精品解析：河北省唐山市路南区第九中学兴趣班2023-2024学年下学期 八年级3月 测试数学试卷

唐山九中八年级数学兴趣班测评卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式定义，二次根式定义．根据根据分母不为0，二次根式内的式子为非负可求得． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：且， 故选：D． 2. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分子分母同时乘以，即可得到化简结果． 【详解】 故答案为：D． 【点睛】本题考查了无理数化简的问题，掌握无理数化简的方法是解题的关键． 3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（ ） A. 47 B. 37 C. 34 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和． 【详解】解：由勾股定理得：正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积， 同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积， ∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键． 4. 如果，，那么(　　) A. a>b B. a<b C. a=b D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分母有理化可将化简为，即得出答案． 【详解】∵b＝==， 又∵a=2＋， ∴a=b． 故选C． 【点睛】本题主要考查分母有理化．掌握分母有理化的方法是解题关键． 5. 如图，在平行四边形中，对角线交于点，点是的中点；若，则的长为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质．由平行四边形的性质可得点O为的中点，进而由点E是的中点可得为的中点，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 故选：B 6. 如图，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以为圆心，AC的长为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，，然后利用勾股定理求出AC的长度，进而求出AP的长度，然后即可求出点P的横坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点P的横坐标． 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的运用，数轴上点的坐标表示方法和两点间距离的表示方法，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长度． 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝1，AC＝2，BD是∠ABC的角平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A. 1：2 B. 3：2 C. 5： D. ：1 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得点D到∠ABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可． 【详解】解：如图过D作DE⊥AB于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB ∴DE＝DC 又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2， ∴AB＝＝， ∴S1：S2＝AB：BC＝：1． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理和角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键． 8. 已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ 　） A. 1＜MN＜5 B. 1＜MN≤5 C. ＜MN＜ D. ＜MN≤ 【答案】D 【解析】 【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围． 【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB， ∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1； ∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3， ∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=， 在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1， ∴＜MN＜， 当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是＜MN≤． 故选D． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解. 9. 如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，，，则平行四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，先根据平行四边形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，从而可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得． 【详解】设， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 又， ， 解得， 即， 是等腰直角三角形， ， ， 平行四边形ABCD的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 10. 如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 21cm B. 24cm C. 30cm D. 32cm 【答案】C 【解析】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：； 圆柱体地面半径为cm， cm 圆柱体的高cm， cm 在中， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键． 11. 已知的周长为40，，则对角线的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系．由的周长分别求出各边长，再根据三角形的三边关系求出对角线的取值范围即可． 【详解】解：∵的周长为40， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即． 故选：A． 12. 如图，，，点，在线段上，且满足，点在射线上，且，则满足上述条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，轴对称，利用轴对称求出的最小值是解题的关键． 作E关于的对称点，连接交于点O，则，．根据直角三角形的性质和轴对称的性质求出的最小值，结合当P在点A处时的值，确定点在射线上时，的值的变化范围，根据变化范围求解即可． 【详解】解：作E关于的对称点，连接交于点O，则，连接交于P，过作于H， 连接交于P，过作于H， ∵E，关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当P在点A处时，， ∴点在线段上时，， ∴点P在从点出发，沿射线移动的过程中，的值的变化是：由减少到，再由逐渐增大， ∴点在射线上，且满足，则这样的P点个数有两个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 13. 如果，那么a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键. 由题意可得，解不等式即可求出答案. 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：. 14. 若为的小数部分，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的估算，表示出，代入代数式求值即可得到答案． 【详解】解：， 若为的小数部分，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及无理数估算、二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 15. 若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】12 【解析】 【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm）， ∴OC=OA， ∵OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______． 【答案】15 【解析】 【分析】延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积． 【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴CE=AB=5，∠BAD=∠E， ∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13， ∴CE2+AE2=AC2， ∴∠E=90°， ∴∠BAD=90°， 即△ABD为直角三角形， ∴△ABD的面积=AD•AB=15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则_______． 【答案】1.5 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵将△ABC折叠得△AB′E ∴AB′＝AB，B′E＝BE ∴B′C＝5－3＝2 设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x 在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2 ∴（4－x）2＝x2＋22 解得 故答案为：1.5 18. 如图所示，在周长是的平行四边形中，，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的性质，根据平行四边形的性质，得到，，进而推出垂直平分，进而得到，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵在周长是的平行四边形中，，相交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长； 故答案为： 19. 已知，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____． 【答案】2023 【解析】 【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到，当时，当时，分别根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， 即当x分别取2，3，…，2021时，y的值均为1， 综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是. 20. 如图，已知，于点E，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形性质可得AE＝8，∠ACE＝2∠DCE，在AE上截取EF＝ED，作FM⊥AC，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝11，DE＝3， ∴AE＝11﹣3＝8， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝3∠DCE， ∴∠ACE＝2∠DCE． 如图，在AE上截取EF＝ED， ∵CE⊥DE， ∴CF=CD， ∴∠DCE=∠FCE， ∴CF平分∠ACE， 作FM⊥AC于M， ∴△CMF≌△CEF， ∴AF＝5，MF＝FE=3，CM=CE， ∴AM＝=4． 设CM＝x，则（x+4）2＝x2+82， 解得x＝6， ∴CM=CE=6， ∴AB＝CD=． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握角平分线的性质和勾股定理，根据题意添加辅助线是解题关键． 三、解答题（共40分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）-11 【解析】 【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式进行运算，二次根式的乘法运算，再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式= =； 【小问2详解】 原式= = = 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 22. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2） ， 证明： 【解析】 【分析】（1）根据规律可知，第个等式：左边的被开方数是，右边根号外的系数为，被开方数为，据此写出第个等式即可； （2）根据规律可知，等式左边的被开方数为，等式的右边根号外的系数为，被开方数为，然后证明即可． 【小问1详解】 根据规律可知，第个等式是： ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，观察所给的式子，找出变化规律是解题的关键． 23. 下面是某数学兴趣小组探究特殊角在多边形计算中运用的片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 如图1，在五边形中，，，，，，，，求五边形的周长． 解：延长、相交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴，， ∴为等边三角形．…… （1）请补充完整材料中的解题过程； （2）如图2，六边形的每一个内角都为，其中，，，，求六边形的周长，并直接写出它的面积． 【答案】（1） 补充解题过程如下． ∵AB=20， ∴MA=MB=AB=20． ∵BC=40， ∴MC=MB+BC=60． ∵四边形MCDE是平行四边形，CD=70， ∴ME=CD=70，DE=MC=60． ∴． ∴五边形的周长为． （2）周长是24；面积是 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出MA，MB的长度，根据线段的和差关系，平行四边形的性质求出DE和AE的长度，再根据周长公式求解即可． （2）延长、相交于点，延长、相交于点，过点H作HG⊥AB于G，过点C作CP⊥HF于P，过点N作NM⊥DE于M．根据角的和差关系，等边三角形的判定定理和性质求出HA，HB，ND，NE的长度，∠AHB和∠DNE的度数，根据三角形内角和定理，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，三角形面积公式求出△HAB和△NDE的面积，根据平行线的判定定理，平行四边形的判定定理和性质，线段的和差关系求出EF和AF的长度，进而根据周长公式即可求出六边形ABCDEF的周长，根据线段的和差关系，三角形内角和定理，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，平行四边形面积公式求出平行四边形HCNF的面积，最后用平行四边形HCNF的面积减去△HAB和△NDE的面积即可求出六边形ABCDEF的面积． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：如下图所示，延长、相交于点，延长、相交于点，过点H作HG⊥AB于G，过点C作CP⊥HF于P，过点N作NM⊥DE于M． ∴∠HGA=∠CPH=∠NME=90°． ∵六边形ABCDEF的每一个内角都为120°， ∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=120°． ∴∠HAB=∠HBA=∠NDE=∠NED=60°． ∴△HAB和△NDE都是等边三角形，∠AHG=180°-∠HGA-∠HAB=30°，∠ENM=180°-∠NME-∠NED=30°． ∴HA=HB=AB，ND=NE=DE，∠AHB=∠DNE=60°，，． ∴∠AHB+∠BCD=180°，∠BCD+∠DNE=180°，∠HCP=180°-∠AHB-∠CPH=30°． ∴，，． ∴四边形HCNF是平行四边形． ∴FN=HC，HF=CN． ∵AB=4，DE=2， ∴HA=HB=AB=4，ND=NE=DE=2． ∴，． ∴，． ∴，． ∵BC=1，CD=8， ∴HC=HB+BC=5，CN=CD+ND=10． ∴FN=HC=5，HF=CN=10，． ∴，，． ∴六边形的周长为，． ∴S六边形ABCDEF． ∴六边形ABCDEF的周长是24，面积是． 【点睛】本题考查线段的和差关系，角的和差关系，等边三角形的判定定理和性质，平行线的判定定理，平行四边形的判定定理和性质，三角形内角和定理，含30°的直角三角形，勾股定理，周长公式，三角形面积公式，平行四边形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键． 24. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形” 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积． 探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 【答案】 应用：（1）证明：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 和是友好三角形． （2）48 探究：2或 【解析】 【分析】应用：（（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得，即可证得和是友好三角形； （2）和是“友好三角形”，即可得到是的中点，则可以求得、的面积，根据即可求解． 探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出和推出，根据三角形面积公式求出即可；②求出高，再求出△的面积，即可求出的面积． 【详解】应用：（1）略 （2）解：和是友好三角形， ，， 与是友好三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ； 探究： 解：分为两种情况：如图1所示， ． ， 沿折叠和重合， ， △与重合部分的面积等于面积的， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过作于， ，， ， 即和重合， ， 由勾股定理得：， 的面积是， 如图2所示， ． ， 沿折叠和重合， ， 与重合部分的面积等于面积的， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过作于， ，， ， ； 即的面积是2或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形性质和判定、全等三角形的判定与性质、三角形的面积的计算、勾股定理、含角的直角三角形的性质；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山九中八年级数学兴趣班测评卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 若有意义，则实数x的取值范围为（　　） A. B. C. 且 D. 且 2. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 3. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则正方形E的面积是（ ） A. 47 B. 37 C. 34 D. 13 4. 如果，，那么(　　) A. a>b B. a<b C. a=b D. 5. 如图，在平行四边形中，对角线交于点，点是的中点；若，则的长为 ( ) A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以为圆心，AC的长为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝1，AC＝2，BD是∠ABC的角平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A. 1：2 B. 3：2 C. 5： D. ：1 8. 已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ 　） A. 1＜MN＜5 B. 1＜MN≤5 C. ＜MN＜ D. ＜MN≤ 9. 如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，，，则平行四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 21cm B. 24cm C. 30cm D. 32cm 11. 已知的周长为40，，则对角线的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，，点，在线段上，且满足，点在射线上，且，则满足上述条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 二、填空题（每小题3分，共24分） 13. 如果，那么a的取值范围是_______ 14. 若为的小数部分，则的值为__________． 15. 若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形． 16. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则_______． 18. 如图所示，在周长是的平行四边形中，，相交于点O，点E在边上，且，则的周长是_______． 19. 已知，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____． 20. 如图，已知，于点E，，，，则______． 三、解答题（共40分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 观察下列等式，解答后面的问题． 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． … （1）按照此规律，第个等式是：______； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 23. 下面是某数学兴趣小组探究特殊角在多边形计算中运用的片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 如图1，在五边形中，，，，，，，，求五边形的周长． 解：延长、相交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴，， ∴为等边三角形．…… （1）请补充完整材料中的解题过程； （2）如图2，六边形的每一个内角都为，其中，，，，求六边形的周长，并直接写出它的面积． 24. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形” 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积． 探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $