2025年江苏省无锡市厚桥中学中考数学模拟练习卷

2025年江苏省无锡市厚桥中学中考数学模拟练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的倒数是(    ) A. B. C. D. 2.若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 5.分式方程的解是(    ) A. B. C. D. 6.在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩单位：分分别是，，，，，，，，对这组数据，下列说法正确的是(    ) A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是 7.九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里，二元一次方程组是由算筹布置而成的九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排如图、图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图所表示的方程组的解为则被墨水所覆盖的图形为(    ) A. B. C. D. 8.如图，内接于，为的直径，为上一点位于下方，交于点，若，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，，是上一点，且，平分，过作交于，则(    ) A. B. C. D. 10.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论： ； ； 方程有两个相等的实数根； 抛物线与轴的另一个交点是； ，其中为任意实数； 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.央视月日报道，除夕夜春晚直播期间的观众总规模达亿，亿用科学记数法表示为______． 12.因式分解：           ． 13.如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是      ． 14.如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是          ． 15.如图，中，，，为上任一点，连结，作点关于的对称点，若，则的长为______． 16.当          时，二次函数有最小值是          ． 17. 如图，已知，，将线段向左平移若干个单位长度后，点，恰好同时落在反比例函数的图象上，则的值为          ． 辅助设问设线段向左平移了个单位长度，则          ，          ，          ，          ，可列方程：          ． 18.如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点、与轴交于点，，点在线段上，点在右侧的轴上，且，则      ；连接，则的最小值      ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算：； 化简：． 20.本小题分 解方程：； 解不等式组：． 21.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交、于点、． 求证：≌； 若，，，求四边形的周长． 22.本小题分 联合国生物多样性公约第十五次缔约方大会在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析，并将测试成绩绘制成两幅统计图． 请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： 此次调查的样本容量是______，并补全条形统计图； 抽取的样本中，测试成绩的众数是______分，中位数是______分，表示测试成绩为分的扇形圆心角的度数为______； 已知该校七、八年级共有学生人，若竞赛成绩在含分和分分视为“成绩良好”，请你估计该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 23.本小题分 端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动上午四项，下午三项由于参加活动的人数较多，每位参加活动的学生最多只能选择其中两项活动，且每项活动被选择的可能性均相同． 该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是________； 该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法，求婷婷选择的是包粽子和做香包的概率． 24.本小题分 如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． 请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使保留作图痕迹，不写作法； 在的条件下，若，则的长为______． 25.本小题分 学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品经了解，购买个种奖品和个种奖品需花费元，购买个种奖品和个种奖品需花费元． 求，两种奖品的单价； 学校需采购两种奖品共个，且种奖品的数量大于种奖品数量的倍设购买种奖品个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 26.本小题分 如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． 求证：； 若，且，求的长． 27.本小题分 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图，先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图，再把点叠在折痕线上，得到，过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． 求证：∽． 你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 对教材中的第一问写出证明过程． 你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 在图的基础上，将纸片按图所示翻折，点恰好落在直线上，得到若，则的长为______． 28.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点和点． 求抛物线的解析式； 某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”包含、两点，如图，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． 组员小聪想到了方案一：如图所示，矩形的边与抛物线相切于即只有一个公共点顶点 ______填坐标，边与心形图右边缘相切于点，点与点关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； 组员小颖提出了方案二：如图所示，矩形的边过点，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．根据乘积为的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：， 的倒数是． 故选B． 2.【答案】  【解析】解：根据题意知，且． 解得． 则的取值范围在数轴上表示为：． 故选：． 直接利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件等知识点，正确得出的取值范围是解题关键． 3.【答案】  【解析】解： ，故选项A正确； B. ，故选项B不正确； C. ，故选项C不正确； D. ，故选项D不正确． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 5.【答案】  【解析】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故选：． 解此方程即可判定． 本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键． 6.【答案】  7.【答案】  【解析】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为，根据题意得， ， 把代入得， ， 由得，， 把代入得，， ， 故选：． 设被墨水所覆盖的图形表示的数据为，根据题意列出方程组，把代入，求得的值便可． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：连接，过点作于点，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 设，则，， ，， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故选：． 连接，过点作于点，连接，因为，构造∽，求出，设，则，，则，，再利用∽，列出方程即可解决． 本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出∽是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，延长到，使，连接，延长交延长线于， ， ， ∽， ，， 又，， ， ，， ， ． 故选：． 可通过作辅助线，即延长到，使，连接，延长交延长线于，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，能够熟练掌握． 10.【答案】  【解析】解：由抛物线对称轴为直线，从而，则，故正确； 抛物线开口向下，与轴相交于正半轴，则，，而，因而，故错误； 方程从函数角度可以看作是与直线求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，故正确； 由二次函数的对称性以及抛物线与轴的一个交点，可知另一个交点坐标为，故错误； 因为时，有最大值，所以，即为任意实数，故正确． 综上，正确的有． 故选：． 根据抛物线的开口方向以及对称轴为，即可得出、之间的关系以及的正负，由此得出正确；根据抛物线与轴的交点在轴正半轴上，可知为正，结合、即可得出错误；由函数图象可知：抛物线与直线只有一个交点，从而判定正确；根据抛物线的对称性结合抛物线的对称轴为以及点的坐标，即可得出抛物线与轴的另一交点坐标，错误；当时，有最大值，，即可判断正确． 本题主要考查了二次函数的图象、一次函数图象、二次函数的图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的相关知识成为解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：亿， 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12.【答案】  【解析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：在中，当时，，当时，， ，， ，， 由旋转的性质可得，， ，即， 故答案为：． 先根据一次函数解析式得到，，则，，再由旋转的性质可得，，据此可得答案． 本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形变化旋转，掌握以上性质是解题的关键． 14.【答案】  15.【答案】  【解析】解：如图， 过点作，垂足为点， ， ， ， 中，， 由对称得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，． 故答案为：． 过点作，垂足为点，根据勾股定理和等腰三角形的性质得，利用轴对称和三角形外角的性质得，，进而得的长，利用勾股定理求得的长度． 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 16.【答案】    【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 把化成，即可求出二次函数的最小值是多少． 【解答】 解：， 当时，． 故答案为；． 17.【答案】【小题】 【小题】     18.【答案】   【解析】解：过点作轴于点，连接，则， 由条件可知， ， 对， 令， 则， 解得， ， ， ， ； 对， 令， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ≌， ， 是等边三角形， ， ， 的最小值为． 故答案为：；． 过点作轴于点，连接，求出，，得，；求出，得，，证明≌，得，，证明≌，得，是等边三角形，得，由，得的最小值为． 本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题． 19.【答案】；    【解析】原式 ； 原式 ． 先化简三角函数值与二次根式，再运算即可； 先将括号内通分，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 本题考查了二次根式的化简，特殊的三角函数值，分式的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 20.【答案】；    【解析】， ， ， ，； ， 解不等式，得：， 解不等式，得． 不等式组的解集为． 根据公式法求解即可； 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解”求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元二次方程，解不等式组，注意正确计算． 21.【答案】证明见解答；   四边形的周长为．  【解析】证明：四边形是平行四边形，对角线，交于点， ，， ， 在和中， ， ≌． 解：由得≌， ，， ， ，， ， ， 四边形的周长为． 由平行四边形的性质得，，则，而，即要根据“”证明≌； 由全等三角形的性质得，，则，而，，则，求得，所以四边形的周长为． 此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，，进而证明≌是解题的关键． 22.【答案】，补全条形统计图见详解；   ，，；   人．  【解析】人，人， 故答案为：，补全条形统计图如图所示： 这名学生成绩出现次数最多的是，因此众数是分， 将这名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是分和分，因此中位数是分， ， 故答案为：，，； 样本中“竞赛成绩在”所占得百分比乘可得： 人， 答：该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有人． 根据“分”的频数为，占调查人数的，可求出调查总人数，进而求出“分”的人数，并补全条形统计图； 根据中位数、众数的意义进行判断及扇形圆心角计算方法计算即可； 求出样本中“竞赛成绩在”所占得百分比即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量关系是正确解答的关键． 23.【答案】解：； 从七项活动中随机选择一项， 她选择的是包粽子的概率是； 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中婷婷选择的是包粽子和做香包的结果有种， 婷婷选择的是包粽子和做香包．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.【答案】点即为所求， ；     【解析】点即为所求； 延长交的延长线于点，过点作于点， ， ， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ∽， ， ，  设，则， ， ， ，  由可知，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，解得，即． 故答案为：． 由于和分别在正方形一组对边上，所以考虑先在边上作，最后利用“两直线平行，内错角相等”，易得； 延长交的延长线于点，过点作于点，根据已知边长，易求出正方形的边长，根据正方形对边平行，利用平行的性质易证∽，即可求出的长；设，则，求出的长，再根据“等角对等边”证得，再证四边形为矩形，得出直角三角形两直角边长，最后根据勾股定理列方程即可求出的长． 本题考查了尺规作图结合平行线的性质作一个角等于已知角，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 25.【答案】解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元． 则有 解得． 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元． 设花费元，购买种奖品个． ， ． ． ， 随的增大而增大． 由题知为正整数， 取最小值时，有最小值，的最小值为元． ． 答：购买种奖品个、种奖品个时花费最少，最少为元．  【解析】设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元．根据题意，列出方程组求解即可； 根据各数量之间的关系，先求出的取值范围，在列出关于的一次函数关系式．根据一次函数的增减性即可求解． 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的性质． 26.【答案】连接， ， ， ， 是的半径，切于， ， ， ， ， ；     【解析】连接， ， ， ， 是的半径，切于， ， ， ， ， ； ，为所对圆周角， ， ． 连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 连接，根据等腰三角形性质和外角的性质得出，根据切线的性质得出，即可证得，根据平行线的性质得出，即可证得； 连接，根据圆周角定理得出，求出，，，，利用写出比例，列出方程即可求解． 本题考查了圆切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 27.【答案】四边形为矩形， ． ． 点、、共线， ． ． ． ， ∽．   ∽． 证明：作的斜边上的中线，如图  所示，则． 由题意得， ． 为等边三角形， ， ， ， 由翻折可知．， ，， ， ， 又， ∽．   ．  【解析】证明：四边形为矩形， ． ． 点、、共线， ． ． ． ， ∽． ∽． 证明：作的斜边上的中线，如图所示，则． 由题意得， ． 为等边三角形， ， ， ， 由翻折可知．， ，， ， ， 又， ∽． 解：， ， 又，， ≌， ， ， 由折叠可得， ， ，， ， 故答案为：． 由余角的性质可得，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 作的斜边上的中线，可证为等边三角形，可得，可求，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 由“”可证≌，可得，由折叠的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 28.【答案】；  ，；，见解析．  【解析】解：将点和代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线的解析式为； ， 顶点的坐标为， 抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点和点， 联立， 解得：或舍， ， 分别过点、作轴、轴的平行线相交于点， 当时，，则， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， ，， 矩形的面积， 故答案为：； 如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则， 由可知，， ， 由题意可知，，则， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 边与心形图的左、右边缘各相切于一点，即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求， ， 矩形的面积为， ， 方案二的矩形面积更小， 故答案为：． 将点和代入抛物线，利用待定系数法求解即可； 将抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标；连接抛物线和直线，得到，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，根据轴对称的性质，得到，从而的得到，即可求出矩形的面积； 作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，求出，再根据平行设直线的解析式为，根据边与心形图的左、右边缘各相切于一点，利用，求出进而得出，求出，从而得到，同理可求，即可求出矩形的面积，再比较大小即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数的图象和性质以及一次函数的平移，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握二次函数的性质是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$