第八章 第3节 圆的方程　直线与圆的位置关系（知识点梳理+限时挑战）讲义-【精准备考】2026年高考数学一轮复习（新高考通用）

第八章　平面解析几何 第3节 圆的方程　直线与圆的位置关系 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　圆的定义及方程★★★☆☆ 知识点2　点与圆的位置关系★★★☆☆ 知识点3　直线与圆的位置关系★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点1　圆的定义及方程 定义 平面内到 定点的距离等于 定长的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C： (a，b) 半径： r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 知识点2　点与圆的位置关系 1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝r2⇔点在圆上； (2)(x0－a)2＋(y0－b)2 >r2⇔点在圆外； (3)(x0－a)2＋(y0－b)2 <r2⇔点在圆内． 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)． (1)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔点在圆上； (2)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F >0⇔点在圆外； (3)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F <0⇔点在圆内． 知识点3　直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d＝为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d_<__r Δ_>__0 相切 d_＝__r Δ_＝__0 相离 d_>__r Δ_<__0 归 纳 拓 展 1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 2．圆心在任一弦的垂直平分线上． 3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 注：几类特殊位置的圆的方程 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 4．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件： 5．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2. (3)过圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0)的切线，则点P到切点的切线长为d＝(d＝)． 【随堂训练】 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(　　) (3)若A(2,0)，B(0，－4)，则以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.(　　) (4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　　) (5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圆，则m的取值范围是(1，＋∞)．(　　) 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________. 3．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 题组三　走向高考 4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________. 5．(2023·高考全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 【必练核心题型】 考向一 圆的方程——自主练透 1．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 　 B．x2＋y2－4x＝0 C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 2．(2022·高考全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________. 3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线x＋y－1＝0上且与直线2x－y－1＝0相切于点(1,1)的圆的方程是________________. 【变式训练】 1．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________. 2．(2025·河南安阳调研)过点(0,2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5 C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8 考向二 直线与圆的位置关系——自主练透 1．(2024·河北沧州二模)若点A(2,1)在圆x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m为常数)外，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 2．(多选题)(2025·河南濮阳质检)已知直线y＝x与圆D：x2＋y2－2my＝4－m2有两个交点，则整数m的可能取值有(　　) A．0 B．－3 C．1 D．3 3．(2025·辽宁三校质检)若直线l：y＝kx＋3－k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4．(2025·湖北部分学校质检)若圆C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0上恰有三点到直线l：y＝kx的距离为2，则k的值为(　　) A． B． C． D．2 【变式训练】本例4中，若圆C上到直线m：x－2y＋c＝0的距离为2的点至少有三个，则c的取值范围为____________. 【变式训练】 1．(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 2．(2024·江苏南京模拟)圆C：x2＋(y－2)2＝R2(R>0)上恰好存在2个点，它到直线y＝x－2的距离为1，则R的一个取值可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考向三 圆的切线——师生共研 1．(2024·浙江强基联盟联考)过圆x2＋y2＝1上点P的切线方程为____________. 2．(2024·四川达州外国语学校测试)已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，则过点P(1,3)与圆C相切的直线l的方程为____________. 【变式训练】本例2中过两切点的直线方程为____________. 【变式训练】(2025·河南郑州阶段测试)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 考向四 与圆有关的最值问题——多维探究 1.角度1　直线型、距离型最值 (多选题)(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　) A．x2＋y2的最大值是＋1 B．的最大值是2＋ C．|x－y＋3|的最小值是2－ D．过点(0，)作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0 角度2　线段和、差的最值 2. (2024·江苏镇江二模)已知⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝3，点A为直线l：y＝－1上的动点，过点A作直线与⊙C相切于点P，若Q(－2,0)，则|AP|＋|AQ|的最小值为____________. 角度3　面积型最值 3. (2025·云南昆明一中双基检测)已知圆O：x2＋y2＝2，点Q为直线l：x＋y－4＝0上的一个动点，QE，QF是圆C的两条切线，E，F是切点，当四边形OEQF面积最小时，直线EF的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0 【变式训练】 1．(角度1)(2025·贵州联考)若点P在曲线C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0上运动，则的最大值为________. 2．(角度2)(2024·江苏徐州铜山区调研)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4，M，N分别是圆C1，C2上两个动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　　) A．2＋3 B．2＋5 C．2＋3 D．2＋5 3．(角度3)(2024·湖南“一起考”大联考)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　) A．[2,6 B．[4,8 C．[，3 D．[2，3 【知识拓展】圆系的方程 1. (2025·河北保定部分学校月考)圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为____________. [分析　此题若求两圆交点坐标，运算繁琐，注意到两圆交点坐标满足方程x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，故只需根据题意求出λ，并判断其为圆的方程即可． 【变式训练】 经过直线x－2y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的交点，且过点(1,0)的圆的方程为____________. 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2025·湖北云学名校联盟调研)如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P与圆的位置关系不确定 2．(2025·山西临汾模拟)已知直线l过圆x2－2x＋y2＝0的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为(　　) A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0 3．(2024·河南洛阳期中)如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为(　　) A．米 B．米 C．2米 D．2米 4．已知直线3x＋4y－4＝0与圆C相切于点T(0,1)，圆心C在直线x－y＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y－3)2＝13 B．(x－3)2＋(y＋3)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－3)2＝13 D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝25 5．(2024·湘豫名校联考)已知直线l：y＝2x＋b与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9相切，则实数b＝(　　) A．8－2或－10－2 B．－11或9 C．11或－9 D．－8＋2或10＋2 6．(2024·江苏常州一中调研)点(x，y)在曲线y＝－2上，则|3x－4y＋4|的取值范围为(　　) A． B．[2,18 C．[1,9 D． 7．(2024·湖南部分校摸底)若圆心在第一象限的圆过点(2,0)，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x＋y－11＝0的距离为(　　) A．1 B． C．2 D． 8．(2024·河南郑州外国语学校月考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 9．(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[2－，2＋ B．[－2－，－2＋ C．[－2－，2＋ D．[－2－，2－ 二、多选题 10．(2025·贵州贵阳摸底)在同一平面直角坐标系中，直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置可能为(　　) 11．(2025·湖南部分学校联考)已知直线l：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0与圆C：x2＋y2－2y－8＝0，则(　　) A．直线l与圆C一定相交 B．直线l过定点(－2,2) C．圆心C到直线l距离的最大值是2 D．使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条 三、填空题 12．(2024·广东摸底联考)已知直线l：4x－3y－4＝0，请写出一个满足以下条件的圆M的方程____________. ①圆M与x轴相切； ②圆M与直线l相切； ③圆M的半径为2. 13．(2023·广东佛山模拟)已知点A(1,0)，B(3,0)，若·＝2，则点P到直线l：3x－y＋4＝0的距离的最小值为____________. 14．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，直线AB关于直线y＝a的对称直线为l，已知l与圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为____________. 四、解答题 15．(2024·河南许昌中学定位考试)已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【巩固必刷题】 1．(2023·贵州铜仁适应性考试)过A(0,1)、B(0,3)两点，且与直线y＝x－1相切的圆的方程可以是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝2 D．(x＋2)2＋(y－2)2＝5 2．(2025·湖北八校联考)已知点A(－1,0)，B(0,3)，点P是圆(x－3)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值为(　　) A．6 B． C． D．6－ 3．(2024·江西稳派上进名校联盟联考)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 4．(2025·江苏常州调研)已知点P在直线y＝－x－3上运动，M是圆O：x2＋y2＝1上的动点，N是圆C：(x－9)2＋(y－2)2＝16上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．13 B．11 C．9 D．8 5．(2025·江苏南京外国语学校调研)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，若直线y＝kx＋5上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60°，则实数k的取值范围是____________. 【尖子拔高题】(2024·天津五所重点高中联考)已知圆C经过点A(1,3)和B(5,1)，且圆心C在直线x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)设直线l经过点(0,3)，且l与圆C相切，求直线l的方程； (3)P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章　平面解析几何 第3节 圆的方程　直线与圆的位置关系 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　圆的定义及方程★★★☆☆ 知识点2　点与圆的位置关系★★★☆☆ 知识点3　直线与圆的位置关系★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点1　圆的定义及方程 定义 平面内到 定点的距离等于 定长的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C： (a，b) 半径： r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 知识点2　点与圆的位置关系 1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝r2⇔点在圆上； (2)(x0－a)2＋(y0－b)2 >r2⇔点在圆外； (3)(x0－a)2＋(y0－b)2 <r2⇔点在圆内． 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)． (1)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0⇔点在圆上； (2)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F >0⇔点在圆外； (3)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F <0⇔点在圆内． 知识点3　直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d＝为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d_<__r Δ_>__0 相切 d_＝__r Δ_＝__0 相离 d_>__r Δ_<__0 归 纳 拓 展 1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 2．圆心在任一弦的垂直平分线上． 3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 注：几类特殊位置的圆的方程 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 4．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件： 5．(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2. (3)过圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0)的切线，则点P到切点的切线长为d＝(d＝)． 【随堂训练】 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(　　) (3)若A(2,0)，B(0，－4)，则以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.(　　) (4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　　) (5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圆，则m的取值范围是(1，＋∞)．(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________. 【答案】(x－2)2＋y2＝10 【解析】设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|， 即＝，解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝＝， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 3．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 【答案】C 【解析】因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故选C． 题组三　走向高考 4．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________. 【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝5 【解析】解法一：∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a,1－2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴＝＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， ∴M(1，－1)，R＝， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 解法二：记A(3,0)，B(0,1)，则kAB＝－. 从而可知AB中垂线的方程为3x－y－4＝0， 由可求得M(1，－1)， 又r2＝|MA|2＝5. ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 5．(2023·高考全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 【答案】C 【解析】解法一：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3，故选C． 解法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0,2π，则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos＋1，∵θ∈[0,2π，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1.故选C． 【必练核心题型】 考向一 圆的方程——自主练透 1．圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 　 B．x2＋y2－4x＝0 C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 【答案】B 【解析】设圆心C(a,0)(a>0)，由题意知＝2，解得a＝2，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选B. 2．(2022·高考全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________. 【答案】(x－2)2＋(y－3)2＝13或2＋2＝或2＋(y－1)2＝或(x－2)2＋(y－1)2＝5(写出其中一个即可) 【解析】依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0， 即(x－2)2＋(y－3)2＝13； 同理可求过(0,0)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 过(0,0)，(4,2)，(－1,1)的圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝； 过(－1,1)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即2＋(y－1)2＝. 3．(2024·湖北武汉部分学校调研)圆心在直线x＋y－1＝0上且与直线2x－y－1＝0相切于点(1,1)的圆的方程是________________. 【答案】(x＋1)2＋(y－2)2＝5 【解析】依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0，由解得因此所求圆的圆心为(－1,2)，半径r＝＝，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5. 【名师点拨】求圆的方程的两种方法 1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．待定系数法 根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般的，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 【变式训练】 1．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________. 【答案】(x－2)2＋y2＝9 【解析】设圆C的圆心坐标为(a,0)，a>0，半径为r，则＝.∴a＝±2.∵a>0，∴a＝2，∴r2＝(2－0)2＋(0－)2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. 2．(2025·河南安阳调研)过点(0,2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5 C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8 【答案】D 【解析】设圆心坐标为(a,0)，则＝，解得a＝－2，又r2＝(－2－0)2＋(0－2)2＝8，故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝8，∴选D. 考向二 直线与圆的位置关系——自主练透 1．(2024·河北沧州二模)若点A(2,1)在圆x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m为常数)外，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 【答案】C 【解析】由题意知22＋12－4m－2＋5>0，故m<2，又由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可得D2＋E2－4F>0，即(－2m)2＋(－2)2－4×5>0，即m<－2或m>2，所以实数m的范围为m<－2.故选C． 2．(多选题)(2025·河南濮阳质检)已知直线y＝x与圆D：x2＋y2－2my＝4－m2有两个交点，则整数m的可能取值有(　　) A．0 B．－3 C．1 D．3 【答案】AC 【解析】解法一：圆D：x2＋(y－m)2＝4，由题意知圆心(0，m)到直线y＝x的距离d＝<2，即－2<m<2，故选AC． 解法二：联立 消去x可得2y2－2my＋m2－4＝0，则Δ＝(－2m)2－8(m2－4)>0，解得－2<m<2.故选AC． 3．(2025·辽宁三校质检)若直线l：y＝kx＋3－k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由l：y－3＝k(x－1)知直线l过定点P(1,3)，曲线C：y＝两边平方得x2＋y2＝1(y≥0)，所以曲线C是以(0,0)为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，当直线l过点A(－1,0)时，直线l与曲线C有两个不同的交点，此时0＝－k＋3－k⇒k＝，当直线l与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，所以结合图形可知直线l与曲线C恰有两个交点，则<k≤.故选B. 4．(2025·湖北部分学校质检)若圆C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0上恰有三点到直线l：y＝kx的距离为2，则k的值为(　　) A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由x2＋y2－2x－6y＋1＝0得(x－1)2＋(y－3)2＝9，所以圆心C(1,3)，半径r＝3，因为圆上恰有三点到直线y＝kx的距离为2，所以圆心C(1,3)到直线y＝kx的距离为1，即d＝＝1，解得k＝，故选C． 【变式训练】本例4中，若圆C上到直线m：x－2y＋c＝0的距离为2的点至少有三个，则c的取值范围为____________. 【答案】[5－，5＋ 【解析】由题意知圆心C(1,3)到直线m的距离d＝≤1，解得5－≤c≤5＋. 【名师点拨】判断直线与圆的位置关系的常见方法 1．几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系． 2．代数法：利用直线方程与圆的方程联立得一元二次方程利用Δ判断． 3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 4．判断圆上到定直线的距离为定值的点的个数问题的关键是比较定值、圆心到直线的距离、半径的大小． 【变式训练】 1．(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2， ∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝＝＝r，∴直线与圆C相切，故A正确； ∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2， ∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝＝＞r，∴直线与圆C相离，故B正确； ∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2， ∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝＝＜r，∴直线与圆C相交，故C错误； ∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2， ∵圆心C(0,0)到直线l的距离为d＝＝＝r，∴直线与圆C相切，故D正确．故选ABD. 2．(2024·江苏南京模拟)圆C：x2＋(y－2)2＝R2(R>0)上恰好存在2个点，它到直线y＝x－2的距离为1，则R的一个取值可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆心C(0,2)到直线的距离为2，∴|R－2|<1，即1<R<3.故选B. 考向三 圆的切线——师生共研 1．(2024·浙江强基联盟联考)过圆x2＋y2＝1上点P的切线方程为____________. 【答案】y＝x＋ 【解析】由题知，kOP＝－1，则k切线＝1，所以切线方程为y＝＋，即y＝x＋. 2．(2024·四川达州外国语学校测试)已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，则过点P(1,3)与圆C相切的直线l的方程为____________. 【答案】x＝1或3x＋4y－15＝0 【解析】当过点P的直线斜率不存在时，其方程为x＝1，显然到圆心C(－1,2)的距离等于半径2，故是圆的一条切线；当过点P的直线斜率存在时，设其方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，由＝2得k＝－，故切线的方程为3x＋4y－15＝0. 【变式训练】本例2中过两切点的直线方程为____________. 【答案】2x＋y－4＝0 【解析】解法一：设两切点为A、B，由CA⊥PA，CB⊥PB知P、A、C、B四点共圆且其方程为x2＋2＝，两圆方程相减得AB方程为2x＋y－4＝0. 解法二：kPC＝，故可设过切点A、B的直线的方程为2x＋y＋c＝0，设AB交PC于H，由AC＝2，PC＝知CH＝＝.即C到AB的距离＝，解得c＝－4或4(舍去)，故AB方程为2x＋y－4＝0. 【名师点拨】解决直线与圆相切问题的策略 1．过圆C1(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程，利用“切线垂直于过切点的半径”求解． 注：切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2．过圆外一点或与定直线平行的切线方程，“利用”圆心到直线的距离等于半径求解，此时切线有两条，谨防丢解． 注：若过点P(x0，y0)的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线的切点分别为A、B，则直线AB的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 【变式训练】(2025·河南郑州阶段测试)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 【答案】A 【解析】设所求直线为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切得，＝，解得c＝±5.所以直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.故选A． 考向四 与圆有关的最值问题——多维探究 1.角度1　直线型、距离型最值 (多选题)(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　) A．x2＋y2的最大值是＋1 B．的最大值是2＋ C．|x－y＋3|的最小值是2－ D．过点(0，)作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0 【答案】BD 【解析】由圆C：x2＋y2－2x－2＝0可化为(x－1)2＋y2＝3，可得圆心(1,0)，半径为r＝，由x2＋y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方，所以它的最大值为[＋2＝4＋2，所以A错误； 设＝k，即y＋1＝k(x＋1)，由圆心(1,0)到直线的距离d＝≤，解得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，所以B正确； 令x－y＝c，则由圆心C到直线x－y－c＝0的距离≤，知1－≤c≤1＋，∴|x－y＋3|＝|c＋3|∈[4－，4＋，即|x－y＋3|的最小值为4－，所以C错误； (由|x－y＋3|表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，圆心到直线的距离d＝＝2，所以其最小值为(2－)＝4－，所以C错误；) 因为点(0，)满足圆C的方程，即点(0，)在圆C上，则点C与圆心连线的斜率为k1＝－，可得切线的斜率为k＝－＝，所以切线方程为y－＝(x－0)，即x－y＋2＝0，所以D正确．故选BD. 角度2　线段和、差的最值 2. (2024·江苏镇江二模)已知⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝3，点A为直线l：y＝－1上的动点，过点A作直线与⊙C相切于点P，若Q(－2,0)，则|AP|＋|AQ|的最小值为____________. 【答案】 【解析】Q关于直线l的对称点为M(－2，－2)，过M的直线与圆C切于N，交直线l于A′，则|AP|＋|AQ|≥|A′M|＋|A′N|＝|MN|＝＝. 角度3　面积型最值 3. (2025·云南昆明一中双基检测)已知圆O：x2＋y2＝2，点Q为直线l：x＋y－4＝0上的一个动点，QE，QF是圆C的两条切线，E，F是切点，当四边形OEQF面积最小时，直线EF的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0 【答案】A 【解析】由题意知SOEQF＝2S△OQE＝EQ＝，∴当|OQ|最小时SOEQF最小，此时OQ⊥l，又OQ⊥EF，∴EF∥l，∴kEF＝kl＝－1，又|OQ|＝＝2，∴|OH|＝＝，设EF：y＝－x＋C，则由＝知C＝1或－1(舍去)，故所求直线方程为x＋y－1＝0，故选A． 注：①SOEQF最小⇔切线长|EQ|最小⇔∠EQF最大⇔|EF|最小，且SOEQF最小为2. ②由OQ⊥l知kOQ＝1，∴OQ：y＝x，由知Q(2,2)，又OE⊥EQ，OF⊥FQ，∴O、E、Q、F四点共圆，其方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.由两圆方程相减得EF：x＋y－1＝0.故选A． 【名师点拨】与圆有关最值问题的解法 (1)形如(a、b、c、d、e、f为常数)的最值问题，可令其为k，转化为直线与圆(或圆弧)的位置关系问题，用圆心到直线的距离与半径的关系(或直线所经过的特殊点)解决． (2)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． (3)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值可转化为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差． (4)折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； ②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【变式训练】 1．(角度1)(2025·贵州联考)若点P在曲线C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0上运动，则的最大值为________. 【答案】 【解析】曲线C方程化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，是以(1,3)为圆心，3为半径的圆，设＝k，即直线l：kx－y＋3k＝0，又P在圆上运动，故直线与圆C有公共点，则≤3，化简得7k2－24k≤0，解得0≤k≤，故的最大值为. 2．(角度2)(2024·江苏徐州铜山区调研)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4，M，N分别是圆C1，C2上两个动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　　) A．2＋3 B．2＋5 C．2＋3 D．2＋5 【答案】A 【解析】由题意知，圆C1的圆心为C1(1,2)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，作C2(3，－4)关于x轴的对称点C3(3,4)，如图所示，|PN|－|PM|≤(|PC2|＋r2)－(|PC1|－r1)＝|PC2|－|PC1|＋r2＋r1＝|PC3|－|PC1|＋r2＋r1≤|C1C3|＋r2＋r1＝＋2＋1＝3＋2，当P，C1，C3共线时等号成立，所以|PN|－|PM|的最大值为3＋2.故选A． 3．(角度3)(2024·湖南“一起考”大联考)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　) A．[2,6 B．[4,8 C．[，3 D．[2，3 【答案】A 【解析】∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2， ∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上， ∴圆心为(2,0)，则圆心到直线距离d1＝＝2，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3，则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6，故选A． 【知识拓展】圆系的方程 1. (2025·河北保定部分学校月考)圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为____________. [分析　此题若求两圆交点坐标，运算繁琐，注意到两圆交点坐标满足方程x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，故只需根据题意求出λ，并判断其为圆的方程即可． 【答案】(x－3)2＋(y＋1)2＝16 【解析】由题意设圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，整理得x2＋y2－x－y－6＝0，圆心坐标为，所以－－4＝0，解得λ＝－，所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 【名师点拨】两个圆系方程 (1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 【变式训练】 经过直线x－2y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的交点，且过点(1,0)的圆的方程为____________. 【答案】x2＋y2＋3x－12y－4＝0 【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：x2＋y2－4x＋2y－4＋λ(x－2y)＝0，∵所求圆过点(1,0)，∴－7＋λ＝0，解得λ＝7，所以圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－4＋7(x－2y)＝0，即x2＋y2＋3x－12y－4＝0. 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2025·湖北云学名校联盟调研)如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】由题意得<2，∴a2＋b2>4，所以点(a，b)在圆外，故选A． 2．(2025·山西临汾模拟)已知直线l过圆x2－2x＋y2＝0的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为(　　) A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0 【答案】D 【解析】由x2－2x＋y2＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为－2，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，所以l的方程为：y＝(x－1)，即x－2y－1＝0，故选D. 3．(2024·河南洛阳期中)如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为(　　) A．米 B．米 C．2米 D．2米 【答案】D 【解析】如图建立直角坐标系，则拱圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，又B(6,0)，C(0,2)，∴解得∴拱圆方程为x2＋(y＋8)2＝100，当y＝－1时，x＝±，∴水面宽为2.故选D. 4．已知直线3x＋4y－4＝0与圆C相切于点T(0,1)，圆心C在直线x－y＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y－3)2＝13 B．(x－3)2＋(y＋3)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－3)2＝13 D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝25 【答案】D 【解析】由题意，设C(a，a)(a≠0)，圆C的半径为r，∴kCT＝＝，解得a＝－3，所以圆心C(－3，－3)，半径r＝|CT|＝＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝25.故选D. 5．(2024·湘豫名校联考)已知直线l：y＝2x＋b与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝9相切，则实数b＝(　　) A．8－2或－10－2 B．－11或9 C．11或－9 D．－8＋2或10＋2 【答案】A 【解析】依题知圆心C(1，－1)，半径为3，则＝3，解得b＝8－2或b＝－10－2.故选A． 6．(2024·江苏常州一中调研)点(x，y)在曲线y＝－2上，则|3x－4y＋4|的取值范围为(　　) A． B．[2,18 C．[1,9 D． 【答案】B 【解析】如图，曲线y＝－2为圆x2＋(y＋2)2＝4的上半圆，圆心A(0，－2)，半径为2，B(2，－2)， 令3x－4y＝t，则当直线l：3x－4y－t＝0过点B(2，－2)时，t＝14； 当直线l与半圆相切时＝2(t<0)， 即t＝－2，∴3x－4y∈[－2,14，从而|3x－4y＋4|∈[2,18．故选B. 7．(2024·湖南部分校摸底)若圆心在第一象限的圆过点(2,0)，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x＋y－11＝0的距离为(　　) A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题设可设圆心为(a，a)(a>0)，则圆的半径为a.故圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，再把点(2,0)代入得(2－a)2＋(0－a)2＝a2，解得a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，故所求圆的圆心为(2,2)，故圆心到直线2x＋y－11＝0的距离d＝＝.故选D. 8．(2024·河南郑州外国语学校月考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 【答案】D 【解析】圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－，故选D. 9．(2025·湖北武汉江夏一中、汉阳一中联考)若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[2－，2＋ B．[－2－，－2＋ C．[－2－，2＋ D．[－2－，2－ 【答案】B 【解析】根据题意，圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为(－2,2)，半径r＝3，若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心(－2,2)到直线l的距离d≤3－2＝，直线l：ax＋by＝0的斜率k＝－，∴直线l：kx－y＝0，则有≤，解得－2－≤k≤－2＋，故选B. 二、多选题 10．(2025·贵州贵阳摸底)在同一平面直角坐标系中，直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的位置可能为(　　) 【答案】ABD 【解析】直线mx－y＋1＝0过定点(0,1)，显然点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，因此直线mx－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2必相交，C错误；而直线mx－y＋1＝0表示平面内过点(0,1)的除直线x＝0外的任意直线，因此选项ABD都可能．故选ABD. 11．(2025·湖南部分学校联考)已知直线l：(m＋1)x＋2y＋2m－2＝0与圆C：x2＋y2－2y－8＝0，则(　　) A．直线l与圆C一定相交 B．直线l过定点(－2,2) C．圆心C到直线l距离的最大值是2 D．使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有2条 【答案】AB 【解析】由题意可知直线l过定点A(－2,2)，圆心C的坐标为(0,1)，半径为3，则点A在圆C内，从而直线l与圆C一定相交，故A，B正确；设圆心C到直线l的距离为d，则d≤|AC|＝，则C错误；因＝2得m＝－，所以使得圆心C到直线l的距离为2的直线l有且仅有1条，则D错误． 三、填空题 12．(2024·广东摸底联考)已知直线l：4x－3y－4＝0，请写出一个满足以下条件的圆M的方程____________. ①圆M与x轴相切； ②圆M与直线l相切； ③圆M的半径为2. 【答案】x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4(写出其中的一个即可) 【解析】当圆心为M(a,2)时，圆M与直线l相切，即＝2，解得a＝0或a＝5.当圆心为M(a，－2)时，圆M与直线l相切，即＝2，解得a＝2或a＝－3.所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－2)2＝4或(x－2)2＋(y＋2)2＝4或(x＋3)2＋(y＋2)2＝4. 13．(2023·广东佛山模拟)已知点A(1,0)，B(3,0)，若·＝2，则点P到直线l：3x－y＋4＝0的距离的最小值为____________. 【答案】－ 【解析】设点P的坐标为(x，y)， ∴＝(1－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∵·＝2，∴(x－2)2＋y2＝3， 即P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为的圆，点(2,0)到直线l的最短距离为，则可得点P到直线l的距离的最小值为－. 14．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，直线AB关于直线y＝a的对称直线为l，已知l与圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围为____________. 【答案】≤a≤ 【解析】因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，由题意得≤1，整理解得≤a≤. 四、解答题 15．(2024·河南许昌中学定位考试)已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)解法一：∵kMN＝1， ∴MN中垂线的方程为y＋＝－， 即x＋y－1＝0， 由得C(3，－2)，又r2＝|CM|2＝9， ∴圆C的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝9， 即x2＋y2－6x＋4y＋4＝0. 解法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 依题意得解得 所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0. (2)不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB. 理由如下：假设符合条件的实数a存在． 由(1)得圆心C为(3，－2)，因为直线l垂直平分弦AB， 所以圆心C(3，－2)必在直线l上， 所以直线l的斜率kPC＝－2. 又kAB＝a＝－，所以a＝. 又圆C的半径r＝3，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝>3， 所以不存在这样的实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB. 【巩固必刷题】 1．(2023·贵州铜仁适应性考试)过A(0,1)、B(0,3)两点，且与直线y＝x－1相切的圆的方程可以是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝2 D．(x＋2)2＋(y－2)2＝5 【答案】C 【解析】因为A(0,1)，B(0,3)，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y＝2，设圆心为C(t,2)，则圆C的半径为r＝＝，又因为r＝|AC|＝＝，所以＝，整理可得t2＋6t－7＝0，解得t＝1或t＝－7，当t＝1时，r＝|AC|＝，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2；当t＝－7时，r＝|AC|＝5，此时圆的方程为(x＋7)2＋(y－2)2＝50.综上所述，满足条件的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2或(x＋7)2＋(y－2)2＝50.故选C． 2．(2025·湖北八校联考)已知点A(－1,0)，B(0,3)，点P是圆(x－3)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值为(　　) A．6 B． C． D．6－ 【答案】D 【解析】两点A(－1,0)，B(0,3)，则|AB|＝＝，直线AB方程为y＝3x＋3，圆(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3,0)，半径r＝1，点C到直线AB：3x－y＋3＝0的距离d＝＝，因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝－1，所以△PAB面积的最小值是××＝6－.故选D. 3．(2024·江西稳派上进名校联盟联考)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 【答案】C 【解析】记A(2,0)，则k＝为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，得k最小，此时设AP：y＝k(x－2)，故＝1，解得k＝－或k＝0(舍去)，即kmin＝－.故选C． 4．(2025·江苏常州调研)已知点P在直线y＝－x－3上运动，M是圆O：x2＋y2＝1上的动点，N是圆C：(x－9)2＋(y－2)2＝16上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．13 B．11 C．9 D．8 【答案】D 【解析】根据圆的性质可得|PM|＋|PN|≥|PO|＋|PC|－5，又O(0,0)关于直线y＝－x－3的对称点为G(－3，－3)，C(9,2)，|PM|＋|PN|≥|GC|－5＝－5＝8，当P，G，C三点共线时，等号成立．故选D. 5．(2025·江苏南京外国语学校调研)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，若直线y＝kx＋5上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60°，则实数k的取值范围是____________. 【答案】k≥0或k≤－ 【解析】圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，则圆心为C(－1,1)，半径r＝2，设两切点为A，B，则|PA|＝|PB|，因为∠APB＝60°，在Rt△PAC中∠APC＝∠APB＝30°，|AC|＝r＝2，所以|PC|＝4，因此只要直线l上存在点P，使得|PC|＝4即可满足题意．圆心C(－1,1)，所以圆心到直线的距离d＝≤4，解得k≥0或k≤－. 【尖子拔高题】(2024·天津五所重点高中联考)已知圆C经过点A(1,3)和B(5,1)，且圆心C在直线x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)设直线l经过点(0,3)，且l与圆C相切，求直线l的方程； (3)P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值． 【解析】(1)因为圆心C在直线x－y＋1＝0上， 所以设圆C的圆心C(a，a＋1)，半径为r(r>0)， 所以圆的方程为(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2， 因为圆C经过点A(1,3)和B(5,1)， 所以 即解得 所以圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝25. (2)由题意设直线l的方程为y＝kx＋3或x＝0， 当l的方程为x＝0时，验证可知l与圆C相切； 当l的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0时， 圆心C到直线l的距离为d＝＝5， 解得k＝－， 所以l的方程为y＝－x＋3，即8x＋15y－45＝0. 所以直线l的方程为x＝0或8x＋15y－45＝0. (3)由(1)知圆心为C(5,6)，半径为5， 则圆心与点(－1，－2)的距离为d＝＝10， 因为(x＋1)2＋(y＋2)2可以看作圆上任意一点P(x，y)与点(－1，－2)的距离的平方， 所以(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值为(10－5)2＝25. 学科网（北京）股份有限公司 $$