专题01 三角形 第1课时（专题讲练）2025－2026学年人教版（2024）数学八年级上册

　三角形 第1课时01 题型1 三角形类型的判断 5 题型2 三角形的三边关系及应用 7 题型3 三角形的高、中线、角平分线“三线”综合 9 题型4 三角形的周长和面积问题 12 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．三角形的有关概念及其表示 （1）三角形的概念 （2）三角形的基本元素 （3）三角形中角与边的对应关系 （4）三角形的表示 2．三角形的分类 （1）等腰三角形 （2）等边三角形 （3）三角形的分类 3．三角形的三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边 （2）三角形任意两边之差小于第三边 4．三角形的稳定性 5．三角形的高、中线、角平分线 2 知识储备 三角形的有关概念及其表示知识点 01 1．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形的基本元素： 基本元素 边 顶点 角 定义 组成三角形的线段 相邻两边的公共端点 相邻两边所组成的角 表示方法 方法一：线段AB，BC，CA 方法二：用a，b，c 顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示． 点A，B，C （必须用大写字母） ∠A， ∠B， ∠C 图示 3．三角形的表示方法： 顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”． 4．三角形中角与边的对应关系： ∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，CA，AB；反过来，三条边BC，CA，AB所对的角分别是∠A，∠B，∠C． 三角形的分类知识点 02 1．等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 2．等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形 3．三角形的分类 （1）按内角大小分类 （2）按边的相等关系分类 三角形的三边关系知识点 03 1．三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边． 2．理论依据：两点之间，线段最短． 三角形的稳定性知识点 04 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的中线、角平分线、高知识点 05 1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；直角三角形三条高的交点是直角的顶点． 2．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 注意：①三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； ②中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 3．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 注意：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； 概括：三角形的“三线”都是线段． 3 技巧总结 1．确定三角形个数的方法 （1）按图形形成的过程从左往右数． （2）从图形中的某一条线段开始沿着一定的方向（如向右）数． （3）先固定一个顶点，然后按照一定顺序变换另外两个顶点来数． 2．三角形的两种分类方法是各自独立的． 如：等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形按角分类属于直角三角形． 3．判断三角形形状的方法 4．判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 5．每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段． 拓展区 拓展延伸 走进重高 三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心． 三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心．重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个． 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫作三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫作三角形旁心． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 三角形类型的判断 【典例1】　　（2025春•沈河区期末）如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】由三角形的内角和是180度进行推理． 【解答】解：已知一内角为36°的三角形，由于36°＜90°，所以该三角形的另一内角可以为大于等于90°的角，也可以是小于90°的角，则该三角形既可以为钝角三角形、直角三角形也可以为锐角三角形． 故选：D． 【典例2】　　（2025春•龙岗区期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据钝角三角形的定义作答即可． 【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选：C． 【典例3】　　（2025春•东源县期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【典例4】　　（2025春•雁塔区校级期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据三角形露出的部分为钝角，即可求解． 【解答】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形 故选：A． 题型2 三角形的三边关系及应用 【典例5】　　（2025春•渭南期末）一个三角形的两边长分别是2和9，则第三边可能是（　　） A．8 B．5 C．11 D．14 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系可得不等式9﹣2＜x＜9+2，再解即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵一个三角形的两边长分别是2和9， ∴9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11， 故选：A． 【典例6】　　（2025春•雅安期末）如图，为了估计池塘两端A，B两点之间的距离，小康采取了如下方法：在池塘的一侧选取了一点P，连接PA，PB，测得PA＝20米，PB＝13米，那么A，B两点之间的距离可能是（　　） A．7米 B．20米 C．33米 D．35米 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【解答】解：在△ABP中，根据三角形的三边关系可得，AP﹣BP＜AB＜AP+BP， ∵PA＝20米，PB＝13米， ∴20﹣13＜AB＜20+13， 解得7＜AB＜33， ∴A，B两点之间的距离可能是20米， 综上所述，只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 【典例7】　　（2025春•丹江口市期末）在△ABC中，AC＝3，AB＝5，则BC的长不可能为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再比较各个选项即可． 【解答】解：∵AC＝3，AB＝5， ∴2＜BC＜8， 故选：A． 【典例8】　　（2025春•泌阳县期末）三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 【答案】D 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜4﹣2a＜8，即可求出a的取值范围． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜4﹣2a＜5+3， ∴2＜4﹣2a＜8， ∴﹣2＜a＜1． 故选：D． 题型3 三角形的高、中线、角平分线“三线”综合 【典例9】　　（2025•惠城区三模）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点G为△ABC的重心，则的值为 　　 ． 【答案】2． 【分析】连接BG，并延长BG交AC于点E，连接DE，根据点G为△ABC的重心，可得，从而得到△DEG∽△ABG，即可求解． 【解答】解：连接BG，并延长BG交AC于点E，连接DE， ∵点G为△ABC的重心， ∴点E为AC的中点， ∵AD为BC边上的中线， ∴DE为△ABC的中位线， ∴（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， ∴△DEG∽△ABG， ∴（相似三角形的对应边成比例）， 故答案为：2． 【典例10】　　（2025春•德州期末）如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC＞AC．若∠BAC＝α，∠B＝β，则∠DCE＝　　 ．（用含有α，β的式子表示） 【答案】． 【分析】三角形的内角和是180°，已知∠BAC与∠ABC的度数，则可求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC的度数，进而求出∠DCE的度数． 【解答】解：∵∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β）， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB． ∵CD是高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α， ∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°（α+β）﹣90°+α． 故答案为：． 【典例11】　　（2025春•邯郸期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣30°﹣10°＝50°． 故答案为50°． 【典例12】　　（2025春•临淄区期末）三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．如图，AE，CF分别是△ABC边BC，AB的中线，点G是△ABC的重心，则 　　 ． 【答案】． 【分析】连接EF，判定EF是△ABC的中位线，推出EF∥AC，EFAC，判定△EFG∽△ACG，推出． 【解答】解：连接EF， ∵AE，CF分别是△ABC边BC，AB的中线， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EFAC， ∴△EFG∽△ACG， ∴． 故答案为：． 题型4 三角形的周长和面积问题 【典例13】　　（2025春•宝山区校级期末）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　　 cm． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后依据△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，代入数据计算即可得解． 【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 【典例14】　　（2025春•昌黎县期末）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可． 【解答】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【典例15】　　（2025春•阳山县期末）如图，AD是△ABC的中线，AC＝6cm，AB＝4cm，且△ABD的周长为11cm，则△ACD的周长是 　　 cm． 【答案】13． 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝BD，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵△ABD的周长为11cm， ∴AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝11cm， ∵AB＝4cm， ∴CD+AD＝7cm， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝13cm， 故答案为：13． 【典例16】　（2024秋•肥城市期末）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为 　　 ． 【答案】6． 【分析】根据三角形中线的性质推得，再根据高相等的两个三角形面积比等于底边比得到、，最后根据三角形中线性质即可推得两阴影部分的面积和． 【解答】解：由题意可得：， ∵AG：GD＝2：1， ∴，， ∵BE、CF是△ABC的中线， ∴E、F是AB、AC的中点， ∴，， ∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6． 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $$