精品解析：北京市中关村中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

北京市中关村中学高三第一学期开学数学练习题 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解. 【详解】不等式，即，解得，则， 而，所以. 故选：D 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，进而求出所对应的点的位置. 【详解】由，得， 所以在复平面内所对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得，排除ABD，再根据不等式性质判断C即可. 【详解】对ABD，因为，故，又，故，故，即，故ABD错误； 对C，，故， 又，因为，且，故， 故，即，则，故C正确； 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出运动分钟时动点转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 【详解】每分钟转动一周，则运动到分钟时，转过的角为. 设点的初始位置的坐标为，则，， 运动到3分钟时动点所处位置的坐标是. 由诱导公式可得，， 所以，点的坐标为. 故选：C. 【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可. 【详解】因为，， 又，，所以， 且，所以， 所以. 故选：A 6. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果. 【详解】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的实数根，与极值点的关系，即可结合必要充分条件的定义求解. 【详解】当时，由于，令，则或者， 当时，即，此时在恒成立， 此时的定义域单调递增，此时无零点，故充分性不成立， 若恰有两个极值点，则在上有两个不相等的实数根， 则，，且时，解得且，故必要性成立， 故选：B 8. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别在和 中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解. 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 解得， 故选：C 9. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】设所需时间为秒，则然后两边取对数化简计算即可 【详解】设所需时间为秒，则 ∴， 秒， 故选：B. 10. 已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2.即，得．函数在区间(1,3)上存在零点，由=0，得 令，，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间（2,3）上单调递减，,，所以只需即有零点．选B. 【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则的定义域是______，______． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】利用函数有意义求出定义域；再求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数有意义，则，因此函数的定义域是； 求导得，所以. 故答案为：；0 12. 已知平面内四个不同的点满足.，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用，得到为的中点，再利用，得，即可求解. 【详解】因为，所以为的中点，又， 所以， 又， 而，所以，故， 所以， 故答案：. 13. 等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为_______，_______． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意，等比数列为递增数列，且，取一组符合条件的和公比即可. 【详解】“若为递增数列，则”为假命题， 所以若为递增数列，则， ，则， 等比数列为递增数列，且，则和公比，满足题意. 故答案为：； 14. 已知函数的部分图象如图所示． ①函数的最小正周期为________； ②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：可由图像直接读出半个周期，进而可得周期大小；空2：通过周期大小和函数上的点，可求出的解析式，再平移得到，然后根据奇偶性求参即可. 【详解】空1：由图可知,即 空2：,即， 则，又过点， 所以，即， 又在原图增区间上，所以可取， 所以， 向右平移个单位可得， 又为奇函数，所以， 即, 又， 所以. 故答案为：；. 15. 已知数列满足，，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据数列递推式，求得判断①②；举出特例说明判断③；按和分类讨论判断④. 【详解】由，得，则，， 对于①，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，即，数列单调递增，， 因此不存在，使得，①错误； 对于②，当时，由①知，，则数列单调递增，， 又，因此，②正确； 对于③，取，则，而，因此， 数列有最大值2，最小值为，③正确； 对于④，若，则当时，，不等式恒成立； 若，则，随着正整数无限增大，无限趋近于0， 无限趋近于，而，，则无限趋近于， 因此必存在，当时，恒成立， 则对任意的，存在，当时，恒成立，④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的性质列方程求公差，进而求出的通项公式. （2）求出的通项公式，数列的前项和，再解不等式求n的范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则，即， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，等比数列的公比，，， 数列是首项、公比都为的等比数列，则， 由，得，则，即，而数列单调递增， 又，，因此， 所以所求最大正整数为4. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若函数在上存在最小值，求的取值范围 【答案】（1）； （2）极大值为，极小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 故， 故在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 令，得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 极大值为，极小值为； 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 且， 要想在上存在最小值，故 18. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在上的值域为，求的值. 【答案】（1） （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）首先求得函数，再由整体代入法即可求解； （3）由正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 因为相邻两条对称轴之间的距离为，故， 且，. 所以． 所以． 令， 解得，． 所以的单调递增区间为，． 【小问3详解】 因为， 所以． 因为在上的值域是为， 所以在上的值域为． 所以． 所以． 19. 在中，为钝角，. （1）求； （2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得即可求解； （2）由正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式逐一分析三个条件即可求解. 【小问1详解】 由，得． 在中，由正弦定理得． 因为，， 所以． 又，所以． 【小问2详解】 选条件①：． 在中，由正弦定理，得． 因为为钝角，所以． 在中，因为，由余弦定理， 得． 解得或（舍）． 所以 ． 选条件②：因为为钝角，所以为锐角，而， 这与是的外角，矛盾，从而此时不存在； 选条件③：的周长为． 在中，由正弦定理，得． 因为为钝角，所以． 因为的周长为，所以． 在中，由余弦定理， 得，解得. 所以 . 20. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）（i） （ii），， 已知点在轴上，且轴， 所以，若为等腰直角三角形，则， 即， 则，因为，所以， 画出，图象如图： 结合图象可知，，在有一个交点， 所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论研究单调性； （2）求导，求出切线方程，令横坐标等于0，求出的横坐标；为等腰直角三角形时，，则，即，构造函数，，画出图象，在有一个交点，即可得证. 【小问1详解】 ，其中，定义域为， 令，则或， 当时，即，此时，所以在上单调递减； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 （i）当时，，， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，所以点 所以点的横坐标. （ii）略 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 【解析】 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【小问1详解】 解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学高三第一学期开学数学练习题 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（ ） A. B. C. D. 9. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 10. 已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则的定义域是______，______． 12. 已知平面内四个不同的点满足.，若，则______. 13. 等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为_______，_______． 14. 已知函数的部分图象如图所示． ①函数的最小正周期为________； ②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是________． 15. 已知数列满足，，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若函数在上存在最小值，求的取值范围 18. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在上的值域为，求的值. 19. 在中，为钝角，. （1）求； （2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $