专题02 三角形 第2课时 专题讲练 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

　三角形 第2课时02 题型1 三角形内角和定理及应用 4 题型2 与三角尺结合求角 6 题型3 三角形外角性质的应用 9 题型4 直角三角形的性质与判定 11 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．三角形的内角和 2．三角形的外角 （1）定义 （2）性质 （3）外角和 3．直角三角形 （1）性质：直角三角形的两个锐角互余 （2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 2 知识储备 三角形的内角和定理知识点 01 1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 2．三角形内角和的证明思路： （1）测量法：用量角器测量． （2）拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角． （3）利用“平行线的性质”证明． 原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角． 直角三角形的性质与判定知识点 02 1．性质：直角三角形的两个锐角互余． 2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC． 三角形的外角知识点 03 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角． 2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 3 技巧总结 1．因为三角形三个内角的和等于180°，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 2．直角三角形的性质和判定的应用思路： （1）见直角三角形，可得两锐角互余． （2）见两角互余，可得直角三角形． （3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理． 拓展区 拓展延伸 走进重高 （1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． （2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 三角形内角和定理及应用 【典例1】　（2025春•静安区校级期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比求出三个内角的度数，然后再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状即可． 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：7：5，三角形内角和是180°， ∴． ∴该三角形是直角三角形． 故选：A． 【典例2】　（2025春•湖南期末）△ABC三个内角之比是2：3：5，△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的三个内角的度数之和为180度求出最大的内角的度数即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC三个内角之比是2：3：5， ∴其内角为：， ∴△ABC是直角三角形， 故选：D． 【典例3】　（2025春•赣州期末）一个三角形三个内角度数之比是2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可． 【解答】解：∵三角形三个内角度数之比是2：3：4， ∴根据三角形内角和定理，三角形的三个内角依次为：，，， ∴该三角形一定是锐角三角形， 故只有A选项正确，符合题意． 故选：A． 【典例4】　（2025春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．若∠1＝50°，∠2＝40°，则∠B的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】先由垂直的定义得出∠ADC＝90°，求出∠C＝90°﹣∠2＝50°，由平分线的定义得出，求出∠DAE＝∠1﹣∠2＝10°，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠2＝50°， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∵∠1＝50°，∠2＝40°， ∴∠DAE＝∠1﹣∠2＝10°， ∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠DAE﹣∠C＝30°， 故选：C． 题型2 与三角尺结合求角 【典例5】　（2025•汨罗市一模）将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置，点D恰好落在BC边上，三角尺中∠ABC＝60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是（　　） A．30° B．25° C．10° D．15° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EDC＝∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵AE∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝30°， ∴∠E＝45°，∠ADE＝90° ∴∠EAD＝180°﹣∠ADE﹣∠E＝45°， ∴∠FAD＝∠EAD﹣∠CAE＝15°． 故选：D． 【典例6】　（2025春•富锦市期末）如图，将三角尺按图示摆放，∠1＝30°，∠2＝45°，则∠3的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【分析】先由三角形内角和定理求出∠4，再由三角形内角和定理结合对顶角性质求出∠3＝∠6即可． 【解答】解：∵图中是一副直角三角板，∠1＝30°，∠2＝45°，∠4与∠5是对顶角，∠3与∠6是对顶角， ∴∠5＝∠4＝180°﹣∠1﹣90°＝90°﹣30°＝60°， ∴∠3＝∠6＝180°﹣∠2﹣∠5＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故选：D． 【典例7】　（2025春•桓台县期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【分析】根据图中的三角尺两个角是60度和45度，求出∠3的度数；再根据三角形的内角和是180度，求出∠2的度数． 【解答】解：如图， ∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣40°﹣75°＝65°， 故选：C． 【典例8】　（2025•漯河三模）将一个直尺和一个三角尺如图叠放，三角尺的直角顶点B落在直尺下边缘PQ上，直尺上边缘MN经过三角尺的顶点A和BC边上一点D，若∠C＝30°，∠ABP＝35°，则∠CDN的度数为（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【答案】B 【分析】先由三角形内角和定理求出∠BAC＝60°，再由平行线的性质得到∠BAD＝∠ABP＝35°，则可求出∠CAD的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【解答】解：由条件可知∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝60°， ∵AD∥BP， ∴∠BAD＝∠ABP＝35°， ∴∠CAD＝25°， ∴∠CDN＝∠C+∠CAD＝55°， 故选：B． 题型3 三角形外角性质的应用 【典例9】　（2025•南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：∵直角三角板， ∴α＝90°+60°＝150°， 故选：D． 【典例10】　（2025春•新余期末）如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD＝108°，，则∠A的度数为（　　） A．36° B．70° C．82° D．72° 【答案】D 【分析】由三角形的外角性质推出∠B+∠A＝∠ACD，得到∠A+∠A＝108°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠B+∠A＝∠ACD，∠B∠A， ∴∠A+∠A＝108°， ∴∠A＝72°． 故选：D． 【典例11】　（2025春•邓州市期末）如图，点M是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（　　） A． B． C．∠BMC+∠N＝2∠A D．∠BMC+∠N＝180° 【答案】C 【分析】由角平分线定义和三角形内角和定理得到∠MBC+∠MCB＝90°∠A，由三角形内角和定理求出∠BMC＝180°＝90°∠A，由角平分线定义得到∠NBC+∠BCN（∠CBD+∠BCE），由三角形内角和定理和三角形的外角性质得到∠CBD+∠BCE＝180°+∠A，由三角形内角和定理求出∠N＝90°∠A，于是得到∠BMC+∠N＝180°． 【解答】解：∵M是△ABC两内角平分线的交点， ∴∠MBC∠ABC，∠MCB∠ACB， ∴∠MBC+∠MCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝90°∠A， 故A不符合题意； ∵点N是△ABC两外角平分线的交点， ∴∠NBC∠CBD，∠BCN∠BCE， ∴∠NBC+∠BCN（∠CBD+∠BCE）， ∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠CBD+∠BCE＝180°+∠A， ∴∠NBC+∠BCN＝90°∠A， ∴∠N＝180°﹣（∠NBC+∠BCN）＝90°∠A， 故B不符合题意； ∠BMC+∠N＝90°∠A+90°∠A＝180°， 故C符合题意，D不符合题意． 故选：C． 【典例12】　（2024秋•武威期末）在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　） A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC 【答案】B 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：∵∠ADC＝∠1+∠B，∠AEC＝∠ADC+∠2， ∴∠AEC＝∠1+∠2+∠B， 故选：B． 题型4 直角三角形的性质与判定 【典例13】　（2025春•淮安期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿直线DE翻折，使得点A与点B重合，若∠A＝35°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据折叠的性质求出∠ABD，计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，沿∠A＝35°， 则∠ABC＝90°﹣35°＝55°， 由折叠的性质可知：∠ABD＝∠A＝35°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝55°﹣35°＝20°， 故选：B． 【典例14】　（2025春•甘孜州期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，若∠ACD＝26°，则∠B＝ 　　 ． 【答案】26°． 【分析】根据余角的定义求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠ACD＝26°， ∴∠BCD＝90°﹣26°＝64°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠B＝90°﹣64°＝26°， 故答案为：26°． 【典例15】　（2024秋•连平县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】△ABC中已知两个角的度数，求出∠B的度数，由折叠可知△ACD≌△ECD，知道∠CED的度数，再利用三角形外角与内角关系求出∠EDB即可． 【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°， ∴∠B＝90°﹣52°＝38°， 由题意可知△ECD≌△ACD， ∴∠CED＝∠A＝52°， 由图可知∠CED是△EBD 的外角， ∴∠CED＝∠B+∠EDB， ∴52°＝38°+∠EDB， ∴∠EDB＝14°． 故答案为：14°． 【典例16】　（2024秋•浦江县期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 　　 （填序号）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线的判定可得DE∥BC，由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判断①正确；过点A作AF⊥AC，则AF∥DE，根据平行线的性质可得∠DAF＝∠ADE，再根据垂直的定义可得∠BAC+∠DAF＝90°，∠2+∠ADE＝90°，由此即可判断②正确；假设∠B+∠DCE＝90°，则∠B＝∠BAC，再根据平行线的性质可得∠B＝∠DAF，从而可得∠BAC＝∠DAF＝45°，由此即可判断④错误． 【解答】解：∵DE⊥AC，AC⊥BC， ∴DE∥BC， ∴③正确； ∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∴①正确； 如图，过点A作AF⊥AC， ∴AF∥DE， ∴∠DAF＝∠ADE， ∵AF⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BAC+∠DAF＝90°，∠2+∠ADE＝90°， ∵∠DAF＝∠ADE， ∴∠2＝∠BAC， ∴②正确； 假设∠B+∠DCE＝90°， ∵AC⊥BC， ∴∠1+∠DCE＝90°， ∴∠B＝∠1， 由①②可知，∠1＝∠2＝∠BAC， ∴∠B＝∠BAC， ∵AF∥DE， ∴∠B＝∠DAF， ∴∠BAC＝∠DAF， ∵AF⊥AC， ∴∠FAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAF＝45°，但根据已知条件不能得出∠BAC＝45°， ∴假设不成立， ∴结论④错误； 故答案为：①②③． 学科网（北京）股份有限公司 $$