上海市市北中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市市北中学2024-2025学年高二（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题满分54分） 1．直线AB上所有的点都在平面α上，可以用符号语言表述为：　 　 ． 2．平面α与平面β相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面β上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R． 设A、B、C三点确定的平面为γ，则β与γ的交线是 　 　 ． 3．已知圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则该圆锥的侧面积为 　 　 ． 4．已知向量平行于向量，则m+n＝ 　 　 ． 5．从平面外一点D向该平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，已知DA的长为a，∠BDA＝∠CDA＝60°，∠BDC＝90°． 则BC的长为 　 　 ． 6．若棱长为2的正方体的所有顶点都在同一球面上，则该球的体积为 　 　 ． 7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若长方体的体对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别为α，β，γ， 则sin2α+sin2β+sin2γ＝　 　 ． 8． 已知空间中三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）， 则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为 　 　 ． 9． 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时， 液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 　 　 ． 10． 一张A4纸的规格为：210mm×297mm，把它作为一个圆柱的侧面． 则卷成的圆柱体体积为 　 　 ．（结果精确到0.001mm3） 11． 如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内 垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为　 　 ． 12．如图，在圆锥S﹣O中，AC为底面圆O的直径，SO＝OC＝1，点B在底面圆周上，且AB＝BC． 若E为线段AB上的动点，则△SEC的周长最小值为 　 　 ． 二、选择题（本大题满分18分） 13．空间两条互相平行的直线指的是（　　） A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面上的两条直线 C．在两个不同的平面上且没有公共点的两条直线 D．在同一平面上且没有公共点的两条直线 14．下列命题中正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥α D．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c共面 15．已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，则m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3 16．已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q 都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A．12+7π B． C．14+7π D． 三、解答题（本大题满分78分） 17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且，设E、F分别为PC、BD的中点．（1）证明：直线EF∥平面PAD； （2）求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值． 18．（14分）如图，已知点P在圆柱O1O的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为20π， OA＝2，∠AOP＝120°．（1）求三棱锥A1﹣ABP的体积；（2）求异面直线A1B与AP所成角的大小． 19． （14分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状， 或作适当裁减而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个 截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 （1） 宋朝学者李诚在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3：2的观点．考虑梁取材于 圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h：b＝3：2时，求其抗弯截面系数； （2）假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 20． （18分）如图1所示的是等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，∠ABC，DE⊥AB于E点， 现将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，形成一个四棱锥P﹣EBCD，如图2所示． （1）若PC＝2，求证：PE⊥平面EBCD； （2）在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； （3）若直线PE与平面EBCD所成的角为，求二面角P﹣BC﹣E的大小． 21． （18分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB， 其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1．M是DD1上的一动点，N是B1C1上的一动点． （1）当D1M的长是多少时，平面CB1M⊥平面AA1D1D，请说明理由； （2）当M是DD1的中点时，求点B到平面CB1M的距离； （3）若M是DD1的中点，且D1N∥平面CB1M时，求三棱锥N﹣B1MC的体积． 上海市市北中学2024-2025学年高二（上）期中数学试卷解析 一、填空题（本大题满分54分） 1．直线AB上所有的点都在平面α上，可以用符号语言表述为：　l⊂α　 ． 【分析】根据点线关系和线面关系判定即可．【详解】因为直线l在平面α内，则l⊂α，故答案为：l⊂α． 2． 平面α与平面β相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面β上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R． 设A、B、C三点确定的平面为γ，则β与γ的交线是 　直线RC　 ． 【分析】根据已知得R、C既在平面β上又在平面γ上，从而得答案． 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，R∈l，又平面α与平面β相交于直线l，所以R∈平面β， 又点C在平面β上，所以CR⊂平面β，因为AB⊂平面γ，R点在直线AB上，所以R∈平面γ， 又C∈平面γ，所以CR⊂平面γ，所以β与γ的交线是直线CR．故答案为：直线RC． 3．已知圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则该圆锥的侧面积为 　6π　 ． 【分析】求出圆锥的底面半径，根据圆锥的侧面积公式，求解即可． 【详解】设圆锥的底面半径为r，由圆锥的底面周长为4π，可得2πr＝4π，解得r＝2， 又因为母线长为3，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π×2×3＝6π．故答案为：6π． 4．已知向量平行于向量，则m+n＝ 　　 ． 【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果． 【详解】由于向量平行于向量，故，解得m＝﹣6，n， 故m+n＝﹣6．故答案为：． 5．从平面外一点D向该平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，已知DA的长为a，∠BDA＝∠CDA＝60°，∠BDC＝90°． 则BC的长为 　　 ．【分析】由题设可得DB＝2DA＝2a， DC＝2DA＝2a，进而在△BDC中，由勾股定理可求解斜边BC． 【详解】设平面为α，由题意得DA⊥平面α，所以∠DAB＝90°， 在△DAB中，DA＝a，∠BDA＝60°，∠DBA＝30°， 所以DB＝2DA＝2a，同理DC＝2DA＝2a， 在△BDC中，∠BDC＝90°，BD＝DC＝2a， 所以BC2a．故答案为：． 6．若棱长为2的正方体的所有顶点都在同一球面上，则该球的体积为 　4π　 ． 【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可． 【详解】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度为2．所以球的半径为．所求球的体积为（）3＝4π．故答案为：4π． 7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若长方体的体对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别为α，β，γ， 则sin2α+sin2β+sin2γ＝　1　 ． 【分析】由已知得，由此即可求出答案． 【详解】连接AB1，AD1，AC，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面ABB1A1， ∴AC1与面ABB1A1所成的角为∠C1AB1＝α，∴，同理AC1与面ADD1A1所成的角为∠C1AD1＝β， ∴，AC1与面ABCD所成的角为∠C1AC＝γ，∴， ∴sin2α+sin2β+sin2γ．故答案为：1． 8．已知空间中三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以向量、为一组邻边的平行四边形的面积为 　7　 ． 【分析】求出向量的坐标，进而可得模长即向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积． 【详解】∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）， ∴（﹣2，﹣1，3），（1，﹣3，2），||，||， ∴cos∠BAC，∴∠BAC＝60°，∴Ssin60°＝7．故答案为：7． 9．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 　12　 ． 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答． 【详解】设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时， 水的体积为，当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah， 于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．故答案为：12． 10．一张A4纸的规格为：210mm×297mm，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 　1474084.329mm3或1042281.849mm3　 ．（结果精确到0.001mm3） 【分析】分别以210mm的边为高，和以297mm的边为高，两种情况讨论，分别求出对应底面圆的半径， 代入圆柱的体积公式即可得解．【详解】①如果以210mm的边为高，则2πr1＝297，所以， 此时圆柱体的体积为； ②如果以297mm的边为高，则2πr2＝210，所以， 此时圆柱体的体积为． 故答案为：1474084.329mm3或1042281.849mm3． 11．如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为　2cm　 ． 【分析】由题设条件知（）2，由此利用向量法能求出CD的长． 【详解】∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内 垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，∴（）2 ＝36+16+64+2×6×8×cos120°＝68． ∴CD的长||2cm．故答案为：2cm． 12．如图，在圆锥S﹣O中，AC为底面圆O的直径，SO＝OC＝1，点B在底面圆周上，且AB＝BC． 若E为线段AB上的动点，则△SEC的周长最小值为 　1　 ． 【分析】将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，判断出（SE+CE）min＝S1C，利用余弦定理求出最小值． 【详解】因为SO＝OC＝1，所以SC，因为AB＝BC，点B在底面圆周上，所以∠ABC＝90°，AC＝2×OC＝2． 所以AB＝BC，又SA＝SB，所以△SAB为等边三角形，∴∠SBA＝60°． 将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△S1AB，则△S1AB为等边三角形，∠S1AB＝60°， 如图： （SE+CE）min＝S1C．因为S1B＝BC＝2，∠S1BC＝∠S1BA+∠ABC＝150°， 所以S1C2＝S1B2+BC2﹣2×S1B×BC×cos150°＝2+2+2（1）2， 所以S1C1，所以△SEC的周长最小值为1．故答案为：1． 二、选择题（本大题满分18分） 13．空间两条互相平行的直线指的是（　　） A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面上的两条直线 C．在两个不同的平面上且没有公共点的两条直线 D．在同一平面上且没有公共点的两条直线 【分析】根据空间两条互相平行的定义即可求解．【详解】根据空间两条互相平行的定义可知： 平行直线是在同一平面上且没有公共点的两条直线．故选：D． 14．下列命题中正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥α D．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c共面 【分析】利用平面的基本性质及推论可知A，B错误，D正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C错误． 【详解】对于选项A：不共线的三点确定一个平面，故A错误， 对于选项B：由墙角模型可知，显然B错误， 对于选项C：根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不垂直，故C错误， 对于选项D：因为a∥b，所以a与b唯一确定一个平面，设为平面α，又c与a和b都相交，所以c也在平面α内，即直线a、b、c共面，故选项D正确，故选：D． 15．已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，则m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①若α∥β，则由若m⊥α，n⊥β，推出m∥n与m⊥n矛盾，因此α与β不平行，所以一定相交， 由α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β．②若α∩β＝l，且m∥l时也满足条件，故不一定α∥β． ③由条件也可能α∥β．④由条件也可能α与β相交． 【详解】①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，这与m⊥n矛盾； 若α与β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β，因此①正确． ②若α∩β＝l，且m∥n∥l，则可满足m∥α，n∥β，故满足已知条件的α与β不一定平行，因此②不正确． ③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也满足条件，故③不正确． ④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，则可能有m∥n，故④不正确．综上可知只有①正确．故选：B． 16．已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A．12+7π B． C．14+7π D． 【分析】由题意可知：T是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果． 【详解】空间中，T在垂直于平面ABC的角度看，如下图所示： 其中：BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱； CDE，BFG，AHI区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为C，B，A； CDE，BFG，AHI区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为C，B，A； ABC区域内的几何体是高为2的直三棱柱，因为四边形BCDF和ACEI为矩形，则， 可得∠DCE＝2π﹣π﹣∠ACB＝π﹣∠ACB，同理可得：∠FBG＝π﹣∠ABC，∠HAI＝π﹣∠CAB， 所以∠DCE+∠FBG+∠HAI＝3π﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝3π﹣π＝2π， 可得CDE，BFG，AHI区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球， 则CDE，BFG，AHI区域内的几何体的体积之和； 又因为BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体的体积之和； ABC区域内的直三棱柱体积， 所以T的体积为．故选：B． 三、解答题（本大题满分78分） 17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且，设E、F分别为PC、BD的中点．（1）证明：直线EF∥平面PAD； （2）求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值． 【分析】（1）取AD中点O，连结PO，FO，以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明EF∥平面PAD； （2）求出直线PB的方向向量和平面ABCD的法向量，利用向量法即可求出直线PB与平面ABCD所成角的正切值． 【解答】（1）证明：取AD中点O，连结PO，FO， 在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PDa，∴PO⊥AD， 又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD，又E、F分别为PC、BD的中点，底面ABCD是边长为a的正方形， ∴OA、OP、OF两两垂直， 以O为原点，OA，OF，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， P（0，0，a），C（a，a，0），E（a，a，a），F（，0）， 则（a，0，a），取平面PAD的法向量为（0，1，0）， ∵0，且EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD； （2）解：由（1）知：P（0，0，a），B（），则（，a）， 取平面ABCD的法向量（0，0，1），设直线PB与平面ABCD所成的角为θ， 则sinθ＝|cos|，∴cosθ，故tan， ∴直线PB与平面ABCD所成的角的正切值为． 18．（14分）如图，已知点P在圆柱O1O的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为20π， OA＝2，∠AOP＝120°．（1）求三棱锥A1﹣ABP的体积；（2）求异面直线A1B与AP所成角的大小． 【分析】（1）根据圆柱的体积公式算出母线AA1＝3，即三棱锥A1﹣ABP的高为3，然后根据OA＝2，∠AOP＝120°，算出底面△ABP的面积，进而算出三棱锥A1﹣ABP的体积；（2）建立空间直角坐标系，算出、的坐标，进而利用空间向量的夹角公式，算出异面直线A1B与AP所成角的大小． 【详解】（1）根据题意，圆柱的底面半径r＝2，它的表面积S表＝2πr2+2πr•AA1＝20π， 即2π×22+2π×2AA1＝20π，解得AA1＝3，即三棱锥A1﹣ABP的高为3， 在底面△ABP中，∠APB＝90°，OA＝OP＝OB＝2，∠AOP＝120°， 所以AB＝2，，可得S△ABP； 因此，三棱锥A1﹣ABP的体积； （2）如图所示，以O为原点，AB的垂直平分线为x轴，OB所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 可得A（0，﹣2，0），A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）， 由∠POx＝30°，OP＝2，得P（2cos30°，2sin30°，0），即， 所以，，可得． 设异面直线A1B与AP所成的角为α，则． 综上所述，异面直线A1B与AP所成角的大小为． 19．（14分）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 （1）宋朝学者李诚在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3：2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h：b＝3：2时，求其抗弯截面系数； （2）假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【分析】（1）通过设矩形长、宽与外接圆直径的关系，结合比例求出长和宽，代入矩形抗弯截面系数公式，得出当h：b＝3：2时，其抗弯截面系数为； （2）根据题意，得到，，，结合题意，得到W3＞W2＞W1得到结论． 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足h2+b2＝D2， 因h：b＝3：2，设h＝3k，b＝2k（k＞0）， 代入h2+b2＝D2，得（3k）2+（2k）2＝D2，即13k2＝D2，解得（舍负根），因此，， 矩形抗弯截面系数公式为，将b、h代入： ， 综上，当h：b＝3：2时，矩形截面抗弯截面系数为； （2）假设截面面积均为正常数S，可得，，， 所以，又因为3＜π，所以，所以W2＞W1， 综上，W3＞W2＞W1于是矩形截面的梁的截面形状最好． 20．（18分）如图1所示的是等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，∠ABC，DE⊥AB于E点，现将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，形成一个四棱锥P﹣EBCD，如图2所示． （1）若PC＝2，求证：PE⊥平面EBCD； （2）在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； （3）若直线PE与平面EBCD所成的角为，求二面角P﹣BC﹣E的大小． 【分析】（1）连接CE，由PC2＝PE2+EC2证得PE⊥EC，再由PE⊥ED，利用线面垂直的判定定理，即可证得PE⊥平面EBCD；（2）利用勾股定理求出球半径即可求解；（3）以E为原点，建立空间直角坐标系，根据题意证得平面PEB⊥平面EBCD，过点P作PF⊥BE，证得PF⊥平面EBCD，得到，分别求得平面PBC和平面EBCD的法向量和（0，0，1），结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接CE， 因为等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，，DE⊥AB， 可得AE＝1，，且， 即PE＝1，因为，则PC2＝PE2+EC2， 所以PE⊥EC，又因为PE⊥ED，且CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面EBCD，所以PE⊥平面EBCD； （2）由题意知，△EDC为直角三角形，设△EDC外接圆半径为r，则r， 设四面体P﹣ECD的外接球半径为R，则， 所以四面体P﹣ECD的外接球表面积为； 四面体P﹣ECD的外接球体积为． （3）以E为原点，以DB，ED所在的直线分别为x，y轴，以过点E垂直于平面EBCD为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为DE⊥EB，DE⊥PE，且EB∩PE＝E，EB，PE⊂平面PEB，所以DE⊥平面PEB， 又因为DE⊂平面EBCD，所以平面PEB⊥平面EBCD， 过点P作PF⊥BE于点F，因为平面PEB∩平面EBCD＝BE，所以PF⊥平面EBCD， 所以∠PEB为PE与平面EBCD所成的角，所以， 可得，B（3，0，0），，则，， 设平面PBC的法向量为，则， 取，可得y＝1，z＝5，所以， 又由z轴垂直平面EBCD，可得面EBCD的一个法向量为， 则，所以二面角P﹣BC﹣E的大小． 21．（18分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB， 其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1．M是DD1上的一动点，N是B1C1上的一动点． （1）当D1M的长是多少时，平面CB1M⊥平面AA1D1D，请说明理由； （2）当M是DD1的中点时，求点B到平面CB1M的距离； （3）若M是DD1的中点，且D1N∥平面CB1M时，求三棱锥N﹣B1MC的体积． 【分析】（1）以A为原点建系，设M（0，1，t），分别求出平面CB1M和平面AA1D1D的法向量，结合平面的垂直关系，求出t的值即可得解；（2）利用向量法求点到平面的距离即可；（3）先根据D1N∥平面CB1M，确定点N是B1C1的中点，再利用向量法求得点N到平面CB1M的距离，然后由棱锥的体积公式，求解即可． 【详解】（1）当D1M的长是2时，平面CB1M⊥平面AA1D1D，理由如下： 由题意知，AB，AD，AA1两两垂直，故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则C（1，1，0），B1（2，0，2），C1（1，1，2），D1（0，1，2），所以（1，﹣1，2）， 设M（0，1，t），则（﹣1，0，t）， 设平面CB1M的法向量为（x，y，z），则， 取z＝1，则x＝t，y＝t+2，所以（t，t+2，1），易知平面AA1D1D的一个法向量为（1，0，0）， 因为平面CB1M⊥平面AA1D1D，所以•t＝0，即M（0，1，0）， 所以当D1M的长是2时，平面CB1M⊥平面AA1D1D． （2）当M是DD1的中点时，M（0，1，1），即t＝1， 所以平面CB1M的法向量为（t，t+2，1）＝（1，3，1），而（0，0，2）， 所以点B到平面CB1M的距离为． （3）若M是DD1的中点，则M（0，1，1），平面CB1M的法向量为（1，3，1）， 设λ（1，﹣1，0），λ∈[0，1]，所以（1+λ，﹣λ，0）， 因为D1N∥平面CB1M，所以•1+λ﹣3λ＝0，解得λ，即点N是B1C1的中点， 所以N（，，2），（，，2）， 所以点N到平面CB1M的距离d， 因为C（1，1，0），B1（2，0，2），M（0，1，1），所以CB1，CM，B1M， 所以△CB1M的面积SCM•， 所以三棱锥N﹣B1MC的体积VSd． 【点晴】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法证明面面垂直、求点到平面的距离， 以及棱锥的体积公式是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$