精品解析：江苏省无锡市经开区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2024年春学期期中考试试卷 八年级数学 2024．04 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解题的关键是掌握有可能发生也有可能不发生的事是随机事件．据此即可解答． 【详解】解：向上抛掷一枚硬币，落地后有可能正面向上，也有可能反面向上， ∴向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是随机事件， 故选：C． 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，由分式有意义的条件得，即可求解；理解“分式有意义的条件：．”是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义， ， 解得：； 故选：D． 4. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况 B. 调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯 C. 调查某种面包的合格率 D. 调查某校足球队员的身高 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查对象的范围选取合适的调查方法． 【详解】解：A、七年级一班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意； B、某班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意； C、某种面包的合格率，宜用抽样调查，符合题意； D、某校足球队员的身高，宜用全面调查，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了抽样调查、全面调查的应用，遵循定义和适用范围是解决本题的关键． 5. 下列等式从左到右成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 6. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确是（ ） A. 当时，四边形矩形 B. 当时，四边形是正方形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定定理，平行四边形的性质，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，则， A．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； B．当时，四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； C．当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，，，，再根据等边对等角，得出，由题意可得，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是由绕点O顺时针旋转后得到的图形， ，，， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图所示，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 保持不变且与EF的长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解． 【详解】连接BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB＝BD，∠ABD＝60° ∵DC∥AB ∴∠CDB＝∠ABD＝60° ∴∠A＝∠CDB ∵∠EBF＝60° ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF ∴∠ABE＝∠DBF ∵ ∴△ABE≌△DBF（AAS） ∴AE＝DF ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解． 10. 如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，，如下4个结论：；②为中点；③；④．其中正确结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①正确．证明∠GCF=∠GCB，∠ECD=∠ECF即可；②正确．可以证明BG=GA=FG；③正确．证明AF⊥BF，CG⊥BF即可；④正确．证明EF:EG=2:5，求出△AFE的面积即可． 【详解】解：如图，连接BF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠GAE=∠CBG=∠CDE=∠BCD=90°， 由翻折可知：CD=CF，∠CDE=∠CFE=∠CFG=90°，DE=EF=4，∠DCE=∠ECF， ∵∠CFG=∠CBG=90°，CG=CG，CB=CF， ∴Rt△CGB≌Rt△CGF（HL）， ∴BG=FG，∠GCF=∠GCB， 设BG=FG =x， ∴∠ECG=∠ECF+∠GCF=（∠DCF+∠BCF）=45°，故①正确， 在Rt△EAG中，∵EG2=EA2+AG2， ∴(4+x)2=82+(12-x)2， ∴x=6， ∵AB=AD=AE+ED=12， ∴AG=BG=6， ∴G为AB中点，故②正确， ∵GF=GA=GB， ∴∠AFB=90°， ∴AF⊥BF， ∵CB=CF，GB=GF， ∴CG是线段BF的垂直平分线，即CG⊥BF， ∴AF∥CG，故③正确， ∵S△AEG=×6×8=24，EF:FG =4:6=2:3， ∴EF:EG=2:5， ∴S△AFE=×24=，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是最简公分母的确定．根据最简公分母的确定方法“如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”解答即可． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 13. “”中，字母“i”出现的频率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求频率，根据频率等于频数除以总数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，字母“i”出现的频率是； 故答案为：． 14 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，分式的化简求值，理解新定义，进行化简，用整体代换法是解题的关键．根据新定义得，通分得，将此代入即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 整理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC=24，BD=10，则BC边上的高DE等于______． 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△OBA中，根据勾股定理求出AB的值，再利用面积法可得DE×AB＝BD×AC，由此求出DE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，角线AC和BD相交于O， AC=24，BD=10， ∴BO＝DO＝5，AO=CO=12，∠BOC＝90°， 在Rt△AOB中，AB＝， ∵DE×AB＝BD×AC， ∴DE＝， 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出DE的长是解题关键． 16. 如图，在中，D，E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，．若，则的长度是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，再根据题意求出，然后根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，E是的中点， ∴， 故答案为：6． 17. 如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边的长为 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】过O作，过A作，可得四边形为矩形，推出，根据正方形的性质得出，求出，根据证，推出，得出等腰三角形三角形，根据勾股定理求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：过O作于F，过A作于M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度． 18. 如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．需要写必要解答过程，把答案直接写在答题卡上的相应位置） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化为同分母，再作差，最后约分化简即可； （2）先将分母因式分解，再约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，从，0，1，2中选择合适的a的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴当时， 原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后的图形； （2）的面积为______； （3）D点在平面内，且以为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3），， 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，坐标与图形，平行四边形的性质，找对称点和恰当分类是解题的关键． （1）先找出旋转后的对称点，再连线即可； （2）用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积以及一个小正方形面积即可得到答案； （3）分三种情况：是对角线，是对角线，是对角线，根据平行四边形对角线的中点坐标相同进行求解． 【小问1详解】 解：如图，就是求作的三角形； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设点D的坐标为， ∵点，，， 分三种情况，由对角线的中点相同可知： 当为对角线时， 解得： 此时； 当为对角线时， 解得： 此时； 当为对角线时， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 综上可得，D点的坐标为、、． 22. 根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中分钟以上； 分钟；分钟；分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人； （2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？ 【答案】（1）40 （2）72°，图见详解 （3）225 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，计算扇形的圆心角，用样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用“C”等级的人数除以“C”等级的百分比，即可作答． （2）用总人数减去“A”，“C”，“D”等级；运用D的人数除以接受问卷调查的总人数，再与相乘，即可作答． （3）先算出这次接受问卷调查的“A”层级的学生的人数，再结合“全校约有学生1500人”这个条件，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人） ∴接受问卷调查的学生共有40人； 【小问2详解】 解：依题意，（人） ∴“D”等级的人数为人 条形统计图如下： 则 ∴扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有人． 23. 如图，在中，，O是斜边上的中点，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线的性质，先判定，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出结论即可． 【详解】证明：∵O是斜边上的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 24. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）证△（），得，，则，得，即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出，再证出，可得是的中位线，然后利用中位线定理可得的长度． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点G，H分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接交于点O， 如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点G是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键． 25. 【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，则_______0（填“>”“=”或“<”）； （2）已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； （3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次加相同容量的油（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为_______元/升，小张两次加油的平均单价为_______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】（1） （2），见解析 （3）①；；②小王加油的平均单价低． 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先计算分式的减法运算，再根据a的取值范围即可求解； （2）化简，由可得，进而求解； （3）①根据加油量费用油的单价，平均单价两次加油花的钱两次加油的总量列代数式即可；②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴，即； 【小问3详解】 ①小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． ∴小张两次加油的平均单价为元/升； 故答案为：，； ② ∵，， ∵时， ∴，即， 答：小王加油的平均单价低． 26. 如图，在中，为对角线的中点，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为． （1）当点在边上运动时，求证：； （2）当点在内部时，求的取值范围； （3）当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形的性质易证，得到，即可得出结论； （2）根据30度角所对的直角边等于斜边一半得到，再利用两个临界值分别讨论：①当点与点重合时，由旋转的性质得到是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求解；②当点落在边上时，证明四边形是平行四边形，再证明，得到，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点在边上运动时，经过点时，证明出，从而推出，再结合含30度角的直角三角形求解；②当点在边上运动时，且，根据勾股定理和含30度角的直角三角形求解即可． 小问1详解】 证明：在中，为对角线的中点， ，，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ①当点与点重合时，如图， 线段绕着点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得； ②当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 解得． 综上可知，当点在内部时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：①如图，当点在边上运动时，经过点时，与重叠部分图形是轴对称的三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 解得； ②如图，当点在边上运动时，如果，则与重叠部分图形是轴对称的三角形， ， ， ， ， ， 解得． 综上可知，当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期期中考试试卷 八年级数学 2024．04 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况 B. 调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯 C. 调查某种面包的合格率 D. 调查某校足球队员身高 5. 下列等式从左到右成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是正方形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 7. 如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，则的长是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）． A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 保持不变且与EF的长度相等 D. 保持不变且与AB的长度相等 10. 如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，，如下4个结论：；②为中点；③；④．其中正确结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分式与的最简公分母是______． 12. 若分式的值为0，则的值为___________． 13. “”中，字母“i”出现的频率为______． 14 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则______． 15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC=24，BD=10，则BC边上的高DE等于______． 16. 如图，在中，D，E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，．若，则的长度是__________． 17. 如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边长为 ______． 18. 如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．需要写必要解答过程，把答案直接写在答题卡上的相应位置） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，从，0，1，2中选择合适的a的值代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后的图形； （2）的面积为______； （3）D点在平面内，且以为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为______． 22. 根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中分钟以上； 分钟；分钟；分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有______人； （2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）全校约有学生1500人，估计“A”层级学生约有多少人？ 23. 如图，在中，，O是斜边上的中点，，求证：四边形是矩形． 24. 如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 25. 【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，则_______0（填“>”“=”或“<”）； （2）已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； （3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次加相同容量的油（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为_______元/升，小张两次加油的平均单价为_______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 26. 如图，在中，为对角线的中点，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连接并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为． （1）当点在边上运动时，求证：； （2）当点在内部时，求的取值范围； （3）当与重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$