨】 1．椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)解决与焦点有关的距离问题． 2．焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等． 注：S△PF1F2＝b2tan. 【变式训练】(2024·江苏淮安淮阴中学期中)已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为( D ) A．3 B．6 C．4＋2 D．5＋2 【解析】圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0,3)，r＝1，设椭圆的左焦点为F1，如图，由椭圆的定义知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋1＋|PF|＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，当且仅当M，P，F1三点在一条直线上时取等号，M(0,3)，F1(－，0)，|MF1|＝2，(|PQ|＋|PF|)max＝5＋2.故选D. 考向二 椭圆的标准方程——师生共研 1.短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为的椭圆的标准方程为 　. 【解析】由已知，有解得 从而b2＝a2－c2＝9. ∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 2．经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点的椭圆的标准方程为 　. 【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， ∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上， ∴解得m＝，n＝. 故椭圆方程为＋＝1. 3．与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－)的椭圆的标准方程为 　. 【解析】若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得t＝＋＝2. 故所求方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，∴所求方程为＋＝1. 综上可知椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 4．(多选题)(2024·重庆调研)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是( ) A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为± C．存在点P满足∠F1PF2＝90° D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－ 【解析】依题意a＝4，b＝3，c＝， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误； |F1F2|＝2，×2×|y0|＝2，|y0|＝2， x＝＝＝，x0＝±，B正确； cos∠F1PF2＝≥＝＝＝>0，“≥”中的等号成立的条件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在P满足∠F1PF2＝90°，C错误； 设P(x0，y0)， ＋＝1,9x＋16y＝144，y＝(16－x)， A1(－4,0)，A2(4,0)， kPA1·kPA2＝·＝＝＝－，D正确．故选BD. [引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为 　. 【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1，则＋＝1，解得λ＝±2，又3＋λ>0，∴λ＝2，故椭圆标准方程为＋＝1. 【名师点拨】 1．求椭圆标准的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件． 2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置； (2)设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)； (3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组； (4)求解，得方程． 可概括为先“定位”，再“定量”． 3．椭圆系方程的应用 (1)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的离心率椭圆系方程为＋＝λ(λ>0)． (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 【变式训练】 1．(多选题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是( ) A．若1<t<3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t<1 【解析】若C为椭圆则则1<t<2或2<t<3.∴A错； 若C为焦点在y轴上的椭圆则t－1>3－t>0， 则2<t<3，∴B对；显然t＝2时，曲线C是圆． ∴C对；若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0，则t>3或t<1.∴D错．故选BC. 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( ) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋y2＝1 【解析】因为离心率e＝＝＝， 解得＝，b2＝a2， A1，A2分别为C的左右顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)， B为上顶点，所以B(0，b)． 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)， 因为·＝－1， 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入， 解得a2＝9，b2＝8， 故椭圆的方程为＋＝1.故选B. 考向三 椭圆的几何性质——多维探究 角度1　椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴 1.(2025·安徽蚌埠质检)若椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．6 B．或2 C．2 D．2或2 【答案】D 【解析】当焦点在y轴时，由e＝＝，解得m＝，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2；当焦点在x轴时，由e＝＝，解得m＝6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2＝2.故选D. 【名师点拨】研究椭圆几何性质的步骤 (1)将所给方程化成椭圆的标准形式． (2)根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上． (3)准确求出a，b进而求出椭圆的其他特征值． 角度2　求椭圆的离心率 1．(2024·江西名校教研联盟开学考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且ab＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意知c＝1，故a2＝b2＋c2＝b2＋1①，且ab＝②，联立①②解得a＝，C的离心率e＝＝.故选D. 2．(2025·江苏南通如皋中学测试)F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C．－ D．－ 【答案】A 【解析】如图所示，设|AF1|＝m，因为AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，所以|AB|＝2m，|AF2|＝2a－m，|BF1|＝m，|BF2|＝2m－(2a－m)＝3m－2a，所以m＋3m－2a＝2a，解得m＝＝，所以3m2＝(16－8)a2,6am＝(12－4)a2，在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋(2a－m)2－2m(2a－m)cos 60°，化为4c2－4a2＋6am－3m2＝0，所以4c2－4a2＋(12－4)a2－(16－8)a2＝0，化简得e2＝2－，所以e＝，故选A． 3．(2025·山西大同调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c,0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝2，||＝4||，则椭圆C的离心率为________. 【答案】 【解析】因为＝2，＝2所以F2N∥F1M，且|F2N|＝|F1M|，延长MF1交椭圆于点Q，则由对称性可设|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，因为|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝.则由|QM|＝a，|F2M|＝，|F2Q|＝，得∠QMF2＝90°，在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2可得5a2＝9c2，∴离心率e＝. 【名师点拨】求椭圆离心率的方法 (1)由已知条件列方程组，求出a，c(或a，b)的值，由e＝求解． (2)由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．注意e∈(0,1)． 角度3　求椭圆离心率的取值范围 1．(2024·河南许昌中学定位考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. 【答案】{e|－1<e<1} 【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知＝.因为＝，椭圆离心率e＝，所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.① 又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a， 将①代入可得|PF2|＝. 又a－c<|PF2|<a＋c，所以两边同除以a得1－e<<1＋e.又0<e<1， 所以{e|－1<e<1}． 2．(2025·山西部分学校月考)设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则|PF2|＝|F1F2|＝2c，且需满足以F2为圆心，以|PF2|为半径的圆与椭圆有交点，即2c≥a－c，即e＝≥，又e<1，故椭圆离心率的取值范围是，故选C． 【名师点拨】求椭圆离心率取值范围的方法 一般借助几何量的取值范围(如|x|≤a，|y|≤b，0<e<1)建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系求解，或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解． 【变式训练】 1．(角度1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝，则C的长轴长为(　　) A．2 B．2 C．2＋ D．2＋2 【答案】D 【解析】椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)， 则c＝1， ∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2， 由余弦定理可得 |PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos ，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2× ， 解得a＝1＋，a＝1－(舍去)， ∴2a＝2＋2，故选D. 2．(角度2)(2025·广东三校模拟)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵·＝0，∴FB⊥AB，∴|FB|2＋|AB|2＝(a＋c)2，即b2＋c2＋a2＋b2＝(a＋c)2，整理得2ac－2b2＝0，即ac＝a2－c2，∴＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，求得e＝，∵e>0，∴e＝，故选B. 3．(角度3)(2024·云南昆明一中双基检测)已知点P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·≤0，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∴c≥b，即c2≥a2－c2⇔e2＝2≥⇔e≥.又e∈(0,1)，∴≤e<1.故选D. 【知识拓展】 与椭圆有关的最值问题 1．(2025·浙江数海漫游模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2的一条直线与C交于A，B两点，且AF1⊥AB，|BF2|＝1，则椭圆长轴长的最小值是(　　) A．4 B．3＋2 C．6 D．4＋2 【答案】B 【解析】设|AF2|＝t，则|AB|＝t＋1，|BF1|＝2a－1，|AF1|＝2a－t，由AF1⊥AB得(t＋1)2＋(2a－t)2＝(2a－1)2，则2a＝>0，有t>1，所以2a＝＝(t－1)＋＋3≥3＋2＝3＋2，当且仅当(t－1)＝，即t＝1＋时取等号．则椭圆长轴长的最小值是3＋2.故选B. 2．(2024·山东烟台、德州诊断)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(2,3)，向量＝m＋n，且m－n－4＝0.若P为椭圆x2＋＝1上一点，则||的最小值为(　　) A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设点C(x，y)，由A(－1,0)，B(2,3)及＝m＋n，得(x，y)＝(－m＋2n,3n)，即而m－n－4＝0，消去m，n得：3x－y＋12＝0，设椭圆x2＋＝1上的点P(cos θ，sin θ)，θ∈R，则点P到直线3x－y＋12＝0的距离d＝＝，其中锐角φ由tan φ＝确定，当sin(θ－φ)＝1时，dmin＝，而||≥d，所以||的最小值为.