第八章 第1节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程（知识点梳理+限时挑战）讲义-【精准备考】2026年高考数学一轮复习（新高考通用）

第八章　平面解析几何 第1节　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　直线的倾斜角 ★★★☆☆ 知识点2　直线的斜率★★★☆☆ 知识点3　直线方程的五种形式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点1　直线的倾斜角★★★☆☆ 1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴 正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. 2．倾斜角的取值范围为 [0°，180°). 知识点2　直线的斜率★★★☆☆ 1．定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在． 2．过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量与斜率的关系 定 义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为 (1，k) 关 系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝ 知识点3　直线方程的五种形式★★★☆☆ 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于x轴、平行于x轴和 过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求 A2＋B2≠0 适用于平面直角坐标系内的所有直线 【名师点拨】 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0且α越大，k就越大 不存在 k<0且α越大，k就越大 口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线； 小正大负皆递增，分类讨论记心中． 2．特殊直线的方程 (1)过点P1(x1，y1)垂直于x轴的直线方程为x＝x1； (2)过点P1(x1，y1)垂直于y轴的直线方程为y＝y1； (3)过原点的直线的方程为x＝my. 3．谨记以下几点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝my＋b. (3)A，B，C三点共线⇔kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)． (4)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)． 【双基自测】　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(　　) (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　) (5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　　) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)× (5)×　(6)√ 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P58T7)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　) A．－1 B．－3 C．0 D．2 【答案】B 【解析】由＝＝y＋2， 得y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3. 3．(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________. 【答案】3x－2y＝0或x＋y－5＝0 【解析】当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1， 则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. 题组三　走向高考 4．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 【答案】A 【解析】由题意知圆心坐标为(a,0)，又直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A． 5．(2021·山东卷)如下图，直线l的方程是(　　) A．x－y－＝0 B．x－2y－＝0 C．x－3y－1＝0 D．x－y－1＝0 【答案】D 【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k＝tan 30°＝，又直线l与x轴的交点为(1,0)，所以直线的点斜式方程可得l：y－0＝(x－1)，即x－y－1＝0.故选D. 【必练核心题型】 题型一 直线的倾斜角与斜率——自主练透　 1．(2025·江苏南通统测)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．[0，π] 　 B． C． D．∪ 【答案】C 【解析】当sin θ＝0时，方程为x＝－2，倾斜角为，当sin θ≠0时，直线的斜率k＝tan α＝，所以tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即α∈∪，综上α∈.故选C． 2．(2024·山东普高大联考)过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(－2,1)，B(2，1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(　　) A． B． C．∪ D．∪ 【答案】B 【解析】设直线l的斜率为k，倾斜角为θ，0≤θ<π，kPA＝＝－1，kPB＝＝，因为直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB总有公共点，所以k∈(－∞，－1]∪，因为0≤θ<π，所以≤θ≤.故选B. 3．已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　) A．e B．－e C． D．－ 【答案】C 【解析】∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝＝，∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝＝. 【名师点拨】 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围． 2．求直线斜率的方法 (1)定义法：k＝tan α； (2)公式法：k＝(x1≠x2)； (3)导数法：曲线y＝f(x)在x0处切线的斜率k＝f′(x0)． 3．注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，直线垂直于x轴． 【变式训练】 1．(2024·湖北华中师大附中月考)直线l过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(0,4) C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4) 【答案】B 【解析】当直线的倾斜角为时，m＝2；当倾斜角α∈∪时，m≠2，k＝，且k<－1或k>1.∴<－1或>1，解得0<m<2或2<m<4.综上，实数m的取值范围是(0,4)．故选B. 2．(2024·河南创新发展联盟联考)过点P(1,1)作直线l，若直线l与连接A(2,3)，B(3，－1)两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为(　　) A．[－1,2] B． C． D．(－∞，－1]∪ 【答案】A 【解析】直线PA的斜率为＝2，直线PB的斜率为＝－1，直线l的斜率的取值范围为[－1,2]．故选A． 题型二 直线的方程——师生共研 1．经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线的方程为____________. 【答案】x－y＋6＝0 【解析】由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0. 2．(多选题)(2024·陕西部分学校联考)直线l经过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是(　　) A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0 【答案】BCD 【解析】解法一(检验法)：验证易知B，C，D符合题意． 解法二(直接法)：当直线l的截距为0时，直线l的方程为y＝－x，即2x＋3y＝0. 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 则解得或 若则直线l的方程为x＋y＝1，即x＋y－1＝0， 若则直线l的方程为＋＝1，即x－y－5＝0.故选BCD. 3．(多选题)(2025·浙江数海漫游模拟)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x－y＋1＝0，则直线AB的方程可能为(　　) A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y＋1＝0 C．3x＋y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 【答案】BC 【解析】设直线AB的倾斜角为α，直线AC的倾斜角为β，直线AC斜率为2，有tan β＝2，则<β<.依题意有α－β＝或β－α＝，当α－β＝时，tan(α－β)＝＝tan ，即＝1，解得tan α＝－3，即直线AB的斜率为－3，C选项中的直线斜率符合；当β－α＝时，tan(β－α)＝＝tan ，即＝1，解得tan α＝，即直线AB的斜率为，B选项中的直线斜率符合．故选BC． 【名师点拨】 1．求解直线方程的方法 (1)直接法——根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程． (2)待定系数法——①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． 2．谨防3个失误 (1)选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在． (2)选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，截距是否存在、是否为0. (3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0. 【变式训练】 1．(2024·江西丰城中学月考)经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是____________. 【答案】2x－y＝0和x＋2y－5＝0 【解析】若直线经过原点，则设直线方程为y＝kx，将P(1,2)代入可得2x－y＝0，若直线不经过原点，设直线方程为＋＝1，将P(1,2)代入可得a＝，所以直线方程为＋＝1，即x＋2y－5＝0. 2．(2025·河北衡水周测)若一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为____________. 【答案】x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，所以设直线方程为＋＝1，因为该直线过点A(－2,2)，所以有＋＝1⇒2a－2b＝ab， 因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1， 所以有|ab|＝1⇒ab＝2，或ab＝－2， 当ab＝2时， 2a－2b＝2⇒a＝b＋1⇒b(b＋1)＝2⇒b＝1，或b＝－2， 当b＝1时，a＝2，此时方程为： ＋＝1⇒x＋2y－2＝0， 当b＝－2时，a＝－1，此时方程为： ＋＝1⇒2x＋y＋2＝0， 当ab＝－2时， 2a－2b＝－2⇒a＝b－1⇒b(b－1)＝－2无解. 题型三 直线方程的应用——多维探究 角度1　由直线方程判断直线位置 1.若AC<0，BC>0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　) A．第一象限 　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 角度2　直线与坐标轴围成三角形的最值问题 2.已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求： (1)当△AOB面积最小时，直线l的方程； (2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． 【解析】设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 则＋＝1. (1)∵＋≥2⇒ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.此时，直线l的方程是＋＝1.即x＋2y－4＝0. (2)a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.故a＋b的最小值为3＋2，此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋.此时，直线l的方程为＋＝1.即x＋y－2－＝0. (3)解法一：设∠BAO＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，∴|MA|·|MB|＝＝，显然当θ＝时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时kl＝－1，所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 解法二：|MA|·|MB|＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝＋≥4.当且仅当a＝b＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 解法三：若设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则A，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝·＝2≥4，当且仅当－k＝－，即k＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. (4)同(3)|MA|＝，|MB|＝， ∴|MA|2＋|MB|2＝＋ ＝(sin2θ＋cos2θ) ＝5＋＋≥9. ∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9， 此时直线的斜率k＝－， 故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－2(＋1)＝0. 【名师点拨】 求解与直线方程有关的最值问题，考查函数思想，即利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x或y的函数，借助函数性质求解．或利用直线过已知点，则点的坐标适合直线方程，借助基本不等式求解(注意取最值时等号成立的条件)． 【变式训练】 1．(角度1)若直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)不经过第三象限，则A，B，C应满足____________. 【答案】B＝0，≤0或B≠0，≥0，≤0 【解析】若直线的斜率不存在，则B＝0，x＝≥0，即B＝0，≤0；若直线的斜率存在，则B≠0，y＝－x－，即B≠0，≥0，≤0. 2．(角度2)直线l过点M(1,2)，且分别与x，y轴正半轴交于A、B两点，O为原点．求|OA|＋2|OB|的最小值及此时直线l的方程． 【解析】设直线l：＋＝1，且a>0，b>0. ∵直线过点(1,2)，∴＋＝1， ∴|OA|＋2|OB|＝a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥9， 当且仅当＝即a＝b＝3时取等号， ∴此时直线l：x＋y－3＝0， 故|OA|＋2|OB|的最小值为9，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 题型四 定点问题 1．已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)． (1)直线l过定点____________. (2)若直线l不过第一象限，则k的取值范围为____________. (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则S△AOB最小时直线l的方程为____________. 【答案】(1)(－3,1)　(2) (3)x－3y＋6＝0 【解析】(1)kx－y＋1＋3k＝0可化为y－1＝k(x＋3)． ∴直线l过定点(－3,1)． (2)令x＝0得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为3k＋1.　 由题意知解得k≤－. 故k的取值范围是. (3)设直线的方程为＋＝1，则＋＝1(a<0，b>0)， 即1＝＋≥2，∴≥2. ∴S△AOB＝－ab≥6(当且仅当a＝－6，b＝2时取等号)．∴直线l的方程为＋＝1，即x－3y＋6＝0. 2．(多选题)(2024·江西丰城中学月考)已知点A(－2，－1)，B(2,2)，直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则直线l的倾斜角可能为(　　) A．0 B． C． D． 【答案】BD 【解析】∵|AB|＝＝5，且|PA|＋|PB|＝5， ∴直线l与线段AB恒有交点， ∵直线l：y＋＝a， ∴直线l恒过定点C，作出示意图： ∵kAC＝＝－1，kBC＝＝1， 所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 故直线l的倾斜角的取值范围为∪，故选BD. 【名师点拨】确定方程含参数的直线所过定点的方法 1．将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)． 2．将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点． 3．给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标． 解题时，若直线方程中含有参数，应考虑直线是否过定点． 【变式训练】 　(2024·福建厦门外国语学校阶段测试、辽宁实验中学月考)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直线l与连接A(1，－2)、B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(　　) A． B． C． D．∪ 【答案】D 【解析】直线(x＋y＋1)m＋(2x－y－1)＝0， 由 解得即直线l过定点P(0，－1)， 设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为α，则0≤α<π， 显然直线PA的斜率为＝－1，直线PB的斜率为＝1，由于直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB总有公共点，则－1≤k≤1，即－1≤tan α≤1，又k＝＝－1＋≠－1，于是－1<tan α≤1，因此0≤α≤或<α<π，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选D.　　　　　　　　　　　　　　　　 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2024·山东学情质检)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.故选D. 2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 【答案】D 【解析】直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D. 3．(2025·贵州“三新”改革联盟联考)已知A(－1，－4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，则实数λ的值为(　　) A．－7 B．－5 C．－2 D．2 【答案】A 【解析】因为A(－1，－4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，则kAB＝＝tan ＝－1，解得λ＝－7.故选A． 4．(2024·广东东莞期末)若直线l的一个方向向量是(1，－)，则直线l的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】直线l的一个方向向量是(1，－)，故斜率为＝－.设直线l的倾斜角是θ，则0°≤θ<180°，则tan θ＝－，故θ＝120°.故选C． 5．(2025·重庆乌江新高考协作体调研)若A(1,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则b＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【答案】A 【解析】由题意知kAC＝kAB，即＝－b，∴b＝－.故选A． 6．(2023·云南模拟)若等边三角形一边所在直线的斜率为3，则该三角形另两条边所在直线斜率为(　　) A．－， B．－， C．－， D．－， 【答案】C 【解析】如图，△ABC为正三角形，设AB的倾斜角为α，则tan α＝kAB＝3， 则kBC＝tan＝，kAC＝tan＝－，故选C． 7．直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M(1，－2)恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0 C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0 【答案】B 【解析】设P(x0,0)，Q(0，y0)， ∵M(1，－2)为线段PQ中点， ∴x0＝2，y0＝－4， ∴直线PQ的方程为＋＝1， 即2x－y－4＝0. 8．(2024·安徽黄山八校联盟期中联考改编)下列说法正确的是(　　) A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝ C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 D．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】D 【解析】当斜率为－时，倾斜角为120°，当斜率为时，倾斜角为60°，故A错误；两点式使用前提是x1≠x2，y1≠y2，故B错误；经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线也可以为过原点，即y＝x，故C错误；直线x－y－2＝0与两坐标轴交点分别为(0，－2)，(2,0)，则与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2×2＝2，故D正确．故选D. 9．(2024·山东济南中学月考)若直线y＝ax＋1与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段总有公共点，则a的取值范围是(　　) A． B．∪[1，＋∞) C． D．(－∞，－2]∪ 【答案】B 【解析】由直线y＝ax＋1可得直线的斜率为a，且过定点P(0,1)，又A(2,3)，B(－3,2)，则由图可得，要使直线与线段AB总有公共点，需满足a≥kPA或a≤kPB，又kPA＝＝1，kPB＝＝－，∴a≥1或a≤－.故选B. 二、多选题 10．(2024·江苏苏州常熟中学调研)直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0(ab≠0，a≠b)，下列图象中正确的是(　　) 【答案】BC 【解析】直线l1：y＝ax－b，l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)，A选项，由图可知：l1：⇒l2：所以A选项错误；B选项，由图可知：l1：⇒l2：所以B选项正确；C选项，由图可知：l1：⇒l2：所以C选项正确；D选项，由图可知：l1：⇒l2：所以D选项错误．故选BC． 11．(2025·辽宁辽南协作体期中)已知直线l过点P(3,2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　) A．直线l的方程为x－3y＋3＝0 B．直线l与直线l1的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为1 D．这样的直线l有两条 【答案】ABC 【解析】因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为y－2＝(x－3)，即l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3,2)且斜率为的直线只有一条，故D错误．故选ABC． 三、填空题 12．(2025·浙江五校联盟联考)直线3x－4y＋3＝0的一个方向向量是____________(答案不唯一)． 【答案】 【解析】因为直线3x－4y＋3＝0的斜率为，所以直线3x－4y＋3＝0的一个方向向量是. 13．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________. 【答案】x＋13y＋5＝0 【解析】由题意可知BC的中点为H， ∴kAH＝＝－. 故所求直线的方程为y－0＝－(x＋5)， 即x＋13y＋5＝0. 14．(2024·上海嘉定一模)直线x＝1与直线x－y＋1＝0的夹角大小为________. 【答案】 【解析】因为直线x＝1的斜率不存在，倾斜角为，直线x－y＋1＝0的斜率为，倾斜角为，故直线x＝1与直线x－y＋1＝0的夹角为－＝. 15．直线x－y＋4＝0绕其与x轴的交点顺时针旋转所得直线的方程为____________. 【答案】x－3y＋4＝0 【解析】直线x－y＋4＝0与x轴的交点为，斜率为，倾斜角θ为，可知所求方程直线的倾斜角为，斜率k＝，故所求直线的方程为y＝，即x－3y＋4＝0. 【巩固必刷题】 1．(2024·广东深圳实验中学期中)已知点A(－2，－1)，B(3,0)，若点M(x，y)在线段AB上，则的取值范围是(　　) A．∪[3，＋∞) B． C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3] 【答案】A 【解析】设Q(－1,2)，则kQA＝＝3，kQB＝＝－，因为点M(x，y)在线段AB上，所以的取值范围是∪[3，＋∞)，故选A． 2．(2025·福建漳州期中)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0 【答案】B 【解析】如图所示：∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，由角平分线的性质可知：＝⇒＝⇒a＝，所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是＝⇒2x－y－1＝0，故选B. 3．过点P(1,2)与两坐标轴围成三角形的面积为4的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】设过点P的直线方程为＋＝1， 则解得或 或∴符合题意的直线有3条，故选C． 4．(多选题)(2024·福建莆田五校期中)已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 【答案】AD 【解析】由x＝0得y＝2－a，由y＝0得x＝，(显然a＝0不符合题意)由2－a＝，得a＝1或2.故选AD. 5．(2025·吉林名校联盟联考)对于直线l：(m－1)x＋y－2m＋3＝0，下列选项正确的是(　　) A．直线l恒过点(2，－1) B．当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 C．若直线l不经过第二象限，则m∈ D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】(m－1)x＋y－2m＋3＝0可变形为(x－2)m－x＋y＋3＝0，由得所以直线l恒过点(2，－1)，故A正确；当m＝2时，直线l在x，y轴上的截距分别为1,1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；当m＝1时，直线l的方程为y＝－1，直线l也不经过第二象限，故C不正确；因为直线l过定点(2，－1)，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为＝，故D正确．故选ABD. 【尖子拔高题】 1.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程； (4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【解析】 (1)证明：设直线过定点(x0，y0)， 则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k∈R恒成立， 即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立． 所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0. 解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)． 另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)， 显然x＝－2，y＝1时对任意k方程都成立， 故直线过定点(－2,1)． (2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1， 要使直线l不经过第四象限， 则解得k的取值范围是k≥0. (3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，由题意得＝4， 解得k＝或k＝或k＝－， 故所求直线方程为x－2y＋4＝0或(2－3)x－2y＋4(－1)＝0或(2＋3)x＋2y＋4(＋1)＝0. (4)又－<0，且1＋2k>0，∴k>0， ∴S＝＝≥(4＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章　平面解析几何 第1节　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 知识点1　直线的倾斜角 ★★★☆☆ 知识点2　直线的斜率★★★☆☆ 知识点3　直线方程的五种形式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时训练挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 知识点1　直线的倾斜角★★★☆☆ 1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴 正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. 2．倾斜角的取值范围为 [0°，180°). 知识点2　直线的斜率★★★☆☆ 1．定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在． 2．过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量与斜率的关系 定 义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为 (1，k) 关 系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝ 知识点3　直线方程的五种形式★★★☆☆ 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于x轴、平行于x轴和 过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求 A2＋B2≠0 适用于平面直角坐标系内的所有直线 【名师点拨】 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0且α越大，k就越大 不存在 k<0且α越大，k就越大 口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线； 小正大负皆递增，分类讨论记心中． 2．特殊直线的方程 (1)过点P1(x1，y1)垂直于x轴的直线方程为x＝x1； (2)过点P1(x1，y1)垂直于y轴的直线方程为y＝y1； (3)过原点的直线的方程为x＝my. 3．谨记以下几点 (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝my＋b. (3)A，B，C三点共线⇔kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)． (4)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)． 【双基自测】　　　　　　　　　　　　　　　　 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(　　) (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　) (5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　　) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) 题组二　走进教材 2．(选择性必修1P58T7)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　) A．－1 B．－3 C．0 D．2 3．(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________. 题组三　走向高考 4．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 5．(2021·山东卷)如下图，直线l的方程是(　　) A．x－y－＝0 B．x－2y－＝0 C．x－3y－1＝0 D．x－y－1＝0 【必练核心题型】 题型一 直线的倾斜角与斜率——自主练透　 1．(2025·江苏南通统测)设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．[0，π] 　 B． C． D．∪ 2．(2024·山东普高大联考)过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(－2,1)，B(2，1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(　　) A． B． C．∪ D．∪ 3．已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　) A．e B．－e C． D．－ 【变式训练】 1．(2024·湖北华中师大附中月考)直线l过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(0,4) C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4) 2．(2024·河南创新发展联盟联考)过点P(1,1)作直线l，若直线l与连接A(2,3)，B(3，－1)两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为(　　) A．[－1,2] B． C． D．(－∞，－1]∪ 题型二 直线的方程——师生共研 1．经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半的直线的方程为____________. 2．(多选题)(2024·陕西部分学校联考)直线l经过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是(　　) A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0 3．(多选题)(2025·浙江数海漫游模拟)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x－y＋1＝0，则直线AB的方程可能为(　　) A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y＋1＝0 C．3x＋y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 【变式训练】 1．(2024·江西丰城中学月考)经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是____________. 2．(2025·河北衡水周测)若一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为____________. 题型三 直线方程的应用——多维探究 角度1　由直线方程判断直线位置 1.若AC<0，BC>0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　) A．第一象限 　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 角度2　直线与坐标轴围成三角形的最值问题 2.已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求： (1)当△AOB面积最小时，直线l的方程； (2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． 【变式训练】 1．(角度1)若直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)不经过第三象限，则A，B，C应满足____________. 2．(角度2)直线l过点M(1,2)，且分别与x，y轴正半轴交于A、B两点，O为原点．求|OA|＋2|OB|的最小值及此时直线l的方程． 题型四 定点问题 1．已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)． (1)直线l过定点____________. (2)若直线l不过第一象限，则k的取值范围为____________. (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则S△AOB最小时直线l的方程为____________. 2．(多选题)(2024·江西丰城中学月考)已知点A(－2，－1)，B(2,2)，直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则直线l的倾斜角可能为(　　) A．0 B． C． D． 【变式训练】 　(2024·福建厦门外国语学校阶段测试、辽宁实验中学月考)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直线l与连接A(1，－2)、B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(　　) A． B． C． D．∪ 　　　　　　　　　　　　　　　 【限时训练】（限时：60分钟） 【基础必刷题】 一、单选题 1．(2024·山东学情质检)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 3．(2025·贵州“三新”改革联盟联考)已知A(－1，－4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，则实数λ的值为(　　) A．－7 B．－5 C．－2 D．2 4．(2024·广东东莞期末)若直线l的一个方向向量是(1，－)，则直线l的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 5．(2025·重庆乌江新高考协作体调研)若A(1,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则b＝(　　) A．－ B．－ C． D． 6．(2023·云南模拟)若等边三角形一边所在直线的斜率为3，则该三角形另两条边所在直线斜率为(　　) A．－， B．－， C．－， D．－， 7．直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M(1，－2)恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0 C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0 8．(2024·安徽黄山八校联盟期中联考改编)下列说法正确的是(　　) A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝ C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0 D．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 9．(2024·山东济南中学月考)若直线y＝ax＋1与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段总有公共点，则a的取值范围是(　　) A． B．∪[1，＋∞) C． D．(－∞，－2]∪ 二、多选题 10．(2024·江苏苏州常熟中学调研)直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0(ab≠0，a≠b)，下列图象中正确的是(　　) 11．(2025·辽宁辽南协作体期中)已知直线l过点P(3,2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　) A．直线l的方程为x－3y＋3＝0 B．直线l与直线l1的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为1 D．这样的直线l有两条 三、填空题 12．(2025·浙江五校联盟联考)直线3x－4y＋3＝0的一个方向向量是____________(答案不唯一)． 13．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________. 14．(2024·上海嘉定一模)直线x＝1与直线x－y＋1＝0的夹角大小为________. 15．直线x－y＋4＝0绕其与x轴的交点顺时针旋转所得直线的方程为____________. 【巩固必刷题】 1．(2024·广东深圳实验中学期中)已知点A(－2，－1)，B(3,0)，若点M(x，y)在线段AB上，则的取值范围是(　　) A．∪[3，＋∞) B． C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3] 2．(2025·福建漳州期中)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0 3．过点P(1,2)与两坐标轴围成三角形的面积为4的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．(多选题)(2024·福建莆田五校期中)已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 5．(2025·吉林名校联盟联考)对于直线l：(m－1)x＋y－2m＋3＝0，下列选项正确的是(　　) A．直线l恒过点(2，－1) B．当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 C．若直线l不经过第二象限，则m∈ D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 【尖子拔高题】 1.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程； (4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$