精品解析：陕西省咸阳市乾县杨汉中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

2024-2025学年度高一数学9月月考卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出后可判断的关系. 【详解】由集合，， 得． 又因为集合，所以．故选C． 【点睛】判断两个集合是否具有包含关系，只需根据子集的定义检验即可，此类问题为容易题. 2. 已知命题：“”，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，验证选项选出答案即可. 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知， 命题：“”的否定是， 选项B正确. 故选：B. 3. 若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法以及举例的方法证明每个不等式是否恒成立. 【详解】① 不恒成立； ②恒成立； ③当时，，所以不恒成立.故选B. 【点睛】本题考查不等式的证明，难度一般.利用作差法证明不等式时，可通过因式分解的方式然后判断与的大小关系得出结果. [黑龙江齐齐哈尔第一中学2023高一期中] 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 13 B. 19 C. 21 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】由均值不等式计算可得结果. 【详解】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 5. “”是“关于x的不等式无解”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据不等式无解，解出的范围，再根据充分不必要条件的含义即可判断. 【详解】若关于x的不等式无解，则，解得， 由于，故“”是“关于x的不等式无解”的充分不必要条件． 故选：C 6. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 “存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出. 【详解】解：因为“存在，使得”为真命题， 所以， 因此上述命题得个充分不必要条件是. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 7. 设正实数，满足,，不等式恒成立，则的最大值为　　 A. B. C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】令，，则，，将原式转化为关于，的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论． 【详解】解： ,， 故设，，， ， 当且仅当，即，时取等号 故选． 【点睛】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题． 8. 已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A. 508 B. 512 C. 1020 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是. 【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是. 故选B 【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AB 【解析】 【分析】A项：利用不等式知识即可判断； B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断； D项：根据交并集知识即可判断. 【详解】对于A项：由“”可以推出，但反之不可以，故A项正确. 对于B项：由“”推不出“”，但反之可以，故B项正确. 对于C项：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C项错误. 对于D项：由题意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D项错误. 故选:AB. 10. 已知关于x的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解集是得且是方程的两根，利用根与系数的关系判断BCD，设，根据的解集是的解集的子集得判断A. 【详解】不等式等价于不等式， 因为关于x的不等式的解集是， 所以，且，， 则，故B，D正确，C错误. 设，，则不等式的解集是. 又关于x的不等式即的解集是， 所以是的真子集，所以，则A正确. 故选：ABD. 11. 已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合的非空真子集的个数是30个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合中的元素个数计算；C选项，根据“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，然后求的范围即可；D选项，分和两种情况分析即可. 【详解】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于两个集合，满足.且中元素个数不属于中元素个数不属于.求满足题意的不同的的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定，考虑中的元素个数为几种情况，计算得到答案. 【详解】，， 当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，1种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，此时且，4种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，不成立； 当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有4种情况； 当的元素个数为时，中的元素个数为，根据对称性知有1种情况； 综上所述：共有10个不同的满足条件. 故答案为：. 13. 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________. 【答案】29 【解析】 【分析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，作出维恩图求解即可. 【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图： 依题意必有均为自然数， 所以，， 故这三天参加的志愿者总人数为： 当时，总人数最少，最少人数为. 故答案为：29. 14. 已知且，则的最大值为______，的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 由可得答案，由利用重要不等式可得答案. 【详解】因为且， 所以 当且仅当，即时取等号. 当且仅当,即，即 时取等号. 故答案为：； 【点睛】本题考查利用重要不等式求最值，考查1的应用，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集的概念计算即可; （2）利用交集和补集的概念计算即可. 【小问1详解】 已知集合， 所以. 【小问2详解】 由已知得，又全集， 所以. 16. 已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 【答案】 选①：； 选②：； 选③：. 【解析】 【分析】由特称命题为假求参数a的范围，即得集合A，根据所选条件判断集合A、B的包含关系，讨论、求参数m的范围. 【详解】由已知命题为假，则为真， 当，显然不成立； 当，只需； 所以， 选①：若“”是“”的必要不充分条件，则， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以； 选②：“”是“”的充分条件，则，而， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以； 选③：由， 当，则满足要求； 当，则，且，此时； 所以. 17. 已知． （1）当，时，求的最小值； （2）当，时，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【小问1详解】 因为，，，则， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，故的最小值为. 【小问2详解】 因为，，，则，， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，故的最小值为. 18. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 19. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 【解析】 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解. （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一数学9月月考卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“”，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 [黑龙江齐齐哈尔第一中学2023高一期中] 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 13 B. 19 C. 21 D. 27 5. “”是“关于x的不等式无解”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 设正实数，满足,，不等式恒成立，则的最大值为　　 A. B. C. 8 D. 16 8. 已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A. 508 B. 512 C. 1020 D. 1024 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知关于x的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合的非空真子集的个数是30个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于两个集合，满足.且中元素个数不属于中元素个数不属于.求满足题意的不同的的个数为______. 13. 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________. 14. 已知且，则的最大值为______，的最小值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）求. 16. 已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若__________，求实数的取值范围. 在①若“”是“”的必要不充分条件；②“”是“”的充分条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 17. 已知． （1）当，时，求的最小值； （2）当，时，求的最小值． 18. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 19. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $