精品解析：河北省石家庄市辛集中学2025-2026学年高三上学期开学收心练习数学试题

河北辛集中学高三年级暑假开学收心练习高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘除法运算求出复数，得到共轭复数，再作差求解即可. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：B. 3. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4. 在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，求得事件A至少发生1次的对立事件为在4次独立重复试验中，事件A一次也没有发生，即可求解得,再由二项分布的期望公式可求解． 【详解】设事件A在每次试验中发生的概率为p， 由题意知，事件A一次也没发生的概率为，则，解得． 事件A发生的次数服从二项分布，故． 故选:A． 5. 已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由题意知在上只能是单调递增， 所以在上单调递增，所以 得. 又单调递增，所以. 综上得. 故选：C 6. 已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得函数关于直线对称，，进而构造函数，易得其关于点对称，在上单调递增，再分时和时两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为定义在上的函数满足为偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 因为当，有，即， 故令，则在上单调递增， 因为， 所以关于点对称， 所以在上单调递增， 因为，所以 所以，当时，，所以. 当时，，所以且，即无解. 所以，不等式的解集是 故选：A 7. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意切化弦，然后利用已知条件求解三角函数式的值即可. 【详解】由题意可得：. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角齐次式的求值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得在上的取值范围要包含上的取值范围，分别求函数在，上的取值范围，列不等式可求结论. 【详解】若，，使成立， 则在上的取值范围要包含上的取值范围， 当时，，， 当时，，， 当时，，不合题意， 当时，，函数在单调递增， 则时，， 符合题意， 当时，我们进行如下讨论， 若时，，函数在单调递减， 若时，，函数在上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值为， ， 所以，解得，所以， 综上的范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件，，使成立，转化为在上的取值范围要包含上的取值范围. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为 C. 系数最大项为第2项 D. 有理项共有4项 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据展开式的项数确定的值，根据二项式系数的性质判断A；令可得所有项的系数和从而判断B，利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD． 【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以． 故所有项的二项式系数和为，故A正确； B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误； 因为二项展开式的通项公式为： ．. C项， 当，设项系数最大， 由，解得，则， 且，第3项系数为. 当时，，系数为1； 当时，，系数为； 由，故第3项的系数最大；故C错误； D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6， 所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确． 故选：AD. 10. 已知为数列的前项和，，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的最大值是1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用与关系，求出通项公式，即可判断A、B；利用等比数列求和公式，求出，进而确定，即可判断C选项；利用基本不等式即可判断D选项. 【详解】对于选项AB：由，时，有，所以， 当时，，两式相减得，且，可得， 可知数列是以为首项，公比为的等比数列，则， 故A错误，B正确； 对于选项C：因为，可得，， 所以是等比数列，故C正确； 对于选项D：因为，所以，由基本不等式可得， 而，，当，即时取等号，故的最大值是， 故D正确； 故选：BCD． 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若则曲线在的切线方程为 B. 若当且仅当，则的取值范围 C. D. 若函数有三个零点为，则的取值范围 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可判定A，含参讨论函数的单调性结合特例可判定B，利用解析式直接计算可判定C，根据B结合含参讨论函数的单调性得出函数大致图象，结合C，得出零点间关系计算即可. 【详解】对于A，易知时，，所以， 即曲线在的切线方程为，故A正确； 对于B，，， 易知时，则，此时定义域上单调递增，而， 即当且仅当，，故B错误； 对于C，易知显然成立，故C正确； 对于D，由B项知，当时，令， 由可知：， 则在和上单调递增， 在上单调递减， 因为，且时，，时，， 可大致作出函数图象， 不妨设，可知， 因为，由C知，即， 因为，根据函数单调性知，即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：对于B项，含参讨论导函数零点个数判定函数的单调性即可；对于D项，利用C项的结论将多元变量转化是解决本题关键. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.） 12. 已知等差数列的前项和为，则______ 【答案】81 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到，然后解方程即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为：81. 13. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，再结合函数的周期性和奇偶性可求得的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且满足， 则， 所以，，即， 所以，函数是周期为的周期函数， 且当时，， 则. 故答案为：. 14. 设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的正负性与原函数的单调性的关系，结合构造函数法进行求解即可. 【详解】由， 因为在上是减函数， 所以在上恒成立，即， 设， 当时，， 当时，， 因为，所以， 因此当时，， 当时，， 因为，所以， 因此当时，， 因此有，于是有， 故答案为： 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【小问1详解】 设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． 【小问2详解】 因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 17. 已知函数在处取得极值 （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出，再结合，则可求得，再经检验即可求解； （2）由（1）可求出在区间上的单调性，从而可求解. 【小问1详解】 函数的导数为： 由题意，，代入得：，解得， 经检验，符合题意； 故的值为. 【小问2详解】 当时，，导数为： 令，解得，（舍去）， 当，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取到极小值也是最小值； 又，，从而可求最大值为， 故最大值为，最小值为. 18. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. （1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； （2）实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）的分布列为： （2）（i）；列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）能 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表； （ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【小问1详解】 依题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 故. 【小问2详解】 （i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）设函数，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解； （2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果. 【小问1详解】 当时，定义域为， 则， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则定义域为， 则， 令，恒成立， 在上单调递增，又，， ，使得，即，， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ， 且当时，，当时，， 由此可得图象如下图所示， 因直线恒过定点，且斜率为， 若恒成立，结合图象可知：必有，解得， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学高三年级暑假开学收心练习高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 4. 在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望是（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则 A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为 C. 系数最大项为第2项 D. 有理项共有4项 10. 已知为数列的前项和，，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的最大值是1 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若则曲线在的切线方程为 B. 若当且仅当，则的取值范围 C. D. 若函数有三个零点为，则的取值范围 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.） 12. 已知等差数列的前项和为，则______ 13. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______. 14. 设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______． 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是首项为1的等比数列，数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 已知函数在处取得极值 （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. （1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； （2）实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）设函数，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $