第二十四章 相似三角形 重难点检测卷-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版）

第二十四章 相似三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第二十四章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　） A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 【答案】B 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如果，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比例性质，可得答案．利用合分比性质是解题关键． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·上海闵行·课后作业）如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 4．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设，那么向量用向量表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的重心性质得到： ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC中，AD是中线， ， ∴． ∴ 又∵点O是△ABC的重心， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出是解题的关键． 5．（24-25九年级上·上海金山·开学考试）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A， B， C都在横格线上．若线段， 则线段 长为（   ） A．24 B．32 C．36 D．48 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】解：如图，过作交格线于，则于， 由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海宝山·模拟预测）已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知四边形四边形，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：6． 9．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图所示，要使，需要添加一个条件 （填写一个正确的即可） 【答案】 【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明与相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：添加， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键． 10．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，如图，L1∥L2∥L3，AB=4，AC=10，EF=9，则DE= ． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出DE即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB=4，AC=10，EF=9， ∴BC=AC-AB=6， ∴， ∴DE=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能够根据平行线分线段成比例定理得出比例式，难度适中． 11．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 米． 【答案】/ 【分析】由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，， （米）， 即此时主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键． 13．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 根据题意可得，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴， 由题意，， 解得， 故答案为：． 14．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即= ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性运算及平行四边形的性质得到，即可得到，根据平行四边形的性质得到，结合点E是的中点推出，得到，所以，进而得到结论． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 ． 【答案】100 【分析】根据位似图形的性质：周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】解：由题意知五边形与五边形位似，， ，五边形的周长为， 五边形的周长：五边形的周长为， 五边形的周长， 故答案为：100． 【点睛】本题考查位似性质，熟记位似图形周长比等于位似比是解决问题的关键． 16．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形性质，解题关键是通过角度关系、边的比例找相似三角形，利用相似性质推导结论 ． ①求出，根据相似三角形的判定推出即可；②求出，得出比例式，把代入，即可求出答案；③通过等积式倒推可知，证明即可；④转化为，证明，问题可证． 【详解】解：∵在的同侧作等腰和等腰，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，故①正确； 由已知：，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即，即，故②错误； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，故③正确； 由可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，故④正确； 即正确的为：①③④， 故答案为：①③④． 17．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【详解】 解：∵在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，， ∵点的坐标为, ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，， ， ∵矩形的对角线交点 ，即， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和性质，根据题意得，则有，判定，有，设的高为h，则的高为，可知、和，即可求得阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴ ∵两条对应边，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设中边上的高为h，则中边上的高为， 中边上的高为， ∵， ∴，， ∴， 则阴影部分面积为， 故答案为：7． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】44 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理， 根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴. ∵ ∴ 解得， ∴. 21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 22．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 23．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在正方形中，，记，． (1)______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)画向量； (4)求______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)， (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据正方形的性质，向量和差运算法则求解即可； （2）根据正方形的性质和相反向量的定义，即可解决问题； （3）根据向量加法的平行四边形法则求解即可； （4）根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形 ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵正方形， ∴， ∴图中所有与互为相反向量的向量：，； （3）解：如图，所画向量，   ； （4）解：如图，过点M作与点E，    ∵正方形中，， 则有，，， ∴， 由勾股定理得， 即． 故答案为： 【点睛】本题考正方形的性质，勾股定理，向量等知识，解题的关键是理解向量的定义以及向量和差运算法则，属于中考常考题型． 24．（24-25九年级上·上海松江·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了利用位似变换作图，确定位似中心，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心P； （2）延长到，使，延长到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标． 【详解】（1）解：点的位置如图所示 ； （2）解：如图，即为所求； ∴. 25．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．    【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 【答案】初步探究：；类比迁移：；拓展应用：（）；（） 【分析】初步探究：证明，从而得出，即可求解； 类比迁移：作于，同理初步探究可得，从而，不妨设，，则，，从而得出和，进而得出，从而得出，的值，可证得，从而，进而得出的值，进一步得出结果． 拓展应用：（）可推出，，从而得出，作的垂直平分线，交于，作于，作，可推出，从而得出故设，，，设，，在中，根据勾股定理得，从而求得，根据得出，从而得出，进一步得出结果； （）根据题意可设，则，，从而得出，，作的垂直平分线，交于，作于，从而得出，，进而得出，可表示出，，根据得出的值，进而即可求解． 【详解】初步探究：，， ，是等边三角形， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ； 类比迁移：如图，    作于， ，， ， 同理初步探究可得，， ， 不妨设，，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展应用：（）如图，    由题意不妨设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于，作， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 设，， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （）如图，   ， ， 设，则，， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于， ， ， ， ， ， 由（）可得，， ， 由得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第二十四章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　） A． 平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 2．（24-25九年级上·上海松江·期末）如果，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海闵行·课后作业）如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，在△ABC中，中线AD、CE交于点O，设，那么向量用向量表示为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海金山·开学考试）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A， B， C都在横格线上．若线段， 则线段 长为（   ） A．24 B．32 C．36 D．48 6．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海宝山·模拟预测）已知，那么的值是 ． 8．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知四边形四边形，若，，则的长为 ． 9．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图所示，要使，需要添加一个条件 （填写一个正确的即可） 10．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，如图，L1∥L2∥L3，AB=4，AC=10，EF=9，则DE= ． 11．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图，，， ． 12．（2025九年级上·上海长宁·专题练习）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 米． 13．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 14．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即= ． 15．（24-25九年级上·上海金山·期末）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，五边形的周长为，则五边形的周长是 ． 16．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 17．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴负半轴和轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 18．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，已知，两条对应边，在同一条直线上，为上一点，，连接，分别交，于点，，其中，则阴影部分面积为 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知，，求的值． 20．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 21．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在与中，，，求证：． 22．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 23．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在正方形中，，记，． (1)______； (2)写出图中所有与互为相反向量的向量：______； (3)画向量； (4)求______．（直接写答案） 24．（24-25九年级上·上海松江·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 25．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．    【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$