故选A． 【名师点拨】与椭圆有关的最值问题的解法 1．利用数形结合，利用椭圆的性质或直线与椭圆的位置关系求解． 2．利用基本不等式求解． 3．构造函数，利用椭圆方程消元，化为二次函数求解．注意自变量的取值范围． 4．椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，可用三角换元法求解，即令x＝acos θ，y＝bsin θ，将其化为三角函数最值问题求解． 【变式训练】 (2024·江苏南通海安中学月考)P为椭圆C：＋y2＝1上一点，A(1,0)，则|PA|最小值为(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：设P(x，y)，则|PA|＝＝＝，由于－2≤x≤2，故当x＝时，|PA|min＝.故选D. 解法二：设P(2cos θ，sin θ)，θ∈R，则|PA|＝＝＝＝，由于－1≤cos θ≤1，故当cos θ＝时，|PA|取最小值，故选D. 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2024·四川成都七中开学考)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．20 【答案】C 【解析】因为焦距是2，所以c＝1，当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝m－4＝1，解得m＝5，当焦点在y轴时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝4－m＝1，解得m＝3，故选C． 2．(2024·福建百校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为(　　) A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【解析】依题意，椭圆短轴长为2，得b＝，则a2－c2＝b2＝3，又|MF|的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3(a－c)，所以a＝2c，所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2.故选D. 3．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知椭圆G：＋＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为(　　) A． B． C．－ D．－ 【答案】C 【解析】设P(x0，y0)，则有＋＝1，即有y－3＝，由椭圆方程可得其短轴端点坐标分别为(0，)、(0，－)，则kAP·kBP＝·＝＝＝－.故选C． 4．(2024·福建泉州二模)若椭圆＋＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　) A． B． C．2或 D．2或 【答案】D 【解析】若椭圆的焦点在x轴，则离心率e＝＝，得a2＝6，此时焦距2c＝2＝2，若椭圆的焦点在y轴，则离心率e＝＝，得a2＝，此时焦距2c＝2＝，所以该椭圆的焦距为2或.故选D. 5．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知椭圆C：＋＝1(λ>0且λ≠4)，则“C的离心率e＝，是λ＝8”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当焦点在x轴时，e＝＝， 解得λ＝8，当焦点在y轴时，e＝＝， 解得λ＝2，故“C的离心率e＝”是“λ＝8”的必要不充分条件．故选B. 6．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A． 7．(2025·河南平许济络质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】B 【解析】显然离心率e＝＝＝，解得＝，即b2＝a2，A1，A2分别为C的左右顶点，B为上顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，于是＝(－a，－b)，＝(a，－b)，而·＝－2，即－a2＋b2＝－2，又b2＝a2，因此联立解得a2＝8，b2＝6，所以椭圆的方程为＋＝1.故选B. 8．(2025·广西示范性高中质检)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|QF2|＝|PF2|＝(2a－|PF1|)＝a－c.在△QF1F2中，由|F1Q|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，得b2＋(a－c)2＝4c2，则a2－c2＋a2－2ac＋c2＝4c2，得a2－ac－2c2＝(a－2c)(a＋c)＝0，解得a＝2c，所以M的离心率为＝. 9．(2024·河南焦作期中)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点E(0,2)，点P是C上的动点，则|PF|＋|PE|的最小值为(　　) A．5 B．10－2 C．10 D．10＋2 【答案】B 【解析】若F′为椭圆左焦点且F′(－4,0)，则|PF′|＋|PF|＝2a＝10，故|PF|＝10－|PF′|，所以|PF|＋|PE|＝|PE|－|PF′|＋10，而||PE|－|PF′||≤|EF′|＝2，所以－2≤|PE|－|PF′|≤2，仅当P，E，F′共线时取等号，综上，|PF|＋|PE|的最小值为10－2，取值条件为P，E，F′共线且E在P，F′之间．故选B. 二、多选题 10．(2024·山东临沂联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．△PF2F1的周长为4 C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3 D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60° 【答案】AD 【解析】由题意a＋c＝3，a－c＝1，故a＝2，c＝1，故A正确；△PF2F1的周长为2a＋2c＝6，故B错误；若∠F2PF1＝60°，则|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即(2c)2＝(2a)2－3|PF1|·|PF2|，故|PF1|·|PF2|＝4，故S△PF2F1＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，故C错误；由余弦定理|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F2PF1＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cos∠F2PF1)，即4＝16－2×4(1＋cos∠F2PF1)，解得cos∠F2PF1＝，故∠F2PF1＝60°，故D正确．故选AD. 11．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则(　　) A．当a＝b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个 B．△PF1F2的周长一定小于4a C．△PF1F2的面积可以大于 D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【解析】当点P的坐标为(0，b)或(0，－b)时，∠F1PF2最大，此时，若a＝b，则b＝c，所以∠F1PF2＝90°，A正确；△PF1F2周长为2a＋2c<4a，故B正确；△PF1F2的面积为|F1F2||yP|≤bc≤＝，故C错误；因为a－c≤|PF1|≤a＋c，所以a＋c≤2b，可得5c2＋2ac－3a2≤0，得5e2＋2e－3≤0，得－1≤e≤，又e∈(0,1)，所以e∈，故D正确．故选ABD. 三、填空题 12．(2025·湖南长沙长郡中学月考)点M在椭圆＋＝1上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，|ON|＝3，则|MF|＝________. 【答案】4 【解析】如图，根据椭圆的对称性，不妨设F为左焦点，F′为右焦点，由椭圆＋＝1，得a＝5,2a＝10，∵N是MF的中点，O是FF′的中点，∴ON为△FMF′的中位线，∴|MF′|＝2|ON|＝6，∴由椭圆的定义得|MF|＝2a－|MF′|＝10－6＝4. 13．(2025·河北唐山摸底)已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c(a>0，b>0，c>0)，则a2＝b2＋c2，且根据椭圆性质易知F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，所以|AB|＝，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，显然若△ABF为等腰三角形，则只能有|AB|＝|AF|，即a2＋b2＝(a＋c)2⇒a2－2ac－2c2＝0，则1－2－22＝0⇒e＝＝. 14．(2025·广东调研)已知点P在椭圆C：＋y2＝1上运动，D(0,6)，动点Q满足|DQ|＝，则|PQ|的最大值为________. 【答案】6 【解析】依题设P(x，y)，则＋y2＝1，－1≤y≤1，由|DQ|＝，可得点Q的轨迹是以D为圆心，为半径的圆．|DP|2＝x2＋(y－6)2＝10－10y2＋(y－6)2＝－9y2－12y＋46＝－92＋50≤50，|DP|≤5，当且仅当y＝－取等号，即|DP|max＝5，故|PQ|max＝|DP|max＋＝5＋＝6. 15．(2024·云南曲靖一中阶段测试)曲线＋＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为________. 【答案】 【解析】解法一：令x－2y＋m＝0与＋＝1相切，联立整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0， 所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5， 当x－2y＋5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为＝， 当x－2y－5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为＝， 所以曲线到直线距离的最小值为. 解法二：设x＝3cos θ，则y＝2sin θ，则曲线上的点到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝≥＝. ，即dmin＝. 【巩固必刷题】 1．(2025·湖南长沙雅礼中学开学考)过椭圆C：＋＝1的中心作直线l交椭圆于P、Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【解析】设C的另一个焦点为F′，根据椭圆的对称性知|PF|＝|QF′|，所以△PFQ的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|QF|＋|PQ|＝8＋|PQ|，当线段PQ为椭圆短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PFQ的周长的最小值为14.故选B. 2．(2024·江西五市九校联考)若点P既在直线l：x－y＋2＝0上，又在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由|F1F2|＝2，得F1(－1,0)，F2(1,0)，因为∠F1PF2的平分线与l垂直，所以直线PF1，PF2关于l对称，点F1关于直线x－y＋2＝0的对称点为F′1(－2,1)，所以直线F′1F2的方程为y＝－(x－1)，与x－y＋2＝0联立得P，2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝.故选B. 3．(2025·云南昆明摸底)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足＝，若·＝0，·＝0，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设E的左焦点为F′，由＝，可设|FC|＝3t，则|AF|＝2t，由·＝0，结合椭圆的性质知|BC|＝|AC|＝|AF|＋|FC|＝5t，由·＝0，可得|BF|＝4t，又|BF′|＝2t，所以|BF|＋|BF′|＝6t＝2a，解得t＝a，在Rt△BFF′中，由勾股定理得(2t)2＋(4t)2＝(2c)2，即4c2＝20t2＝a2，所以e＝＝.故选D. 4．(2024·河北沧州七县期中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以S△MF1F2＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·＝，又S△MF1F2＝|F1F2|·|yM|＝c·|yM|，所以|yM|＝，又|yM|≤b，所以≤b＝，化简，得≤a2－c2，即≤a－c，解得≤，所以e的最大值为.故选C． 5．(2024·吉林四平期中)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|·(|PF2|＋2)的最大值为________. 【答案】25 【解析】因为点P是椭圆C上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，又由均值不等式可得|PF1|(|PF2|＋2)≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＋2，即|PF1|＝5，|PF2|＝3时等号成立． 【尖子拔高题】(2025·湖北武汉部分学校调研)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2＝90°，∠PAF2＝45°，则椭圆E的离心率为(　　) A． B． C．2－ D．－1 【答案】D 【解析】由椭圆E：＋＝1(a>b>0)，可得F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，不妨设点P(x1，y1)在第一象限，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a， 因为∠F1PF2＝90°，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|2)－2|PF1||PF2|＝4c2， 可得4a2－2|PF1||PF2|＝4c2， 所以|PF1||PF2|＝2(a2－c2)＝2b2， 所以△F1PF2的面积为S＝|PF1||PF2|＝b2， 可得×2c·y1＝b2，解得y1＝， 又因为a－x1＝y1，可得x1＝a－， 即P，将点P代入椭圆的方程， 可得＋＝1，整理得a2＋b2－2ac＝0， 因为b2＝a2－c2，可得c2＋2ac－2a2＝0， 即e2＋2e－2＝0，解得e＝－1和e＝－－1(舍去)， 即椭圆C的离心率为－1.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章　平面解析几何 第5节 椭圆 第一课时 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　椭圆的定义★★★☆☆ 知识点2　椭圆的标准方程和几何性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点1　椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距. 注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论： (1)若a＞c，则集合P为 椭圆； (2)若a＝c，则集合P为 线段F1F2； (3)若a＜c，则集合P为 空集. 知识点2　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为 2a； 短轴B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|＝ 2c 离心率 e＝ ∈(0,1) a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 【名师点拨】 1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a. 4．e＝.离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆． 5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 6．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 7．若M、N为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 1.过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程为 　. 2．已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为 9　，若A(1,1)，则|PA|＋|PF1|的取值范围为 　. 3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3，则b＝ 　. [引申]本例2中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF1|－|PA|的最大值为 　，|PF1|＋|PA|的最大值为 　. 【变式训练】(2024·江苏淮安淮阴中学期中)已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为( D ) A．3 B．6 C．4＋2 D．5＋2 考向二 椭圆的标准方程——师生共研 1.短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为的椭圆的标准方程为 　. 2．经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点的椭圆的标准方程为 　. 3．与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－)的椭圆的标准方程为 　. 4．(多选题)(2024·重庆调研)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是( ) A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为± C．存在点P满足∠F1PF2＝90° D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－ [引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为 　. 【名师点拨】 1．求椭圆标准的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件． 2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置； (2)设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)； (3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组； (4)求解，得方程． 可概括为先“定位”，再“定量”． 3．椭圆系方程的应用 (1)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的离心率椭圆系方程为＋＝λ(λ>0)． (2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 【变式训练】 1．(多选题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是( ) A．若1<t<3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t<1 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( ) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋y2＝1 考向三 椭圆的几何性质——多维探究 角度1　椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴 1.(2025·安徽蚌埠质检)若椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．6 B．或2 C．2 D．2或2 角度2　求椭圆的离心率 1．(2024·江西名校教研联盟开学考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且ab＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 2．(2025·江苏南通如皋中学测试)F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C．－ D．－ 3．(2025·山西大同调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c,0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝2，||＝4||，则椭圆C的离心率为________. 角度3　求椭圆离心率的取值范围 1．(2024·河南许昌中学定位考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. 2．(2025·山西部分学校月考)设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【变式训练】 1．(角度1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝，则C的长轴长为(　　) A．2 B．2 C．2＋ D．2＋2 2．(角度2)(2025·广东三校模拟)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于(　　) A． B． C． D． 3．(角度3)(2024·云南昆明一中双基检测)已知点P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·≤0，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【知识拓展】 与椭圆有关的最值问题 1．(2025·浙江数海漫游模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2的一条直线与C交于A，B两点，且AF1⊥AB，|BF2|＝1，则椭圆长轴长的最小值是(　　) A．4 B．3＋2 C．6 D．4＋2 2．(2024·山东烟台、德州诊断)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(2,3)，向量＝m＋n，且m－n－4＝0.若P为椭圆x2＋＝1上一点，则||的最小值为(　　) A． B． C． D．2 【变式训练】 (2024·江苏南通海安中学月考)P为椭圆C：＋y2＝1上一点，A(1,0)，则|PA|最小值为(　　) A．1 B． C． D． 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2024·四川成都七中开学考)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．20 2．(2024·福建百校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为(　　) A．3 B．4 C．1 D．2 3．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知椭圆G：＋＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为(　　) A． B． C．－ D．－ 4．(2024·福建泉州二模)若椭圆＋＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　) A． B． C．2或 D．2或 5．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知椭圆C：＋＝1(λ>0且λ≠4)，则“C的离心率e＝，是λ＝8”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． 7．(2025·河南平许济络质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 8．(2025·广西示范性高中质检)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为(　　) A． B． C． D． 9．(2024·河南焦作期中)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点E(0,2)，点P是C上的动点，则|PF|＋|PE|的最小值为(　　) A．5 B．10－2 C．10 D．10＋2 二、多选题 10．(2024·山东临沂联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．△PF2F1的周长为4 C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3 D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60° 11．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则(　　) A．当a＝b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个 B．△PF1F2的周长一定小于4a C．△PF1F2的面积可以大于 D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 三、填空题 12．(2025·湖南长沙长郡中学月考)点M在椭圆＋＝1上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，|ON|＝3，则|MF|＝________. 13．(2025·河北唐山摸底)已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为________. 14．(2025·广东调研)已知点P在椭圆C：＋y2＝1上运动，D(0,6)，动点Q满足|DQ|＝，则|PQ|的最大值为________. 15．(2024·云南曲靖一中阶段测试)曲线＋＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为________. 【巩固必刷题】 1．(2025·湖南长沙雅礼中学开学考)过椭圆C：＋＝1的中心作直线l交椭圆于P、Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 2．(2024·江西五市九校联考)若点P既在直线l：x－y＋2＝0上，又在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为(　　) A． B． C．或 D．或 3．(2025·云南昆明摸底)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足＝，若·＝0，·＝0，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．(2024·河北沧州七县期中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是(　　) A． B． C． D． 5．(2024·吉林四平期中)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|·(|PF2|＋2)的最大值为________. 【尖子拔高题】(2025·湖北武汉部分学校调研)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2＝90°，∠PAF2＝45°，则椭圆E的离心率为(　　) A． B． C．2－ D．－1 学科网（北京）股份有限公司 $$