专题01 有理数（专题讲练）2025－2026学年人教版（2024）数学七年级上册

该初中数学有理数单元复习讲义通过知识清单表格与分类框架图系统构建知识体系，将正数负数、有理数概念、数轴、相反数、绝对值等核心知识点按“概念-性质-应用”逻辑递进梳理，并用对比表格明晰正负号表示、0的意义等易混点，突出数轴三要素、绝对值性质等重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型分层进阶”设计，从基础的认识正负数（如典例1判断负数个数）到综合的数轴动点问题（如典例22分情况列方程求解），融入符号意识、几何直观等核心素养。技巧总结中“多重符号化简看负号个数”等方法，帮助基础学生掌握规律，综合题培养推理能力，教师可据此实施精准分层复习教学。

　有理数01 题型1 认识正数和负数 6 题型2 具有相反意义的量 8 题型3 有理数的概念和分类 9 题型4 数轴及应用 10 题型5 相反数和绝对值 12 题型6 多重符号的化简 13 题型7 有理数的大小比较 14 题型8 数轴上的动点问题 15 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．正数和负数 （1）正数和负数的概念 （2）具有相反意义的量 （3）用正数和负数表示具有相反意义的量 （4）0的意义 2．有理数及其大小比较 （1）有理数的概念 （2）分类 （3）相关概念 ①数轴②相反数③绝对值 （4）有理数的大小比较 2 知识储备 正数和负数知识点 01 （1）概念：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数． 0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界． （2）表示方法： 一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的．正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如5、7、50、+14200等；负的量用小学学过的数前面放上“–”（读作负）号来表示，如–3、–8、–47、–4745等． （3）正数和负数的意义： ①正数和负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量．为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的．负数是根据实际需要产生的． ②描述一堆具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，盈利与亏损，收入与支出等． （4）“正”与“负”的辨析与对比： 符号 读法 举例 注意 + 正 +2，读作正2 正数前面的“﹢”号一般省略不写，但有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“﹢”号 – 负 –1，读作负1 负数前面的“﹣”号不能省略 有理数知识点 02 （1）可以写成分数形式形式的数，称为有理数． 整数、有限小数、无限循环小数，都是有理数；无限不循环小数为无理数． （2）有理数的分类： 注意：0即不是正数，也不是负数；﹣a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数． 数轴、相反数、绝对值知识点 03 1．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线． 2．相反数： （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； （2）相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数． 3．绝对值： （1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离． （2）绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论． 有理数的大小比较知识点 04 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数－小数 ＞ 0，小数－大数 ＜ 0． 3 技巧总结 1．负数前面的“－”号不能省略，否则就变成正数了． 2．不要误认为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如：+（–5）就不是正数，–（–5）就不是负数． 3．0既不是正数，也不是负数． 4．0的意义： ①小学学习了0可以表示没有； ②现在我们知道，0比任何正数都小，比任何负数都大，0是正数和负数的分界点，因此0还常用来表示某个量的基准． 如0°C不能理解为没有温度，而是温度中的一个值，也是零上和零下的分界点，在物理学中，0°C表示冰的熔点，0°C常用来作为计量温度的基准．0℃是一个确定的温度，海拔0 m 是一个确定的海拔．0已不只是表示“没有”． 5．有理数 （1）整数和分数都是有理数，其中整数可以写成分母为1的分数的形式． 注意：不是有理数，不是分数（分数化简之后，分子、分母均为整数且分母不为0），也不是有理数． （2）引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数． （3）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度． 通常规定从原点向右为正方向，但是特殊情况规定其他方向为正方向也不是错误． （4）若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若a，b互为相反数，则a+b=0． （5）多重符号的化简方法：①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等；②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数；③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”． （6）绝对值：若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零． （7）有理数的大小比较 ①利用数轴：在数轴上，右边的数总比左边的数大． ②利用性质：正数大于0，0大于负数，正数大于负数．两个负数，绝对值大的反而小． 拓展区 拓展延伸 走进重高 1．有理数的希腊文是λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，明代科学家徐光启和意大利学者利玛窦翻译《几何原本》时，将其翻译为“理”，这个“理”指的是“比值”． 2．负算是中国古代数学中用于表示负数的术语，其概念及使用方法最早记载于《九章算术》．中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负． 3．小数和有理数的联系 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，是有理数； 无限不循环小数不能化为分数，不是有理数（叫无理数）． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 认识正数和负数 【典例1】　（2024秋•城关区校级期末）下列一组数：﹣8、2.6、0、﹣（﹣5.5）、﹣（+3）、﹣|﹣10|、|﹣6|．其中是负数的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：﹣8＜0，是负数； 2.6＞0，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣（﹣5.5）＝5.5＞0，是正数； ﹣（+3）＝﹣3＜0，是负数； ﹣|﹣10|＝﹣10＜0，是负数； |﹣6|＝6＞0，是正数； ∴负数有﹣8，﹣（+3），﹣|﹣10|，共3个． 故选：C． 【典例2】　（2025春•南岗区期末）在﹣7，2.5，﹣0.5，0，中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：﹣7＜0，是负数； 2.5＞0，是正数； ﹣0.5＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； 0，是正数； ∴负数有﹣7，﹣0.5，共2个． 故选：B． 【典例3】　（2025春•南岗区校级月考）在中，负数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：﹣3.5＜0，是负数； 0，是负数； 0.3070809＞0，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣π＜0，是负数； ∴负数有﹣3.5，，﹣π，共3个． 故选：B． 题型2 具有相反意义的量 【典例4】　（2025春•鸡西期末）下面不具有相反意义的量是（　　） A．身高增加3cm和体重增长3千克 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．前进5m和后退5m 【答案】A 【分析】根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【解答】解：A．身高增加和体重增长属于不同类别的量（身高与体重），无法构成相反意义，符合题意； B．节约与浪费均针对水的用量，是同一种类的量，具有相反意义的量，不符合题意； C．存入与支出均针对资金流动，是同一种类的量，具有相反意义的量，不符合题意； D．前进与后退均针对方向，是同一种类的量，具有相反意义的量，不符合题意． 故选：A． 【典例5】　（2025春•道外区期末）如果水位升高0.5米时水位变化记作+0.5米．那么水位下降0.8米时水位变化记作（　　） A．0米 B．0.8米 C．﹣0.8米 D．﹣0.5米 【答案】C 【分析】根据题意，可以表示出水位下降0.8米时的水位变化，本题得以解决． 【解答】解：∵水位升高0.5米时水位变化记作+0.5米， ∴水位下降0.8米时水位变化记作﹣0.8米， 故选：C． 【典例6】　（2025春•海勃湾区期末）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高4℃时，气温变化记作+4℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作（　　） A．﹣6℃ B．﹣10℃ C．10℃ D．+6℃ 【答案】B 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：若气温升高4℃时，气温变化记作+4℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作﹣10℃， 故选：B． 题型3 有理数的概念和分类 【典例7】　（2025春•永川区校级月考）下列各数：5，，﹣0.2，0，其中是非负数的有（　　） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】根据非负数包括0和正数解答即可． 【解答】解：在5，，﹣0.2，0中，非负数的有5，0.56，，+3，0，共5个． 故选：B． 【典例8】　（2025春•沾化区期末）在﹣3，，0，18%，，3.1415926，13，0.232232223…（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据“整数和分数统称为有理数”，进行解答即可． 【解答】解：在﹣3，，0，18%，，3.1415926，13，0.232232223…（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数有﹣3，，0，18%，3.1415926，13，共6个，故B正确． 故选：B． 【典例9】　（2025•宁波三模）下列四个有理数中，既是整数又是负数的是（　　） A．4 B．﹣5.5 C．﹣2 D．0 【答案】C 【分析】根据有理数的分类，即可求解． 【解答】解：4是整数又是正数； ﹣5.5是分数又是负数； ﹣2是整数又是负数； 0是整数不是负数． 故选：C． 题型4 数轴及应用 【典例10】　（2025•宝丰县一模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【答案】B 【分析】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可． 【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0， 则表示的数可能是﹣0.5． 故选：B． 【典例11】　（2024秋•河东区期末）已知A、B、C是数轴上的三个点，点A表示数是3，且线段AB的长度为6，C为线段AB的中点，则点C表示的数为（　　） A．0 B．0或3 C．0或4 D．0或6 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况点B在点A的左侧；点B在点A的右侧；作图求解即可得到答案． 【解答】解：点A表示数是3，且线段AB的长度为6， ∴由题意，分两种情况：点B在点A的左侧；点B在点A的右侧； 当点B在点A的左侧时，如图所示： ∴点B对应的数是﹣3， 由条件可知点C表示的数为0； 当点B在点A的右侧时，如图所示： ∴点B对应的数是9， 由条件可知点C表示的数为6； 综上所述，点C表示的数为0或6， 故选：D． 【典例12】　（2024秋•新乡期末）如图，O为原点，A，B，C三点在数轴上，OC＝3OA，B是线段OC的中点，若点A所表示的数为m，则线段AB的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得OA＝﹣m．再由OC＝3OA，可得OC＝﹣3m．又由B是线段OC的中点，得出．再根据AB＝OA+OB求解即可． 【解答】解：由条件可知OA＝﹣m．则OC＝﹣3m． ∵B是线段OC的中点， ∴． ∴． 故选：C． 题型5 相反数和绝对值 【典例13】　（2025•市中区校级三模）若a与﹣6互为相反数，则1﹣a的值为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：因为a与﹣6互为相反数， 所以a＝6， 所以1﹣a＝1﹣6＝﹣5， 故选：B． 【典例14】　（2025春•明水县期末）若ab≠0，则的值为　　 ． 【答案】±2或0． 【分析】分四种情况：a＞0，b＞0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0；a＜0，b＜0，化简绝对值，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，分四种情况：当a＞0，b＞0时，原式1+1＝2； 当a＞0，b＜0时，； 当a＜0，b＞0时，； 当a＜0，b＜0时，； 综上可知，若ab≠0，则的值为±2或0． 故答案为：±2或0． 【典例15】　（2025•张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+5）与+（﹣5） B．与﹣（+0.5） C．﹣|﹣0.01|与﹣（） D．与0.3 【答案】C 【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【解答】解：A．﹣（+5）＝﹣5，+（﹣5）＝﹣5，选项A不符合题意； B．﹣（+0.5）＝﹣0.5，与相等，选项B不符合题意； C．﹣|﹣0.01|＝﹣0.01，﹣（）0.01，﹣0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意； D．与0.3不是相反数，选项D不符合题意； 故选：C． 题型6 多重符号的化简 【典例16】　（2024秋•潮阳区期中）下列各对数中，互为相反数的（　　） A．﹣（﹣2）和2 B．﹣（﹣5）和+（﹣5） C．和﹣2 D．+（﹣3）和﹣（+3） 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数是相反数，可判断互为相反数两个数． 【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，+（﹣5）＝﹣5，5和﹣5互为相反数， 故选：B． 【典例17】　（2024秋•雷州市校级月考）化简：﹣（+4）＝　　 ，﹣（﹣6）＝　　 ，﹣[﹣（+5）]＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用去括号法则化简求出答案． 【解答】解：﹣（+4）＝﹣4，﹣（﹣6）＝6，﹣[﹣（+5）]＝5． 故答案为：﹣4，6，5． 【典例18】　（2024秋•合肥月考）下列化简，正确的是（　　） A．﹣[﹣（﹣10）]＝﹣10 B．﹣（﹣3）＝﹣3 C．﹣（+5）＝5 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 【答案】A 【分析】根据去括号的法则，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可得答案． 【解答】解；A、﹣[﹣（﹣10）]＝﹣[10]＝﹣10，故A正确； B、﹣（﹣3）＝3，故B错误； C、﹣（+5）＝﹣5，故C正确； D、﹣[﹣（+8）]＝﹣[﹣8]＝8，故D错误． 故选：A． 题型7 有理数的大小比较 【典例19】　（2024秋•沙坪坝区校级期末）下列各数中，绝对值最小的是（　　） A．﹣3 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【解答】解：∵|﹣3|＝3，||，|0|＝0，||， ∵03， ∴绝对值最小的数是0． 故选：C． 【典例20】　（2024秋•沈丘县期末）a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（　　） A．﹣b＜a＜﹣a＜b B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 【答案】A 【分析】根据a、b在数轴上的位置，可对a、b赋值，然后即可用“＜”连接． 【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.2，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.2， 则可得﹣b＜a＜﹣a＜b． 故选：A． 【典例21】　（2024秋•浏阳市期末）把﹣（﹣1），，﹣||，0．用“＞”连接正确的是（　　） A．0＞﹣（﹣1）＞﹣|| B．0＞﹣（﹣1）|| C．﹣（﹣1）＞0|| D．﹣（﹣1）＞0＞﹣|| 【答案】C 【分析】先化简各个式子，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【解答】解：∵﹣（﹣1）＝1，﹣||，||，||， ∴﹣（﹣1）＞0||， 故选：C． 题型8 数轴上的动点问题 【典例22】　（2024秋•开江县期末）如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是﹣17和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过 　　 秒，点P、点Q分别与原点的距离相等． 【答案】见试题解答内容 【分析】分两种情况进行解答，即点P在原点的左侧，点P在原点的右侧，根据到原点的距离相等，列方程求解即可． 【解答】解：设运动的时间为t秒， ①当点P在原点的左侧时，有17﹣4t＝3+3t，解得，t＝2， ②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，有4t＝20+3t，解得，t＝20； 故答案为：2或20． 【典例23】　（2024秋•平武县期末）已知数轴上点A表示有理数﹣2，若将点A沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的有理数是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据向右为“+”可得出点B表示的有理数是﹣2+4，再进行计算即可． 【解答】解：∵数轴上点A表示有理数﹣2， ∴将点A沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的有理数是﹣2+4＝2； 故答案为：2． 【典例24】　（2023秋•淮阳区期末）点A在数轴上距离原点3个单位长度，将点A沿着数轴向右移动2个单位长度得到点B，则点B表示的数是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于点A与原点O的距离为3，那么A应有两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离为3，这两个点对应的数分别是﹣3和3．A向右移动2个单位长度，通过数轴上“右加左减”的规律，即可求得平移后点A表示的数． 【解答】解：点A在数轴上距离原点3个单位长度， 当点A在原点左边时，点A表示的数是﹣3，将A向右移动2个单位长度，此时点A表示的数是﹣3+2＝﹣1； 当点A在原点右边时，点A表示的数是3，将A向右移动2个单位，得3+2＝5． 故答案为：﹣1或5． 学科网（北京）股份有限公司 $$