精品解析：广东省潮州市湘桥区南春中学2025-2026学年高三上学期开学数学试题

广东省潮州市湘桥区潮州市湘桥区南春中学2025-2026学年 高三上学期开学数学试题 试卷满分150分，考试时间120分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一､单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（ ） A. B. 4 C. D. 4. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的一个上四分位数 B. 29是这20人年龄的一个下四分位数 C. 31是这20人年龄的一个中位数 D. 这20人年龄的众数是5 5. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 182 B. 128 C. 56 D. 42 6. 已知，是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 7. 在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 8. “”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二､多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 如果，那么“”是“”的充要条件 D. ，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁 B. 已知随机变量，若，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 D. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则 11. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 三､填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是___________. 13. 现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 14. 若直线与曲线相切，则______． 四､解答题（共5题，77分） 15. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角的大小． 18. 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和. 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省潮州市湘桥区潮州市湘桥区南春中学2025-2026学年 高三上学期开学数学试题 试卷满分150分，考试时间120分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一､单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法及除法运算计算求解. 【详解】由得， 故选：D. 2. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得或，化简集合，再根据的交集的概念及运算，求得，即可求解. 【详解】因为全集集合，可得或， 又由集合， 所以，共有4个元素. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，以及集合中元素个数的判定，其中解答中熟记集合的基本运算的概念及运算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 3. 双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴长是虚轴长的3倍得到方程，求出，从而求出焦距. 【详解】由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得， 所以的焦距为． 故选：C 4. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的一个上四分位数 B. 29是这20人年龄的一个下四分位数 C. 31是这20人年龄的一个中位数 D. 这20人年龄的众数是5 【答案】B 【解析】 【分析】对于AB，由上四分位数，下四分位数概念及计算方式，题目数据可判断选项正误；对于C，由中位数计算方式及题目数据可判断选项正误；对于D，由众数概念可判断选项正误. 【详解】对于A，上四分位数，即分位数，因，则上四分位数为从小到大排列第15个数和第16个数的平均数，为，故A错误； 对于B，下四分位数，即分位数，因，则下四分位数为从小到大排列第5个数和第6个数的平均数，为，故B正确； 对于C，这20人年龄的中位数是，故C错误； 对于D，这20人年龄的众数是32，故D错误. 故选：B 5. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 182 B. 128 C. 56 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得的值，代入公式，即可求得； 【详解】设等差数列的首项为，公差为d， 由，，得， 解得，所以； 故选:D. 6. 已知，是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据是第四象限角和同角三角函数关系式得到，然后用两角差的正弦公式展开所求式子并代入数据即可. 【详解】由，是第四象限角，可得， 所以. 故选：A. 7. 在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论A小区安排的人数，应用分步分类及排列组合数求不同的安排方法数即可. 【详解】①A小区安排一人，有种， ②A小区安排两人，有种， 所以共24种． 故选：A 8. “”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出与直线平行且到直线的距离为1的直线方程，再求出圆心到这两条直线距离，进而利用直线与圆的位置关系确定范围，最后利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】如图所示： 设与直线平行且到直线的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离，则， 所以“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 二､多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 如果，那么“”是“”的充要条件 D. ，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断A；写出存在量词命题的否定判断B；利用充要条件定义推理判断C；利用一元二次不等式恒成立求出范围判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，命题“”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所求否定是“或”，B正确； 对于C，当时，， 因此当时，“”是“”的充要条件，C正确； 对于D，当时，恒成立，当时，则， 解得，因此的取值范围是，D错误． 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁 B. 已知随机变量，若，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 D. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率平均数求解可判断A；根据正态分布性质即可判断B；根据相关系数概念可判断C；根据二项分布期望公式及期望运算性质计算可判断D. 【详解】对A，单位男职工概率为，女职工概率为， 其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁， 则该单位全体职工的平均年龄是岁，故A错误； 对B，随机变量，若，则， 则，故B错误； 对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1，故C错误； 对D，某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量， 则服从二项分布，即，所以， 所以，故D正确. 故选：D 11. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得抛物线的焦点的坐标，求得的值即可判断A；联立直线与抛物线由韦达定理求得，再根据焦点弦公式可求得即可判断B；过点作准线的垂线，垂足为，先求得，再利用抛物线的定义结合“三角形两边之和大于第三边”得周长即可判断C；设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义结合相似三角形知识得到，从而得到即可判断D. 【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确； B选项，当时，联立得，所以B选项错误； C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确； D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，， 根据三角形相似得，所以， 所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确. 故选：ACD. 三､填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出的值，然后写出展开式的通项公式，进而得该二项展开式的常数项. 【详解】的展开式中所有项的二项式系数之和为，. 的展开式的通项公式为， 令，可得， 的展开式的常数项为. 故答案为：240. 13. 现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求解. 【详解】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件， 则彼此互斥，且，. 设随机取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味为事件，则. 故答案为：. 14. 若直线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知切线列式求解即可. 【详解】依题意，设切点为，则， 由，求导得，于是，解得， 从而，则. 故答案为： 四､解答题（共5题，77分） 15. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）0.002 （2） （3）不能 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）由对立事件的概率计算公式求解； （3）先求出列联表，再计算卡方值进行判断即可． 【小问1详解】 依题意得，， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 4月份的空气质量达标的天数为：， 则4月份的空气质量不达标的天数为：， 则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：． 【小问3详解】 列联表如下： 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设：空气质量是否达标与月份无关， 则 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立， 故不能认为空气质量是否达标与月份有关联． 16. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】（1） （2）周长为8，面积为 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ， ， 椭圆 【小问2详解】 根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角的大小． 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以且， 在菱形中，因为且， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）添加适当辅助线，证明出四边形为平行四边形，再通过线线平行证明线面平行； （2）由线面垂直得出线线垂直，再证明为正三角形，得出，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，，，平面， 所以，，． 连接，因为，，且， （或者证 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且． 又因为为正三角形且，所以， 则，，，则，， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以，所以二面角的大小为． 18. 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） 因为，又因为， 所以，即， 两边同时除以可得，， 即，所以. 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系先表示出，再代入原式变形，然后根据等差数列的定义证明即可； （2）先求出的解析式，再利用错位相减法求数列的前n项和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，所以. 所以， ， 所以 ， 所以. 19. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论函数的单调性. （2）①把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，不妨令， ， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $