精品解析：福建省莆田第一中学2025-2026学年高三上学期月考（一）返校考数学试卷

莆田第一中学2025-2026学年度上学期月考（一）考试试卷 高三 数学 命题人：林新潮 审核人：林敏 校对：林莹莹 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算化简再根据复数的几何意义可得该复数对应的点，由此可得答案． 【详解】因为，所以在复平面上对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，明确集合，再根据交集的概念求. 【详解】由. 所以集合， 所以. 故选：A 3. 的展开式中常数项为 A. -240 B. -160 C. 240 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】求得二项式的通项，令，代入即可求解展开式的常数项，即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式的通项为， 当时，，即展开式的常数项为，故选C. 【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 ， 所以， 故选：B. 5. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量法，即可建立空间直角坐标系求解. 【详解】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 则， 所以，， 故点到直线的距离为, 故选：A 6. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式进行判定. 【详解】显然当时，，即成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，不一定； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 8. 已知，（b＞1），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断AB，利用对数的运算法则及对数函数的性质判断CD，可得解. 【详解】若，则，∴，，，故A错． 若，则，∴，，故B错． 对于C，设，，则 则由可得，所以， 而，，所以成立， 所以，故C对， 对于D，由C，， 则，故D错， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 10. （多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式与全概率公式逐一判断即可. 【详解】解析因为甲罐中有个红球、个黑球，所以，故选项A正确； 因为，所以，所以选项B不正确； 因为，所以， 由全概率公式可得：，所以选项C正确； 因为，所以选项D正确； 故选：ACD. 11. 定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 记是不大于的最大整数，则函数满足题设条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】两式做差，得，赋值法即可判断ABC；设，当时符合题意，即可判断D． 【详解】两式做差，即得，令，则，故A正确； ，则， 由于，则， 所以，故，所以B正确； ，故C错误； 若满足，那么当时，，满足条件， 注意到：，使得成立，则D正确， 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 13. 若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为______ 【答案】5.1 【解析】 【分析】根据最小二乘法的原理，通过求随机误差平方和在为何值时取得最小值，即可得参数的最小二乘估计值. 【详解】依题意，两个变量满足一元线性回归模型，随机误差， 则随机误差平方和 ， 易知，随机误差平方和是一个一元二次函数， 当时，随机误差平方和取得最小值， 因此参数的最小二乘估计值为5.1. 故答案为：5.1. 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解 【详解】因为轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，所以圆锥的母线长与底面圆的直径均为. 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图（1），因为小球的半径为1，由图（2），可得圆台的上、下底面圆的半径分别为，，母线长为， 所以圆台的侧面积为. 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆， 其半径为，其面积为. 综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知等比数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）当时，，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及数列前项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解； （2）根据（1）的结论及数列的递推公式即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为,则 ，由，得，所以， 有，得， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得 当时，得． 当时， 有，得时， 取时，，此式也满足， 故数列的通项公式为． 16. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【小问1详解】 由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点，证明：//平面； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取中点，连接，.如图： 因为为中点，所以且. 又且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，可证线面平行. （2）建立空间直角坐标系，根据直线与底面所成角的正弦值最大，确定点位置，再求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以且. 由，，，所以四边形为正方形， 所以，. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，. 以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以平面， 因为平面，所以. 由，，可得. 由余弦定理，, 所以. 所以，，. 所以，. 设， . 底面的一个法向量为. 设直线与底面所成的角为， 则. 当时，； 当时，. 所以当时，取得最大值. 此时，. 所以到平面的距离为， 又， 所以此时三棱锥的体积为. 18. 设函数，其中a，b为参数． （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若的对称中心为整点(横、纵坐标均为整数)，函数的一个极值点为，且有且仅有两个零点，求； （3）在（2）的条件下，直线l与曲线依次交于点A，B，C，且 ，求直线l的方程． 【答案】（1） ， 故， 所以关于对称，即曲线是中心对称图形； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）计算出，所以关于对称，即曲线是中心对称图形； （2），三次函数在其中一个极值点处函数值为0，设另一个极值点为，分和两种情况，结合对称中心为整点，得到； （3），设直线l方程为，联立得，为的两个根，由韦达定理得两根之和，两根之积，其中，从而得到方程，求出，所以直线l的方程为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的一个极值点为且有且仅有两个零点， 故，其中，故， 三次函数在其中一个极值点处函数值为0，设另一个极值点为， 若，则，解得， 所以，由（1）知，关于对称， 对称中心不为整点，不合要求，舍去； 若，则为的两个根， 由韦达定理得，且， 即，又， 所以，解得或0， 当时，，， 由（1）知，关于对称，满足要求， 且经检验，此时1为极大值点，满足要求； 当时，，， 由（1）知，关于对称，不满足要求； 综上，； 【小问3详解】 由（1）知，关于对称， 直线l与曲线依次交于点A，B，C，且 ， 故，直线l的斜率显然存在，设直线l方程为， 即，联立得， 设， 即， 故，故， 故， 所以为的两个根， 由韦达定理得，， ，故， 即， 即，即，解得， 所以直线l的方程为. 19. 为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升． （1）经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数） （2）在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数） ①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：； ②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下： 大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 升数 17 20 10 2 1 0 若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？ 参考数据： （Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为， （Ⅱ），，，，， 【答案】（1）一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786 （2）①因为，， 所以，， ，， ， ， ； ②改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8% 【解析】 【分析】（1）求得每个大肠杆菌的存活率为，设一升水中大肠杆菌个数为，则，利用二项分布的概率公式计算； （2）①因为，，利用泊松分布的定义计算可得结论；②利用条件计算可得，令，取对数后求导求得最大值即可. 【小问1详解】 由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为， 设一升水中大肠杆菌个数为，则，， 故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786； 【小问2详解】 ①略 ②因为… 则出现上述情况的概率为 ， 令，取对数得， 令，则， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 因为，所以， 则， 故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%. 【点睛】关键点点睛：弄清题意，对新定义的理解是关键，需有较强的理解能力与分析问题解决问题的能力，求的最大值时先取对数后求导，从而求得最大值，有一定的技巧性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第一中学2025-2026学年度上学期月考（一）考试试卷 高三 数学 命题人：林新潮 审核人：林敏 校对：林莹莹 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中常数项为 A. -240 B. -160 C. 240 D. 160 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，（b＞1），则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 10. （多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 记是不大于的最大整数，则函数满足题设条件 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______. 13. 若变量和的4对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计值为______ 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知等比数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）当时，，求数列的通项公式． 16. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 17. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）若点为线段的中点，证明：//平面； （2）若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 18. 设函数，其中a，b为参数． （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若的对称中心为整点(横、纵坐标均为整数)，函数的一个极值点为，且有且仅有两个零点，求； （3）在（2）的条件下，直线l与曲线依次交于点A，B，C，且 ，求直线l的方程． 19. 为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升． （1）经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数） （2）在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数） ①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：； ②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下： 大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 升数 17 20 10 2 1 0 若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？ 参考数据： （Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为， （Ⅱ），，，，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $