专题01 三角形（知识&考点&公式&5高频&8易错&6重难&7模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(8类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 三角形 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 知识点02 三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点03 三角形的角平分线、中线和高 知识点04 三角形内角和定理 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点05 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点06 直角三角形的性质与判定 1. 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，记作 Rt△ABC。 2. 直角三角形的性质 性质1：直角三角形的两个锐角互余。 符号语言：∵△ABC是Rt△，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。 3. 直角三角形的判定 判定1（定义法）：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 符号语言：∵∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 符号语言：∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形。 特别提醒： ① 性质是“已知直角三角形，推角度关系”，判定是“已知角度关系，证直角三角形”，二者互为逆定理。 ② 直角三角形只能有一个直角，剩余两个角一定为锐角，不可能出现钝角。 ■考点01 三角形的相关概念与分类 考点内容：三角形的概念、边、顶点、内角；三角形的符号表示；按角分类与按边分类；三角形的稳定性；三角形的重心。 常见考法： ①判断所给图形是不是三角形（紧扣 “不在同一条直线上”“首尾顺次相接”）； ②指出三角形的边、顶点、内角，或用符号表示三角形； ③按角或按边的相等关系对三角形进行分类，识别等腰三角形（腰、底边、顶角、底角）与等边三角形； ④用 “三角形具有稳定性” 解释生产生活中的现象（如三角形木架、自行车三角架）。 ■考点 02・三角形三边关系的应用 考点内容：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；三条线段构成三角形的条件。 常见考法： ①判断三条线段能否组成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边）； ②已知三角形两边长，确定第三边的取值范围； ③已知两边长，求周长的取值范围或者周长； ④结合等腰三角形，已知两边求周长（分类讨论，检验三边关系）。 ■考点 03・三角形的高、中线与角平分线 考点内容：三角形高、中线、角平分线的定义；三种线段的画法；中线平分面积；重心概念。 常见考法： ①识别三角形的高、中线、角平分线，区分线段、射线、直线； ②画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，判断高所在位置； ③利用中线性质，求解三角形面积； ④结合线段、角度计算，求线段长度或角度大小。 ■考点 04・三角形内角和定理 考点内容：三角形内角和为180°；直角三角形两锐角互余；直角三角形的判定。 常见考法： ①已知三角形中两个内角，直接求第三个内角； ②利用方程思想，设未知数求解三角形内角度数； ③直角三角形角度计算，利用两角互余进行角度转化； ④根据角度关系判定一个三角形是否为直角三角形。 ■考点 05・三角形的外角 考点内容：三角形外角定义；外角性质：外角等于不相邻两内角之和；外角大于任意一个不相邻内角。 常见考法： ①识别图形中的三角形外角； ②利用外角性质求角度，折叠、叠角模型角度推导； ③结合内角和定理，进行多步角度换算； ④利用外角大小关系比较角的大小。 1 三角形的边与角 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 两边之和大于第三边 a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b 任意两边的和大于第三边，是判定三条线段能否组成三角形的依据 2 两边之差小于第三边 |a－b|＜c，|b－c|＜a，|a－c|＜b 已知两边a，b，求第三边c的取值范围：|a－b|＜c＜a＋b 3 三角形的周长C C＝a＋b＋c a，b，c为三角形的三边长；求出结果后需用三边关系检验 4 三角形内角和定理 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 任意三角形的三个内角的和都等于180° 5 三角形外角性质 ∠ACD＝∠A＋∠B ∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角 6 三角形外角和定理 ∠1＋∠2＋∠3＝360° 三个不同顶点处各取一个外角，其和为360° 2.直角三角形 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 两锐角互余（性质） 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90° 直角三角形的两个锐角之和等于90° 8 直角三角形判定 在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90° 有两个角互余的三角形是直角三角形 ■辨析 01・三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 辨析内容：三角形的高、中线、角平分线，全都是线段，有两个端点；高所在直线、角平分线所在射线才是直线、射线。 易错说法：三角形的高是直线（×）；三角形的角平分线是射线（×）。 ■辨析 02・三角形三边关系只需要检验较短两边之和大于最长边 辨析内容：判断三条线段能否构成三角形，不用验证三组不等式，只需把三条边从小到大排序，检验短边 + 中边＞最长边即可。 易错说法：只要有两边之和大于第三边就一定能构成三角形（×）。 ■辨析 03・三角形分类不要混淆按角、按边两套标准 辨析内容：按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边：不等边三角形、等腰三角形（等边属于等腰）。 易错说法：等腰三角形一定是锐角三角形（×）；等边三角形不是等腰三角形（×）。 ■辨析 04・三角形最多 1 个直角 / 钝角，最少 2 个锐角 辨析内容：内角和180°，如果有 2 个直角或钝角，内角和会超过180°。 易错说法：一个三角形可以有 2 个钝角（×）；三角形最少有 1 个锐角（×）。 ■辨析 05・三角形外角是一边与另一边延长线组成的角，不是内部的角 辨析内容：外角在三角形外部；外角性质里，只能等于不相邻两个内角之和，不能包含相邻内角。 易错说法：三角形外角等于任意两个内角的和（×）；三角形外角一定大于三角形所有内角（×，只大于不相邻内角）。 ■辨析 06・等腰三角形已知两边求周长，必须分类讨论 + 检验三边关系 辨析内容：题目没有说明哪条是腰、哪条是底边，要分两种情况计算，还要验证三边关系，不满足的舍去。 易错说法：等腰两边长为 3 和 6，周长一定是 12（×，3,3,6 不能构成三角形，周长只能 15）。 ■辨析 07・三角形稳定性是针对 “三边固定，形状固定” 辨析内容：只有三角形具有稳定性，四边形、五边形不具备，容易变形。 易错说法：四边形具有稳定性（×）。 【题型一】三角形的相关概念 【例1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·云南临沧·期中）在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【题型二】三角形三边关系应用 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型三】三角形高、中线、角平分线相关计算 【例3】（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，、分别是、中点，连接、，已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，是边上的中线，若，，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【题型四】三角形内角和计算 【例4】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·福建三明·期中）在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【题型五】三角形外角性质计算 【例5】（26-27八年级上·贵州·期中）两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（     ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【题型一】忽略三角形三边关系而致错 【例1】（26-27八年级上·甘肃·期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（    ） A．20 B．20或16 C．16 D．20或18 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁·期中）若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的腰长是（     ） A．3 B．3或3.5 C．3.5 D．3或4 【变式1-2】（25-26七年级下·广东惠州·期中）若、、为的三边长，且满足，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【题型二】混淆三角形高的位置而出错 【例2】（26-27八年级上·甘肃·期中）下列各个图形中，是的高的是（ ） A． B． C． D． 易错警示 任意三角形都有 3 条高；锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部，画图时不要漏掉外部的高。 【变式2-1】（26-27八年级上·云南·期中）如图，在中，边上的高是（        ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【题型三】误把角平分线当成射线。 【例3】七年级上·山东泰安·期中）下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 易错警示 三角形的高、中线、角平分线都是线段；角平分线所在的射线才是角的射线型角平分线，二者概念不要混淆。 【变式3-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，下面是折纸示意图，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上答案都不对 【题型四】三角形外角概念理解错误 【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 易错警示 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，不是任意两个内角，不能漏掉 “不相邻” 这个限定条件。 【变式4-1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型五】三角形内角、外角大小判断误区 【例5】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，，则的大小是______ （度）． 易错警示 外角只大于它不相邻的两个内角；外角小于和它相邻的内角（钝角三角形的钝角相邻外角为锐角）。 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应_______（填“增加”或“减少”） 【变式5-2】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 【题型六】直角三角形性质与判定混淆 【例6】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 易错警示 直角三角形两锐角互余；反过来，若三角形两个内角之和等于第三个内角，可判定这是直角三角形，注意性质和判定的区别。 【变式6-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型七】中线等分面积理解不到位 【例7】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 易错警示 三角形中线把三角形分成面积相等的两部分，前提是同高、底相等，不要误以为中线平分边长就平分角度。 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，是的中线，连接的面积是12，则的面积是（   ） A．7.5 B．5 C．3 D．2.5 【题型八】三角形分类概念混淆 【例8】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 易错警示 等边三角形是特殊的等腰三角形；三角形两套分类标准不要混在一起：按角分、按边分是两套独立体系 【变式8-1】（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型一】三角形三边关系求参数取值范围 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的周长是________． 【题型二】内角和 + 角平分线角度计算 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型三】外角性质单步求角 【例3】（26-27八年级上·云南·期中）如图，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【变式3-2】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型四】多层中线嵌套求面积 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【变式4-1】（25-26八年级上·天津南开·期中）如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【变式4-2】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型五】三角形高结合内角互余计算 【例5】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，分别是的高和角平分线，，，_____． 【变式5-1】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为__________． 【变式5-2】（25-26八年级上·重庆潼南·期中）已知是的高，，，的度数是______． 【题型六】利用面积法求三角形的高 【例6】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则___________． 【变式6-1】（23-24八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，于点，，，，边上的高是．则______． 【变式6-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【题型一】A字模型 【模型解读】 【结论1】如图（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 证明：∵∠DBC=∠A+∠ACB ,∠ECB=∠A+∠ABC , ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°. 【结论2】如图（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180° , ∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 【例1】（2026·吉林长春·一模）如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去，得到四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型二】飞镖模型（或燕尾模型） 【模型解读】 结论：如图，∠BCD=∠A+∠B+∠D . 证明：延长BC交AD于点F .∵∠1=∠A+∠B ,∠BCD=∠1+∠D ,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D . 【例2】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图为无人机模型示意图，，，，，则度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·广西玉林·期中）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型三】8字模型 【模型解读】 结论：如图，∠A+∠B=∠C+∠D . 证明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B . ∵∠BEC是△CDE 的外角,∴∠BEC=∠C+∠D ,∴∠A+∠B=∠C+∠D . 【例3】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与相交于点，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，，相交于点，若，，求的度数． 【变式3】【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想 的数量关系，并说明理由． 【题型四】 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【例4】（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，，，分别是，的角平分线． (1)当时，求的度数． (2)求的度数． 【变式4】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”． (1)若在中，，，，则是关于________的“差倍角三角形”； (2)如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，求的度数． 【题型五】内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例5】（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，分别平分为外角的平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【题型六】双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例6】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则________． 【变式6-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【题型七】高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【例7】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【变式7-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），，是的高，是的角平分线，求的度数． 技巧 一句话要点 判定图形是不是三角形——"三要素检查法" 三要素（三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接）缺一不可。 判断三条线段能否组成三角形——"一算一验"简化法 只验"两短边之和＞最长边"；等于或小于都不能组成三角形。 已知两边求第三边的取值范围 |a－b|＜c＜a＋b；求周长范围时两端再加 a＋b。 等腰三角形边长的"分类讨论 + 检验" 按"已知边为腰""已知边为底"分类讨论，再逐一检验三边关系，不合的舍去。 求角度用"内角和定理 + 方程思想" 设最小角为 x 列方程，用 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 求解。 判断三角形的形状——"最大角比较法" 先求最大角：＜90° 锐角，＝90° 直角，＞90° 钝角。 求角度用"外角转化法" 外角＝与它不相邻的两个内角之和，注意"不相邻"。 直角三角形中求锐角——"互余法" ∠A＋∠B＝90° 求锐角；反之有两角互余即为直角三角形。 三角形高的位置——"按形状分类讨论" 锐角全在内部；直角两高与直角边重合；钝角两高在外部——按形状分类讨论。 证明内角和用"平行线转化法" 过一个顶点作对边平行线，把三个内角转化成一个平角或一组同旁内角。 外角的个数与"每顶点取一个"的原则 每顶点两个（互为对顶角），共六个；三个不同顶点各取一个，和为 360°。 中线与重心的应用 三中线交于重心；由"中点"得线段相等，是证线段相等的突破口。 利用稳定性判断与说理 三边确定则形状大小唯一确定；四边形等会形变，故不稳定。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(8类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 三角形 1.三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2. 三角形的分类 知识点02 三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点03 三角形的角平分线、中线和高 知识点04 三角形内角和定理 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点05 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点06 直角三角形的性质与判定 1. 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，记作 Rt△ABC。 2. 直角三角形的性质 性质1：直角三角形的两个锐角互余。 符号语言：∵△ABC是Rt△，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。 3. 直角三角形的判定 判定1（定义法）：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 符号语言：∵∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 符号语言：∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形。 特别提醒： ① 性质是“已知直角三角形，推角度关系”，判定是“已知角度关系，证直角三角形”，二者互为逆定理。 ② 直角三角形只能有一个直角，剩余两个角一定为锐角，不可能出现钝角。 ■考点01 三角形的相关概念与分类 考点内容：三角形的概念、边、顶点、内角；三角形的符号表示；按角分类与按边分类；三角形的稳定性；三角形的重心。 常见考法： ①判断所给图形是不是三角形（紧扣 “不在同一条直线上”“首尾顺次相接”）； ②指出三角形的边、顶点、内角，或用符号表示三角形； ③按角或按边的相等关系对三角形进行分类，识别等腰三角形（腰、底边、顶角、底角）与等边三角形； ④用 “三角形具有稳定性” 解释生产生活中的现象（如三角形木架、自行车三角架）。 ■考点 02・三角形三边关系的应用 考点内容：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；三条线段构成三角形的条件。 常见考法： ①判断三条线段能否组成三角形（只需验证较短两边之和大于最长边）； ②已知三角形两边长，确定第三边的取值范围； ③已知两边长，求周长的取值范围或者周长； ④结合等腰三角形，已知两边求周长（分类讨论，检验三边关系）。 ■考点 03・三角形的高、中线与角平分线 考点内容：三角形高、中线、角平分线的定义；三种线段的画法；中线平分面积；重心概念。 常见考法： ①识别三角形的高、中线、角平分线，区分线段、射线、直线； ②画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，判断高所在位置； ③利用中线性质，求解三角形面积； ④结合线段、角度计算，求线段长度或角度大小。 ■考点 04・三角形内角和定理 考点内容：三角形内角和为180°；直角三角形两锐角互余；直角三角形的判定。 常见考法： ①已知三角形中两个内角，直接求第三个内角； ②利用方程思想，设未知数求解三角形内角度数； ③直角三角形角度计算，利用两角互余进行角度转化； ④根据角度关系判定一个三角形是否为直角三角形。 ■考点 05・三角形的外角 考点内容：三角形外角定义；外角性质：外角等于不相邻两内角之和；外角大于任意一个不相邻内角。 常见考法： ①识别图形中的三角形外角； ②利用外角性质求角度，折叠、叠角模型角度推导； ③结合内角和定理，进行多步角度换算； ④利用外角大小关系比较角的大小。 1 三角形的边与角 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 两边之和大于第三边 a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b 任意两边的和大于第三边，是判定三条线段能否组成三角形的依据 2 两边之差小于第三边 |a－b|＜c，|b－c|＜a，|a－c|＜b 已知两边a，b，求第三边c的取值范围：|a－b|＜c＜a＋b 3 三角形的周长C C＝a＋b＋c a，b，c为三角形的三边长；求出结果后需用三边关系检验 4 三角形内角和定理 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 任意三角形的三个内角的和都等于180° 5 三角形外角性质 ∠ACD＝∠A＋∠B ∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角 6 三角形外角和定理 ∠1＋∠2＋∠3＝360° 三个不同顶点处各取一个外角，其和为360° 2.直角三角形 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 两锐角互余（性质） 在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90° 直角三角形的两个锐角之和等于90° 2 直角三角形判定 在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90° 有两个角互余的三角形是直角三角形 ■辨析 01・三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 辨析内容：三角形的高、中线、角平分线，全都是线段，有两个端点；高所在直线、角平分线所在射线才是直线、射线。 易错说法：三角形的高是直线（×）；三角形的角平分线是射线（×）。 ■辨析 02・三角形三边关系只需要检验较短两边之和大于最长边 辨析内容：判断三条线段能否构成三角形，不用验证三组不等式，只需把三条边从小到大排序，检验短边 + 中边＞最长边即可。 易错说法：只要有两边之和大于第三边就一定能构成三角形（×）。 ■辨析 03・三角形分类不要混淆按角、按边两套标准 辨析内容：按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边：不等边三角形、等腰三角形（等边属于等腰）。 易错说法：等腰三角形一定是锐角三角形（×）；等边三角形不是等腰三角形（×）。 ■辨析 04・三角形最多 1 个直角 / 钝角，最少 2 个锐角 辨析内容：内角和180°，如果有 2 个直角或钝角，内角和会超过180°。 易错说法：一个三角形可以有 2 个钝角（×）；三角形最少有 1 个锐角（×）。 ■辨析 05・三角形外角是一边与另一边延长线组成的角，不是内部的角 辨析内容：外角在三角形外部；外角性质里，只能等于不相邻两个内角之和，不能包含相邻内角。 易错说法：三角形外角等于任意两个内角的和（×）；三角形外角一定大于三角形所有内角（×，只大于不相邻内角）。 ■辨析 06・等腰三角形已知两边求周长，必须分类讨论 + 检验三边关系 辨析内容：题目没有说明哪条是腰、哪条是底边，要分两种情况计算，还要验证三边关系，不满足的舍去。 易错说法：等腰两边长为 3 和 6，周长一定是 12（×，3,3,6 不能构成三角形，周长只能 15）。 ■辨析 07・三角形稳定性是针对 “三边固定，形状固定” 辨析内容：只有三角形具有稳定性，四边形、五边形不具备，容易变形。 易错说法：四边形具有稳定性（×）。 【题型一】三角形的相关概念 【例1】4．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 5．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【详解】解：A项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意； B项：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意； C项：3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意； D项：有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意． 故选：C． 6．（25-26八年级上·云南临沧·期中）在中，如果，那么是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 故选：B． 【题型二】三角形三边关系应用 【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最大边，即可判断能否围成三角形． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断时只需比较较小两边的和与最大边的大小： A选项，三边长为，，，最大边为， ， 能围成三角形，该选项符合题意； B选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； C选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； D选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意， 故选：A． 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出，根据的取值范围判断即可． 【详解】解： 根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在和之间， ∴A、B之间的距离可能是． 【变式2-2】（25-26七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 【题型三】三角形高、中线、角平分线相关计算 【例3】（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，、分别是、中点，连接、，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据三角形的中线求面积，根据、分别是、中点，得，，进而可得答案． 【详解】解：在中，、分别是、中点， ，， ． 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东汕头·期中）在中，是边上的中线，若，，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由三角形中线的定义得到，再根据与的周长之差即可求得答案． 【详解】解：是边上的中线， ， 与的周长之差 ． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线，理解三角形的角平分线、高线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线． 故选：C． 【题型四】三角形内角和计算 【例4】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 【变式4-1】（25-26八年级下·福建三明·期中）在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型五】三角形外角性质计算 【例5】（26-27八年级上·贵州·期中）两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的外角性质得，由邻补角的定义可得，即可求解． 【详解】解：如图，设的邻补角为， ， ， ． 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出 ，由三角板的性质得出 ，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解： 这是一副三角板， ， ， ， 点 、、、在同一条直线上， ， 是 的外角， ， ． 【变式5-2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出 ，由三角板的性质得出 ，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解： 这是一副三角板， ， ， ， 点 、、、在同一条直线上， ， 是 的外角， ， ． （25-26七年级下·吉林长春·期中）为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出 ，由三角板的性质得出 ，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解： 这是一副三角板， ， ， ， 点 、、、在同一条直线上， ， 是 的外角， ， ． 【题型一】忽略三角形三边关系而致错 【例1】（26-27八年级上·甘肃·期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（    ） A．20 B．20或16 C．16 D．20或18 【答案】A 【分析】题目中没有明确腰和底边，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系分析即可． 【详解】解：当腰为4时，另外两边为4和8，但，不能构成三角形； 当腰为8时，另外两边为4和8，此时能构成三角形，周长为． 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁·期中）若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的腰长是（     ） A．3 B．3或3.5 C．3.5 D．3或4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形定义分类讨论已知边长为腰长或底边长两种情况，结合三角形三边关系验证，即可得到符合条件的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若边长为腰长，则底边长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴此时腰长为符合要求； 情况2：若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴此时腰长为符合要求； 因此等腰三角形的腰长为或． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东惠州·期中）若、、为的三边长，且满足，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用非负数的性质求出a,b的值,再根据三角形三边关系得到c的取值范围,即可判断选项； 【详解】解：∵ , , 且 ∴ , ， 解得 , ∵ , , 是的三边长 ∴ 根据三角形三边关系得 即 , 整理得 选项中只有满足 故选 C； 【题型二】混淆三角形高的位置而出错 【例2】（26-27八年级上·甘肃·期中）下列各个图形中，是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线，解答即可． 【详解】解：是的高的是： 易错警示 任意三角形都有 3 条高；锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部，画图时不要漏掉外部的高。 易错警示 三角形的高、中线、角平分线都是线段；角平分线所在的射线才是角的射线型角平分线，二者概念不要混淆。 【变式2-1】（26-27八年级上·云南·期中）如图，在中，边上的高是（        ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义进行判断即可． 【详解】解：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高， 因此在中，边上的高是线段． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 【题型三】误把角平分线当成射线。 【例3】（19-20七年级上·山东泰安·期中）下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． （24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． （25-26八年级上·福建福州·期中）如图，下面是折纸示意图，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的角平分线，关键是相关性质的熟练掌握． 根据折叠的性质可得，即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质可得， 则是的角平分线， 故选：C． 【题型四】三角形外角概念理解错误 【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质以及补角的定义，根据，计算出的大小，再利用三角形外角的性质可知，最后计算出结果． 【详解】如图： ，， ， 在中，， ， 故选． 易错警示 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，不是任意两个内角，不能漏掉 “不相邻” 这个限定条件。 【变式4-1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴． 【变式4-2】（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 【题型五】三角形内角、外角大小判断误区 【例5】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，，，则的大小是______ （度）． 【答案】40 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 则的大小为， 故答案为：40． 易错警示 外角只大于它不相邻的两个内角；外角小于和它相邻的内角（钝角三角形的钝角相邻外角为锐角）。 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应_______（填“增加”或“减少”） 【答案】减少 【分析】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到与，，之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：连接，并延长至M，如图所示： 依题意，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 要使，则减少了， 若只调整的大小， 则 ， 因此应将减少度； 故答案为：减少 【变式5-2】（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键； 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴，， ∴ ， ∴这个零件符合规定，是合格的． 故答案为：合格． 【题型六】直角三角形性质与判定混淆 【例6】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 易错警示 直角三角形两锐角互余；反过来，若三角形两个内角之和等于第三个内角，可判定这是直角三角形，注意性质和判定的区别。 【变式6-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④ ，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． 【题型七】中线等分面积理解不到位 【例7】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 易错警示 三角形中线把三角形分成面积相等的两部分，前提是同高、底相等，不要误以为中线平分边长就平分角度。 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，是的中线，连接的面积是12，则的面积是（   ） A．7.5 B．5 C．3 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积是12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴是的中线， ∴， 故选C． 【题型八】三角形分类概念混淆 【例8】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据已知三角形判断即可． 【详解】解：由图可知，这个三角形是三边都不相等的三角形． 故选：C． 易错警示 等边三角形是特殊的等腰三角形；三角形两套分类标准不要混在一起：按角分、按边分是两套独立体系 【变式8-1】（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 【题型一】三角形三边关系求参数取值范围 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 【变式1-1】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系求出，结合第三根木棒的长为奇数，即可得出结果． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 【变式1-2】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，关键是确定腰的值； 需要分情况讨论哪边为腰、哪边为底边，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：若为腰，为底边，则三边为、、， 但，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 若为腰，为底边，则三边为、、， 且，满足三角形三边关系， 故周长为． 故答案为：． 【题型二】内角和 + 角平分线角度计算 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 【变式2-1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 【题型三】外角性质单步求角 【例3】（26-27八年级上·云南·期中）如图，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解：，，， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，邻补角的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键， 由，推导出，则，可得，再根据增大代入于是得到问题的答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴当增大时，则， ∵， ∴减小， 故选：A． 【变式3-2】（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：根据三角形外角性质得，， ， ， 故选D． 【题型四】多层中线嵌套求面积 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，逐步推导各部分三角形面积之间的关系，进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·天津南开·期中）如图是一块面积为42的三角形纸板，点，，分别是线段，，的中点，则阴影部分（）的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质．由三角形中线的性质可得被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，据此解答即可求解． 【详解】解：连接， ∵点分别是线段的中点， ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的， ∴阴影部分的面积是， 故选：C． 【变式4-2】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故选：C． 【题型五】三角形高结合内角互余计算 【例5】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，分别是的高和角平分线，，，_____． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义，高的含义，掌握以上知识是解题的关键． 利用三角形的内角和定理先求，再利用角平分线的定义求解，再利用高的含义求解，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ， ∵是的角平分线， ， 又 ∵， ， ， 故答案为：． 【变式5-1】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．可分三种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，当为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时，   ， ， ， ， ， ， ， 当为钝角角三角形时，的延长线于，   ， ， ， ， ， ， ； 当为直角三角形，时，不存在， 故的度数为或． 故答案为：或． 【变式5-2】（25-26八年级上·重庆潼南·期中）已知是的高，，，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和． 分高在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当高在内部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以； 当高在外部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以． 故答案为：或． 【题型六】利用面积法求三角形的高 【例6】（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等面积法求高． 利用三角形的等面积法求高即可． 【详解】解：根据等面积得，， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，于点，，，，边上的高是．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形的高，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 【题型一】A字模型 【模型解读】 【结论1】如图（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 证明：∵∠DBC=∠A+∠ACB ,∠ECB=∠A+∠ABC , ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°. 【结论2】如图（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180° , ∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 【例1】（2026·吉林长春·一模）如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中应用三角形内角和定理有，结合可得，同理有，完成计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 同理，， ． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去，得到四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理；由三角形外角性质及三角形内角和定理得，，，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【题型二】飞镖模型（或燕尾模型） 【模型解读】 结论：如图，∠BCD=∠A+∠B+∠D . 证明：延长BC交AD于点F .∵∠1=∠A+∠B ,∠BCD=∠1+∠D ,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D . 【例2】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图为无人机模型示意图，，，，，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质推出．延长交于K，由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图；延长交于K， 故选：C. 【变式2-1】（25-26八年级上·广西玉林·期中）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握三角形外角的性质定理．延长交于点E，利用三角形外角的性质定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵，． ∴． ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点E，利用外角性质求出，再次利用外角性质即可求出结论． 【详解】解：延长交于点E，如图：   是的外角，，， ， 是的外角，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟练应用三角形外角的性质是解题关键． 【题型三】8字模型 【模型解读】 结论：如图，∠A+∠B=∠C+∠D . 证明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B . ∵∠BEC是△CDE 的外角,∴∠BEC=∠C+∠D ,∴∠A+∠B=∠C+∠D . 【例3】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，线段与相交于点，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，平分，，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：在中，， 在中，， ， ； (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，，根据可得； （2）由（1）知，，即，根据平分，平分得到，，则，同（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，． ，， ， 则． 平分，平分， ，， ， 则． 同（1）可得， ， 即． ． 【变式3】【新知探究】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，、分别平分，，若，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，请猜想 的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴； （2）； （3），理由如下： 如图3， 由（1）得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分的外角，平分的外角， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，应用等式的性质进行推理等知识﹒ （1）根据三角形内角和定理得到，，根据即可证明； （2）由（1）得：，进而得到，根据角平分线定义得到，即可得到，从而求出； （3）由（1）得，根据，得到，，从而得到，结合即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 【题型四】 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【例4】（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，在中，，，分别是，的角平分线． (1)当时，求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的平分线的概念和三角形的内角和定理，熟知内角和定理是解题的关键． （1）根据已知角和三角形的内角和定理，求出三角形的，再根据，分别是，的角平分线，得，，最终根据三角形的内角和为求解即可． （2）仿造（1）中的解题思路和过程得，再利用整体思想即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． （2）解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 【变式4】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”． (1)若在中，，，，则是关于________的“差倍角三角形”； (2)如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理及“差倍角三角形”． （1）由题意得，再根据“差倍角三角形”的定义即可得出答案； （2）先根据角平分线的定义得出，再由三角形内角和定理得，再由“差倍角三角形”的定义得，进而可得，再由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是关于的“差倍角三角形”， 故答案为：； （2）解：∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是关于的“差倍角三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型五】内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例5】（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，外角，若P是和的平分线的交点，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．先根据角平分线定义得出，求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【分析】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，分别平分为外角的平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：平分为外角的平分线， ，， 是的外角，是的外角 ，， ， 即， 化简得：． (2) ，理由如下： 平分， ， 在中，， 即：， 在中，， ， 即， 由（1）可知， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形内角和： （1）利用角平分线的定义得到，，再利用三角形外角的性质推导出角的数量关系，再对数量关系化简即可； （2）根据角平分线的定义得到，再结合（1）的结论，在，中用三角形内角和定理推导即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型六】双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例6】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，已知在中，，的外角平分线和的外角平分线交于点．则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的外角平分线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先由三角形的内角和算出，再根据外角平分线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 【变式6-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有关角平分线的计算，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 根据得到，结合角平分线得到，从而得到，最后结合角平分线求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条内角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵两条外角平分线交于点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式6-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)    ； (2) (3) 【分析】（1）如图1，由角平分线可得，，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图2，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由（1）、（2）的结论即可得出． 【详解】（1）解：如图1，，分别平分，， ，． 如图2，∵平分，平分外角， ∴，． ，， ． ∴ （2）解：，， ，， ． （3）解：由（1）得，， 由（2）得，， ∴， ∴． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东济南·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 【题型七】高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【例7】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出的度数，根据三角形内角和定理求出，的度数，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽宣城·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，高的定义及角平分线的定义，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用以上知识点是解题的关键．利用“友爱三角形”的定义，根据，，结合，求出的度数，由高的定义及角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵与互为“友爱角”，且， ∴， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 技巧 一句话要点 判定图形是不是三角形——"三要素检查法" 三要素（三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接）缺一不可。 判断三条线段能否组成三角形——"一算一验"简化法 只验"两短边之和＞最长边"；等于或小于都不能组成三角形。 已知两边求第三边的取值范围 |a－b|＜c＜a＋b；求周长范围时两端再加 a＋b。 等腰三角形边长的"分类讨论 + 检验" 按"已知边为腰""已知边为底"分类讨论，再逐一检验三边关系，不合的舍去。 求角度用"内角和定理 + 方程思想" 设最小角为 x 列方程，用 ∠A＋∠B＋∠C＝180° 求解。 判断三角形的形状——"最大角比较法" 先求最大角：＜90° 锐角，＝90° 直角，＞90° 钝角。 求角度用"外角转化法" 外角＝与它不相邻的两个内角之和，注意"不相邻"。 直角三角形中求锐角——"互余法" ∠A＋∠B＝90° 求锐角；反之有两角互余即为直角三角形。 三角形高的位置——"按形状分类讨论" 锐角全在内部；直角两高与直角边重合；钝角两高在外部——按形状分类讨论。 证明内角和用"平行线转化法" 过一个顶点作对边平行线，把三个内角转化成一个平角或一组同旁内角。 外角的个数与"每顶点取一个"的原则 每顶点两个（互为对顶角），共六个；三个不同顶点各取一个，和为 360°。 中线与重心的应用 三中线交于重心；由"中点"得线段相等，是证线段相等的突破口。 利用稳定性判断与说理 三边确定则形状大小唯一确定；四边形等会形变，故不稳定。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 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