专题07 相似三角形章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版）

专题07 相似三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例 题型三 相似三角形的新定义问题 题型四 相似三角形的模型问题 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的判定与性质综合 题型七 坐标与图形综合压轴 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1． （2025九年级上·上海宝山·专题练习）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE． 求证：点C是线段AB的黄金分割点． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·单元测试）如图，已知中，，且，请在图中按如下要求进行操作和证明： (1)用圆规在上截取，保留痕迹，标注点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，保留痕迹，标注点； (2)证明点是线段的黄金分割点． 4．（2025·上海松江·模拟预测）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． （1）根据上述定义求黄金比； （2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，并保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C． （3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点． 5．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点： 第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF. 第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD） 6．（2025九年级上·上海嘉定·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由； (2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线. 8．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【经典例题二 平行线分线段成比例】 9．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    11．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 12．（2025·上海徐汇·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 14．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，是底边上的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交边于点，交于点，交边于点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明（）中得到的四边形是菱形． 15．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 16．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 【经典例题三 相似三角形的新定义问题】 17．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）定义：如果将与各分割成两个小三角形，且所分的两个三角形与所分的两个三角形分别对应相似，那么称与互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”．如图，在和中，，且，，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图中画出一组“近似分割线”，注明分割后所得两个小三角形锐角的度数，并给出证明；若不是，请说明理由．    18．（2025·上海奉贤·模拟预测）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 19．（2025·上海闵行·模拟预测）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 20．（24-25九年级上·上海松江·期中）问题探究： 新定义： 将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”） 解决问题： 已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2. （1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，直接写出AD的长； （2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度. （要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等） 21．（2025·上海普陀·模拟预测）由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (1)请依据上面定义和事实，完成下列问题： ①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且． 问：与相似吗？试证明． ②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________． (2)依据（1）中②的结论完成下列问题： 已知，如图乙，在和中，，． ①问：与相似吗？试证明． ②你得到的结论是：________________的两个三角形相似． 22．（2025·上海静安·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P是“和谐点”． （1）点________“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“和谐点”，则点N坐标是________． （2）如图②，若点，点E是线段上一点且，连接并延长交的延长线于点Q，请用含有n的代数式表示的长（需要写出解题过程）． （3）在（2）的条件下，当时，求点Q的坐标． 23．（24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． (1)理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． (2)理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． (3)拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 24．（2025九年级上·上海闵行·模拟预测）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． (1)如图①，在四边形中，，，试判断四边形是否为“等分对角四边形”，并说明理由； (2)如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值． 【经典例题四 相似三角形的模型问题】 25．（2025·上海杨浦·模拟预测）图1是一个不倒翁模型，图2是它的主视图，由和以O为圆心的弧组成，已知，，， (1)求证：是的切线； (2)如图3，转动模型使与地面平行，求此时点B到地面的距离的长度． 26．（24-25九年级上·上海奉贤·开学考试）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，作交的延长线于点E． (1)如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； 27．（24-25九年级上·上海虹口·期末）【认识模型】 (1)如图1，直线l1∥l2，直线m、n分别与l1、l2交于点A、B和点F、D，m和n交于点E．则＝ ；　　　 【应用模型】 (2)如图2，在△ABC中，D是边AB上一点，且．若BC＝4，AB＝10，求AC的长． 28．（2025·上海长宁·模拟预测）某市游乐园有一座匀速旋转的摩天轮（如图），其圆形转轮边缘上均匀分布若干座舱，人们坐在座舱中可以非常惬意地俯瞰周边美景，小明突发奇想，动手制作了一个简易模型（如图），通过测量，的半径为，且点在直线上，然后他用一个三角板学具（）做一些数学实验，当点落在直线上，点在上时，发现另一直角边与交于点，且点恰好是的中点，连接，并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：是切线． 29．（2025·上海崇明·模拟预测）【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，， （1）①求证：； ②判断的形状，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 30．（2025·上海奉贤·模拟预测）雄伟壮观的马栏革命纪念碑在历史的风云中永远纪念革命先辈的抗战壮举．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量马栏革命纪念碑高度的活动． 活动主题 测量马栏革命纪念碑高度 测量工具 皮尺、标杆、激光笔等 活动过程 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①在点处竖立一根高3米的标杆； ②地面上的点、标杆上的点和碑顶在一条直线上，米，米； ③地面上的点、标杆顶点和碑顶在一条直线上，米； ④点、、、在同一水平直线上，点在上，，，图中所有点均在同一平面内． 说明 在测量过程中注意自身和他人的安全． 请根据表格中提供的信息，求出马栏革命纪念碑的高度． 31．（24-25九年级上·上海金山·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 32．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【经典例题五 相似三角形的动点问题】 33．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，．动点从点出发，沿方向运动，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是． (1)几秒后、两点相距？ (2)几秒后与相似？ 34．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）如图，在中，，点M是上的一个动点，交于点N，若点M从点B处开始向点A方向运动，速度为每秒2个单位．    (1)当运动2秒时，求的长； (2)如果记运动的时间为x秒，的长度为y个单位，请你写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． 35．（24-25九年级上·上海嘉定·期末） 如图， 在等腰中，， 有两动点P、 Q分别在边上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题： (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似． 36．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，D是边上不同于B、C的一动点，过D作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)当，，时，求的面积． 37．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知：在平行四边形中，点M、N分别是边一个动点，联结. (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，试问是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理由    38．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，取线段的中点，过点作，在的上方取线段，使，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． 39．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果、分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果 、分别从，同时出发，那么几秒后，与相似？ 40．（2025·上海宝山·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【经典例题六 相似三角形的判定与性质综合】 41．（24-25九年级上·上海青浦·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 42．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 43．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 44．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在和中，，，垂足为D和，且．求证：． 45．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，点B、C、E在一条直线上，和是等边三角形，且，，是的中点，连结交于点，交于点．求、的长． 46．（2025·上海崇明·模拟预测）【问题重现】如图（1），为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【问题迁移】如图（2），在和中，，，． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】如图（3），在和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值． 47．（24-25九年级上·上海宝山·期中）小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 48．（2025·上海静安·模拟预测）在平行四边形中，，，点E为平面内一点，且． (1)若， ①如图1，当点E在上时，连接，作交于点F，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，求的长度； (2)如图3，连接，若，P为边上一点（不与A、B重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点G，连接，点E在运动的过程中，的最大值与最小值的差为 ． 【经典例题七 坐标与图形综合压轴】 49．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求点M的坐标； (2)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标． 50．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为点A，B，C． (1)请直接写出点A，点B、点C的坐标． (2)求的面积． 51．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 52．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 53．（24-25九年级上·闵行·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 【读】：坐标系中两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离， 【思】：例如：若点，则． 【悟】：完成任务： （1）若坐标平面内有两点，，则= ； （2）若坐标平面内有两点，，求A、B两点间的距离； 【省】迁移应用： 若坐标平面内有点，点B在y轴上，且A、B两点间的距离是，请求出B的坐标． 54．（24-25九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 55．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 56．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转90°得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出； (2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例 题型三 相似三角形的新定义问题 题型四 相似三角形的模型问题 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的判定与性质综合 题型七 坐标与图形综合压轴 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【答案】（1）厘米；（2）或． 【分析】（1）根据条件建立等式，求解即可； （2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为和，然后建立等式求解． 【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且， 可知，此时 厘米； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和， 故或． 【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE． 求证：点C是线段AB的黄金分割点． 【答案】见解析 【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD=，则AE=AD-DE=-1，再利用画法得到AC=AE=-1，即AC=AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点． 【详解】证明：∵AB＝2，BD＝AB， ∴BD＝1． ∵BD⊥AB于点B， ∴AD＝， ∴AE＝AD﹣DE＝﹣1， ∴AC＝AE＝﹣1， ∴AC＝AB， ∴点C就是线段AB的黄金分割点． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·单元测试）如图，已知中，，且，请在图中按如下要求进行操作和证明： (1)用圆规在上截取，保留痕迹，标注点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，保留痕迹，标注点； (2)证明点是线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意，按顺序画出所需弧并标注点即可； （2）根据圆的定义以及勾股定理计算出AP的长度，然后计算AP与AB的比值即可． 【详解】（1）根据题意画图如下： （2）解：设，则，， 由题意得，， 则， ， 则点是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了尺规作图和黄金分割的定义，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 4．（2025·上海松江·模拟预测）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． （1）根据上述定义求黄金比； （2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，并保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C． （3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）设AB=a，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案． （2）根据要求作出图形即可． （3）设AB=a，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可． 【详解】解：（1）如图，设，，． 由，得．∴， 即， 解这个方程，得，（不合题意，舍去）． 所以，黄金比． （2）（1）如图所示． ①作线段的垂直平分线，得线段的中点M； ②过点B作垂线l； 方法2：如图所示，用圆规过点B作垂线l． ③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N； ④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P； ⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C． （2）证明：设，由以上作法可知，， 在中，， ∴． ∴，所以点C是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点： 第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF. 第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD） 【答案】见解析 【分析】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=，则A′F=﹣1．设AG=A'G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2，列出关于x的方程，解方程求出x=，即可说明点G是AD的黄金分割点． 【详解】如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=． 在Rt△BCF中，BF==， 则A′F=BF﹣BA′=﹣1． 设AG=A′G=x，则GD=1﹣x， 在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2， 即， 解得x=， 即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）． 【点睛】本题考查黄金分割的概念：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．熟记黄金分割的概念是解题关键. 6．（2025九年级上·上海嘉定·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由； (2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算； (2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念． 【详解】解：∵， 又∵D是AB的黄金分割点， ∴，， ∴CD是△ABC的黄金分割线； (2)不是． ∵CD是△ABC的中线， ∴AD=DB， ∴， 而， ∴， ∴中线不是黄金分割线． 【点睛】考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式． 8．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【答案】(1)满足的矩形是黄金矩形 (2)见解析 (3)直线是的黄金分割线，理由见解析 (4)无数条 【分析】（1）仿照题意进行定义即可； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【详解】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形， 故答案为：满足的矩形是黄金矩形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （3）解：直线是的黄金分割线，理由如下： ∵点P是线段的黄金分割点， ∴， 设的边上的高为h，则 ， ∴ ∴直线是的黄金分割线． （4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条． 【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题二 平行线分线段成比例】 9．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 11．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出，继而可求． 【详解】解：，， ，， ，，， ， ， ． 12．（2025·上海徐汇·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，是解题的关键： （1）过点作交于点，根据平行线分线段成比例，得到，两式相乘，得到，即可得证； （2）作，同（1）法可得：，结合，两式相乘即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 14．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，是底边上的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交边于点，交于点，交边于点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明（）中得到的四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由线段垂直平分线的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即得，进而由平行线等分线段定理可得，即得到，即可求证． 【详解】（1）解：作图如图所示: （2）证明：由（）得，直线垂直平分线段， ，，， ，是底边上的中线， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线等分线段定理，菱形的判定，正确画出图形是解题的关键． 15．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)①cm；② 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）①根据（1）中的结论即可求解． ②根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 解得cm； ②解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【经典例题三 相似三角形的新定义问题】 17．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）定义：如果将与各分割成两个小三角形，且所分的两个三角形与所分的两个三角形分别对应相似，那么称与互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”．如图，在和中，，且，，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图中画出一组“近似分割线”，注明分割后所得两个小三角形锐角的度数，并给出证明；若不是，请说明理由．    【答案】画图见解析，和互为“近似三角形”，证明见解析 【分析】根据题意画出图形，然后利用相似三角形的判定求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴； ∵， ∴ ∴和互为“近似三角形”． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．（2025·上海奉贤·模拟预测）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解； （2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可． 【详解】（1）解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； （2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形， ， 因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，平行线分线成比例定理，二次根式的化简，新定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．（2025·上海闵行·模拟预测）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能． 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念，分类讨论，列式计算即可求解； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：（1）是比例三角形，且，， ①当时，得， 解得， ， （不符合题意，舍去）； ②当时，得， 解得. ， （不符合题意，舍去）； ③当时，得， 解得（负值已舍去）， 当时，是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①，知， ，即. ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 20．（24-25九年级上·上海松江·期中）问题探究： 新定义： 将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”） 解决问题： 已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2. （1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，直接写出AD的长； （2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度. （要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等） 【答案】（1）AD=2；（2）符合题意的图形见解析，BE=，GH=2 【详解】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，底边上的高线即可求得； （2）作中线BE，中线BE即为一条等积线，利用勾股定理即可求得长度； 作GH//BC，GH将Rt△ABC的面积分为相等的两份，则GH即为一条等积线，根据相似三角形的性质即可求得长度. 试题解析：（1）在Rt△ADC中， ∵AC=2，∠C=45°， ∴AD=2； （2）符合题意的图形如下所示： E为AC中点，则有AE= , 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得BE= =； GH∥BC，S△AGH=S△ABC， ∵GH//BC，∴△AGH∽△ABC， ∴， ∵∠A=90°，AB=AC=，∴BC==4， ∴， ∴GH=2. 21．（2025·上海普陀·模拟预测）由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (1)请依据上面定义和事实，完成下列问题： ①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且． 问：与相似吗？试证明． ②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________． (2)依据（1）中②的结论完成下列问题： 已知，如图乙，在和中，，． ①问：与相似吗？试证明． ②你得到的结论是：________________的两个三角形相似． 【答案】(1)①相似；证明见解析；②相似 (2)①相似；证明见解析；②两边对应成比例，夹角相等 【分析】（1）①过点D作DF∥AC，利用三角形相似的定义证明即可；②由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似； （2）①根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明；②由①中可知两边成比例且夹角相等，可以判定三角形相似进而可得答案． 【详解】（1）①相似． 证明如下：如图，过点D作交BC于点F 易得：四边形DECF是平行四边形，即DE=FC 由已知得 ，， ∵DE∥BC ∴ 又∵DF∥AC ∴ ∴ ∴由相似三角形定义得：∽． ②  解：由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似 故答案为：相似． （2）①相似． 证明如下：如图，在AB上取一点D，使，过点D作交AC于点E ∵，， ∴∽ ∴，， ， ∵，， ∴ ∴ 在和中， ∴≌（SAS） 又∵∽ ∴ ∽． ②解：由题意知，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 故答案为：两边对应成比例，夹角相等． 【点睛】本题考查相似三角形的定义及事实的应用，全等三角形的判定，平行线的性质．理解题意综合运用知识是解决本题的关键． 22．（2025·上海静安·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则点P是“和谐点”． （1）点________“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“和谐点”，则点N坐标是________． （2）如图②，若点，点E是线段上一点且，连接并延长交的延长线于点Q，请用含有n的代数式表示的长（需要写出解题过程）． （3）在（2）的条件下，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1）不是；点 ；（2），过程见解析；（3） 【分析】（1）由题干“和谐点”的定义计算出和即可判断点M是否为“和谐点”；同理根据“和谐点”的定义可列出关于a的等式，解出a即可知N点坐标． （2）由题意可设．又易证，即得出，即可列出PQ和n的等式，整理即可． （3）由，即可求出n的大小，即得出Q点坐标． 【详解】（1）∵，， ∴点M不是“和谐点”； ∵，， ∴， ∴． 故点N坐标为． （2）∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，． （3）∵， ∴， 解得，，经检验是原方程的解． ∴， ∴； 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质．理解“和谐点”的定义和利用数形结合的思想是解答本题的关键． 23．（24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． (1)理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． (2)理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． (3)拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）的中点即为所求的点，理由如下：由，，得，因为四边形为对余四边形，且，得，可得，推出，由为中点，即可得出应为的中点； （2）①由四边形是对余四边形，，得，再由是等腰直角三角形，即可求解；②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则，，先证明，得，在中，利用，即可得出答案； （3）若是等腰三角形，分三种情况进行讨论，第一种情况：当时，推出，得，进而求解；第二种情况：当时，过点作于，由，可设，则，推出，在中，由勾股定理，得，即，求出，利用即可得出答案；第三种情况：当时，能推出点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意． 【详解】（1）解：如图（1）所示，的中点即为所求的点，理由如下： 由题意可知，，， ， 又四边形为对余四边形，且， ， ， ， 利用尺规作图，过点作交于点， ， 又为中点， ， 应为的中点； （2）①四边形是对余四边形，, ， ， ，， ， ； ②，理由如下：如图（2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，， 则，， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ； （3）若是等腰三角形，分三种情况进行讨论， 第一种情况：当时，如图（3）， ， ， ， ， ； 第二种情况：当时，如图（4）， 过点作于， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ； 第三种情况：当时， ， ， ， , 此时点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义问题、平行线分线段成比例、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． 24．（2025九年级上·上海闵行·模拟预测）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． (1)如图①，在四边形中，，，试判断四边形是否为“等分对角四边形”，并说明理由； (2)如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值． 【答案】(1)四边形是“等分对角四边形”，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据证明，即可得到平分，然后根据“等分对角四边形”的定义判断即可； （2）先根据得到，即可得到，，然后根据相似得到对应边成比，即可得到，，进而利用证明，即可得到结论； （3）先根据证明，得到，然后分为和两种情况作辅助线，利用全等三角新的判定和性质、相似三角形的判定和性质得到与的关系求比值即可． 【详解】（1）解：四边形是“等分对角四边形”. 理由如下：如图，连接， ， ， ， ∴平分， ∴ 四边形是“等分对角四边形”； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ①当时，如②，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 与是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ，即 ； ②当时，如图，连接并延长交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ； 综上所述，为或． 【经典例题四 相似三角形的模型问题】 25．（2025·上海杨浦·模拟预测）图1是一个不倒翁模型，图2是它的主视图，由和以O为圆心的弧组成，已知，，， (1)求证：是的切线； (2)如图3，转动模型使与地面平行，求此时点B到地面的距离的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）连接，证，得，据此可知，从而得证； （2）连接，延长交于点H，由，知，结合，，则，得的长度，判定为矩形从而求出的长，继而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与中， ， ∽， ，， ， ，即， ， 又是半径， 是的切线． （2）如图，连接，延长交于点H， ，， ， 为的切线， ，即， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ． 26．（24-25九年级上·上海奉贤·开学考试）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，作交的延长线于点E． (1)如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：, ∴， ∴． 27．（24-25九年级上·上海虹口·期末）【认识模型】 (1)如图1，直线l1∥l2，直线m、n分别与l1、l2交于点A、B和点F、D，m和n交于点E．则＝ ；　　　 【应用模型】 (2)如图2，在△ABC中，D是边AB上一点，且．若BC＝4，AB＝10，求AC的长． 【答案】(1) (2)AC＝2 【分析】（1）通过证明，可得，即可推导出． （2）如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E，作CH⊥AE，垂足为H，交AB于点F，通过证明△AHF≌△BCF，可得AF＝BF＝5，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵l1∥l2 （2）解：如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E，作CH⊥AE，垂足为H，交AB于点F． ∵BC∥AE， ∴△CDB∽△EDA ， ＝． ∵， ∴AC＝CE． ∵＝    ∴＝． ∵△CDB∽△EDA，BC＝4， ∴AE＝8． ∵AC＝CE，CH⊥AE，   ∴AH＝HE＝4． ∴AH＝CB， 在△AHF和△BCF中 ∴△AHF≌△BCF． ∵AB＝10，   ∴AF＝BF＝5． ∴在Rt△AHF中， ∴HC＝6． ∴在Rt△ACH中，． 【点睛】此题考查了相似三角形得综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理． 28．（2025·上海长宁·模拟预测）某市游乐园有一座匀速旋转的摩天轮（如图），其圆形转轮边缘上均匀分布若干座舱，人们坐在座舱中可以非常惬意地俯瞰周边美景，小明突发奇想，动手制作了一个简易模型（如图），通过测量，的半径为，且点在直线上，然后他用一个三角板学具（）做一些数学实验，当点落在直线上，点在上时，发现另一直角边与交于点，且点恰好是的中点，连接，并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：是切线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直径所对圆周角为直角和切线的判定， 由勾股定理可得的长，再由圆周角定理及勾股定理可得的长，最后根据相似三角形的判定定理可得结论； 根据相似三角形的性质得，及可证明，由切线的判定方法可得结论． 【详解】（1）证明：如图， 点是的中点，，， ， ， 的半径为，是的直径， ，， ， 在中，，，， 在中，，，， ， ∽； （2）由知∽， ， ， ， ， 是半径， 是切线． 29．（2025·上海崇明·模拟预测）【模型建立】如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），是延长线上一点，，连接，， （1）①求证：； ②判断的形状，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图，连接与交于点，连接，试判断与的关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②为等腰直角三角形，理由见解析；（2）垂直平分，理由见解析；（3）． 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，即可证明，根据全等三角形的对应边相等得证； ②由，得到，推出，从而得到为等腰直角三角形； （2）过点作的垂线交于点，由，得到，进而有，即可证明，得到，又，根据垂直平分线的判定即可得到垂直平分； （3）连接，根据，是等腰直角三角形，得到，从而，又，得到，即可证得． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ，， 又， ， ； ②解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， 即， 又， 为等腰直角三角形； （2）解：垂直平分理由如下： 如图，过点作的垂线交于点， ∵是正方形的对角线， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ， ． ∵， ∴， ，， ， ， ， 垂直平分； （3）解：如图，连接， 为等腰直角三角形，垂直平分， ， 是等腰直角三角形． 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 30．（2025·上海奉贤·模拟预测）雄伟壮观的马栏革命纪念碑在历史的风云中永远纪念革命先辈的抗战壮举．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量马栏革命纪念碑高度的活动． 活动主题 测量马栏革命纪念碑高度 测量工具 皮尺、标杆、激光笔等 活动过程 模型抽象 测绘过程与数据信息 ①在点处竖立一根高3米的标杆； ②地面上的点、标杆上的点和碑顶在一条直线上，米，米； ③地面上的点、标杆顶点和碑顶在一条直线上，米； ④点、、、在同一水平直线上，点在上，，，图中所有点均在同一平面内． 说明 在测量过程中注意自身和他人的安全． 请根据表格中提供的信息，求出马栏革命纪念碑的高度． 【答案】18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是正确解答此题的关键． 由题意可得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得结论． 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ，， 米， 米，米，米， ，， ，， ， 米． 答：马栏革命纪念碑的高度为18米． 31．（24-25九年级上·上海金山·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 32．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）图③的情况面积大；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高，然后根据题意得到正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】证明：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）如图所示， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小，则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方，此时内接正方形的面积最大． 【经典例题五 相似三角形的动点问题】 33．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，，，．动点从点出发，沿方向运动，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是． (1)几秒后、两点相距？ (2)几秒后与相似？ 【答案】(1)秒后、两点相距 (2)秒或秒后与相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设秒后、两点相距，用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）分和两种情况，利用相似三角形的性质，列出关系式，求解即可． 【详解】（1）解：设秒后、两点相距， 则，， ， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 秒后、两点相距； （2）解：设秒后与相似， 则，， ， 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：， 秒或秒后与相似． 34．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）如图，在中，，点M是上的一个动点，交于点N，若点M从点B处开始向点A方向运动，速度为每秒2个单位．    (1)当运动2秒时，求的长； (2)如果记运动的时间为x秒，的长度为y个单位，请你写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例以及线段的和差关系． （1）利用路程等于速度乘以时间得到，则用即可得到； （2）根据平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到，即，再利用比例性质变形，用x表示y即可，并写出x的取值范围． 【详解】（1）解：当运动秒时，， ∴ （2）记运动的时间为秒，则，则， ∵， ∴ ∴， 即， ∴． 35．（24-25九年级上·上海嘉定·期末） 如图， 在等腰中，， 有两动点P、 Q分别在边上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题： (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）根据题意可得，则，当时，可证明，则，即，解之即可得到答案； （2）当时，则，当，则，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解；由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴当时，； （2）解：当时，则， ∴， 解得； 当，则， ∴∴， 解得； 当 或 时，以点P、B、 Q为顶点的三角形与相似． 36．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，D是边上不同于B、C的一动点，过D作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)当，，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及三角形面积， 根据题意得，结合公共角即可证明； 利用勾股定理求得，进一步求得和，根据相似性质求得即可求得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则． 37．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知：在平行四边形中，点M、N分别是边一个动点，联结. (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，试问是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理由    【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）由垂直的定义可得，根据四点共圆及平行线的性质可得，，最后根据相似三角形的判定可得结论； （2）延长到，则，根据相似三角形的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴A，M，C，N四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 延长到，则，    ∵， ∴， ∴M，C，N，A四点共圆， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，圆内接四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 38．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在中，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，取线段的中点，过点作，在的上方取线段，使，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当4时， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，二次函数的应用， 对于（1），根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； 对于（2），说明，可得答案； 对于（3），分三种情况当时，当时，当时，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中， 故答案为：； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意可知， ∴， ； 当时， 根据题意，得，， ∴． 39．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果、分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果 、分别从，同时出发，那么几秒后，与相似？ 【答案】(1)秒后，的长度等于． (2)或秒后，与相似． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理，找出关于的一元二次方程是解答本题的关键． （1）设运动时间为秒，则，，，利用勾股定理得到关于的一元二次方程，解方程得到答案． （2）分，两种情况，利用相似三角形的判定定理，可以得到关于的一元二次方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则， ，， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：秒后，的长度等于． （2）当时， ， 即， 解得：； 当时， ， 即， 解得：． 答：或秒后，与相似． 40．（2025·上海宝山·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【经典例题六 相似三角形的判定与性质综合】 41．（24-25九年级上·上海青浦·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 43．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． (1)求证：； (2)用含x的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，当时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），先根据三角形的外角的性质得，再根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），根据相似三角形的对应边成比例可得答案； 对于（3），将数值代入，再计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 即， ∴． （3）∵， ∴， 解得或． 44．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在和中，，，垂足为D和，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形相似的判定方法，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是掌握直角三角形相似的判定方法． 利用直角三角形相似的判定方法及勾股定理证明出，利用相似三角形的性质得出对应角相等，根据两个角相等的三角形是相似三角形即可得出结论． 【详解】证明：，，     ．    设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ， ． 同理可得：， ∽． 45．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，点B、C、E在一条直线上，和是等边三角形，且，，是的中点，连结交于点，交于点．求、的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质得出，，，根据可求出的长，证明，由相似三角形的性质可得出，则可得出答案． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 是的中点， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， 经检验，可得是原方程的解． 46．（2025·上海崇明·模拟预测）【问题重现】如图（1），为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【问题迁移】如图（2），在和中，，，． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】如图（3），在和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②150度；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键： （1）旋转，推出为等边三角形，利用证明即可； （2）①先证明，得到，，进而得到，，即可得证；②相似三角形的性质，等边对等角，结合角的和差关系求出的度数即可； （3）设，勾股定理求出，进而得到，作，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴设，则：，， ∵， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．（24-25九年级上·上海宝山·期中）小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)①角平分线；②菱形的边长为； (2)见解析 【分析】（1）①由折叠知，折痕为的角平分线； ②由菱形的性质可证明，；设菱形的边长为x，则可得关于x的方程，解方程即可． （2）由第一次折叠知；由第二次折叠知，，，则可证明，有，从而根据四边相等的四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：①由折叠知，折痕为的角平分线； 故答案为：角平分线； ②∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为x，则， ∴， 解得：， 即菱形的边长为； （2）证明：由第一次折叠知：； 由第二次折叠知，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 48．（2025·上海静安·模拟预测）在平行四边形中，，，点E为平面内一点，且． (1)若， ①如图1，当点E在上时，连接，作交于点F，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点F，连接，当点F在线段上时，求的长度； (2)如图3，连接，若，P为边上一点（不与A、B重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点G，连接，点E在运动的过程中，的最大值与最小值的差为 ． 【答案】(1)①见解析  ②或 (2) 【分析】（1）①得到△是等边三角形，利用得到，即可得到，即可得到结论； ②分为两种情况作图，过点E作于点G，即可得到点A，B，E，F四点共圆，进而得到，根据勾股定理解答即可； （2）过点P作，且，连接，，即可得到，然后根据对应边成比且夹角相等得到，然后根据对应边成比例求出的长，根据三角形三边关系的应用得到最值求差解答即可． 【详解】（1）①证明：∵在平行四边形中，，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②如图，当点E在的下方时，过点E作于点G， ∵，， ∴， ∴点A，B，E，F四点共圆， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的上方时，如图，过点E作于点G， 同理可得，， ∴； 综上所述，长为或； （2）解：如图，过点P作，且，连接，， ∵，作的角平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系的应用可得， ∴最大值与最小值的差为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【经典例题七 坐标与图形综合压轴】 49．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求点M的坐标； (2)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握轴上点的横坐标为、平行于轴的直线上点的纵坐标相等这些坐标特征是解题的关键． （1）y轴上的点横坐标为，所以令点横坐标，解出的值，再代入纵坐标表达式求出纵坐标，从而确定点坐标． （2）平行于轴的直线上的点纵坐标相等，已知轴，点纵坐标为，所以令点纵坐标，解出的值，再代入横坐标表达式求出横坐标，确定点坐标． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得， ∴ （2）解：∵点，点且轴， ∴，解得， ∴点M的坐标为． 50．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为点A，B，C． (1)请直接写出点A，点B、点C的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】题目主要考查坐标与图形，利用网格求三角形面积，根据图象求解是解题关键 （1）根据图象直接读出点的坐标即可； （2）结合图象，利用网格直接求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据图象得：； （2）根据图象得：的面积为：． 51．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中点，，． (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的一半时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，三角形的面积． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，即可求的面积； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，，再根据面积为面积的一半得，解方程，进而可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 点C到的距离为4， ∴； （2）解：设点P坐标为， ，， ∵面积为面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴点P坐标为或． 52．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 53．（24-25九年级上·闵行·期中）阅读下列材料，并完成相应的任务． 【读】：坐标系中两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离， 【思】：例如：若点，则． 【悟】：完成任务： （1）若坐标平面内有两点，，则= ； （2）若坐标平面内有两点，，求A、B两点间的距离； 【省】迁移应用： 若坐标平面内有点，点B在y轴上，且A、B两点间的距离是，请求出B的坐标． 【答案】（1）5；（2）；（3）点B的坐标为或 【分析】本题考查了两点间的距离公式，算术平方根的应用； （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）直接根据两点间的距离公式求解即可； （3）设点B的坐标为，再利用两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】解：（1）．     故答案为：5； （2）由两点间距离公式得：． 则A，B两点间的距离为 （3）设，由两点间距离公式得， 解得 ∴点B的坐标为或． 54．（24-25九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，得的面积为：． （2）解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 55．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积． （1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值； （2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算； （3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 解，得， 解，得， 故答案为：； （2）解：∵点在第四象限， ， ∵点A，B的坐标分别为 ； （3）解：设点的坐标为， 点， ∵ ∴ 由（2）知， ， ， ， ， ， 解得：或，故点的坐标为或． 56．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O逆时针旋转90°得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出； (2)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）根据平移的性质作图即可； 本题考查了旋转作图，平移作图，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$