精品解析：河南省驻马店市驿城区2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

九年级数学开学考试 一、选择题（共30分） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（ ） A. 60 B. 56 C. 54 D. 52 4. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 5. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. 32x+20x﹣2x2＝540 B. 32x+20x＝32×20﹣540 C. （32﹣x）（20﹣x）＝540 D. （32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540 9. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 二、填空题（共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 某学校开展“进社区美化家园”志愿服务活动，从小红、小明、小亮、小莹这四名志愿者中抽调两人参加本次志愿服务活动，恰好抽到小红和小莹的概率是____． 13. 参加足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____． 14. 如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为_________． 15. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 三、计算题 16. 解方程 （1）． （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 18. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD． (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若AD＝5，BD＝8，求四边形OCFD的面积． 20. 为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书本，十月份售出图书本． （1）求该品牌图书销量的月平均增长率； （2）该品牌图书每本成本为元，当售价为元/本时，平均每天的销售量为本．经试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出本．若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书每本的售价应为多少元？ 21. 如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． （1）当四边形为正方形时，直接写出的长； （2）若的面积等于3，求的长； （3）试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学考试 一、选择题（共30分） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断． 【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 选项D，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 3. 在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（ ） A. 60 B. 56 C. 54 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】设设黑色棋子有x枚，根据摸到白色棋子的频率稳定在0.1列出方程求解即可． 【详解】解：设黑色棋子有x枚， ∵摸到白色棋子的频率稳定在0.1， ∴， 解得, 经检验是方程的解， ∴黑色棋子有54枚， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据频率求频数，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 4. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 5. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 6. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 即， ∴， 故选：． 7. 关于的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解题的关键是证得判别式． 【详解】解：一元二次方程的根的判别式 ∵ ∴，即 所以原方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8. 如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. 32x+20x﹣2x2＝540 B. 32x+20x＝32×20﹣540 C. （32﹣x）（20﹣x）＝540 D. （32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540 【答案】C 【解析】 【分析】把道路进行平移，可得草坪面积＝长为32﹣x，宽为20﹣x的面积，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32﹣x，宽为20﹣x， ∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 9. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 10. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为， 在正方形中， 因为 , 即 ， ∵， ∴， 故答案为：. 二、填空题（共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 12. 某学校开展“进社区美化家园”志愿服务活动，从小红、小明、小亮、小莹这四名志愿者中抽调两人参加本次志愿服务活动，恰好抽到小红和小莹的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到小红和小莹的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把小红、小明、小亮、小莹四人分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，恰好抽到小红和小莹的结果有2种， ∴恰好抽到小红和小莹的概率=2÷12=， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13. 参加足球联赛的每两队之间都进行一次比赛，共要比赛45场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场场比赛，共要比赛45场，可列出方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 【详解】解：设有个队参赛， ． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，已知，，若点是线段上一动点，是的中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及最短路线问题．连接，，判定，即可得到，进而得出，当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长，依据勾股定理即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当D，M，N在同一直线上时，的最小值等于的长， 又∵中，，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过作于点，作于点，延长交于点，然后证明四边形是矩形，则，，，根据角平分线的性质得，，证明四边形是正方形，设，则，，由折叠性质可知，，根据勾股定理求出或，然后分情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于点，作于点，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点的对应点落在的角平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则，， 由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，角平分线的性质，正方形和菱形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、计算题 16. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：移项得， 配方得，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得， ∴，即， ∴或 ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得且； 【小问2详解】 解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 19. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD． (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若AD＝5，BD＝8，求四边形OCFD的面积． 【答案】（1）在面积进行；（2）四边形OCFD的面积为12． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到四边形OCFD是平行四边形，根据菱形的性质得到∠DOC=90°，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到OD=OB=BD，求得OD=4，OC=3，即可求出面积． 【详解】(1)证明：∵DF∥AC，CF∥BD， ∴四边形OCFD是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． ∴∠DOC＝90°． ∴四边形OCFD是矩形； (2)解：∵菱形ABCD两条对角线交于点O，AD＝5，BD＝8， ∴OD＝OB＝BD＝4． ∴在Rt△AOD中，OA2＋OD2＝AD2． ∴OA＝3． ∴OC=OA＝3 ∵四边形OCFD是矩形； ∴OCFD的面积为12． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 20. 为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书本，十月份售出图书本． （1）求该品牌图书销量的月平均增长率； （2）该品牌图书每本成本为元，当售价为元/本时，平均每天的销售量为本．经试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出本．若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书每本的售价应为多少元？ 【答案】（1）该品牌图书销量的月平均增长率为 （2）该品牌图书每本的定价应为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． （1）设该品牌图书销量的月平均增长率为x，根据题意得出八月份售出图书十月份售出图书，列出方程求解即可； （2）设该品牌图书每本的售价应为y元，根据总利润=单件利润数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌图书销量的月平均增长率为x， ， 解得：（舍去）， 答：该品牌图书销量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌图书每本的售价应为y元， ， 解得：（舍去）， 答：该品牌图书每本的定价应为30元． 21. 如图，已知矩形中，，．菱形的顶点H在边上，且，顶点G、E分别是边、上的动点，连结． （1）当四边形为正方形时，直接写出的长； （2）若的面积等于3，求的长； （3）试探究点G运动至什么位置时，的面积取得最小值． 【答案】（1）2 （2）2 （3）当时，的面积取得最小值 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、正方形及菱形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）当四边形为正方形时，则，可证明，由此求出的长； （2）作交的延长线于点M，可得，得，再由的面积等于3求出的长，进而求出的长； （3）当的面积取得最小值时，可推出的值最大，此时的值也最大，则点E与点B重合，求出这时的值即可． 【小问1详解】 如图1，当四边形为正方形时，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2，作，交的延长线于点M，连结， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图2，设， 由（2）得， ∴， ∴随x的增大而减小， 要使的面积最小，须使x的值最大， 在中，， ∴当取得最大值时，x的值最大， 而，此时的值最大， ∴点E与点B重合， 如图3， 此时，， ∴， ∴当时，的面积取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $