北京市中关村中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

北京市中关村中学高三第一学期开学数学练习题 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是 A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（ ） A. B. C. D. 9. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 10. 已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则的定义域是______，______． 12. 已知平面内四个不同的点满足.，若，则______. 13. 等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为_______，_______． 14. 已知函数的部分图象如图所示． ①函数的最小正周期为________； ②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是________． 15. 已知数列满足，，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若函数在上存在最小值，求的取值范围 18. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若在上的值域为，求的值. 19. 在中，为钝角，. （1）求； （2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 北京市中关村中学高三第一学期开学数学练习题 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 ①. ②. 0 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）； （2）4. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）极大值为，极小值为； （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2），． （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）（i） （ii），， 已知点在轴上，且轴， 所以，若为等腰直角三角形，则， 即， 则，因为，所以， 画出，图象如图： 结合图象可知，，在有一个交点， 所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【21题答案】 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $