精品解析：山西省吕梁市交口县部分学校2023-2024学年下学期期末七年级数学试卷

2023~2024学年第二学期七年级期末学业诊断数学 第I卷选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 要调查某校学生每天完成数学作业的情况，下列选项调查对象中最合适的是（ ） A. 选取七年级一个班级的学生 B. 在该校各年级中随机选取30名男生 C. 在该校各年级中随机选取30名女生 D. 在该校各年级中随机选取30名学生 3. 将点向右平移5个单位得到点，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列调查中，最适宜运用全面调查方式的是（ ） A. 调查5月份生产的青花汾酒的质量情况 B. 调查城际特快次旅客携带危险品情况 C. 调查全省人们对“吕梁精神”知晓率 D. 调查某型号华为手机电池的使用寿命 5. 利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ） A. 要消去，可以将① B. 要消去，可以将①② C 要消去，可以将①② D. 要消去，可以将①② 6. 不等式组的非负整数解是（ ） A. 0，1，2，3 B. 1，2，3 C. D. 7. 如图1所示是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌，给该标志牌的端点标上字母如图2所示，若点在一条直线上，，，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 校运会前夕，校医对某班所有参加比赛的运动员进行了体检，这些运动员的身高（精确到）数据的频数分布直方图如图所示，据图可知下列说法正确的是（ ） A. 参加比赛运动员人数为18人 B. 参加比赛运动员身高最高段有8人 C. 参加比赛运动员人数最多段有2人 D. 参加比赛运动员身高最高段有2人 9. 我国古代数学名著《九章算术》中有一题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”其意思为：今有人合伙买牛，每家共出钱，还差钱；每家共出钱，又多了钱．问家数、牛价各是多少？若设共有户人家共同买牛，牛的价格为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 某水果超市用每千克6元的价格购进1000kg苹果，在运输和销售过程中质量要损失，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这批苹果每千克的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 8元 第II卷非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 立方根是___． 12. 请写出一个二元一次方程组___________，使它的解是． 13. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为___________． 14. 某笔记本电脑专卖店，销售的一种笔记本电脑进价为6000元，标价为8100元．店庆期间，专卖店为了增加销量，推出了毕业生凭准考证可享受打折优惠的促销活动，但是要保证利润率不低于，则这种笔记本电脑至多可打___________折时销售最优惠． 15. 项目学习活动中，同学们用彩色卡纸做圆柱体盒子，已知做1个盒子需要个侧面和2个底面；用1张彩色卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面．若要用42张彩色卡纸做这种盒子，准备把这些彩色卡纸分成两部分，一部分只做侧面，另一部分只做底面，做成的侧面和底面正好配套，则应该用___________张彩色卡纸做侧面． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程组 （2）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 17. 为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共600株，已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株，求种植A，B两种苗木各多少株． 18. 端午节，又称端阳节、龙舟节等，是汉族的传统节日，是我国首个入选世界非遗的节日．端午文化在世界上影响广泛，世界上一些国家和地区也有庆贺端午的活动，2024年的端午节是6月10日．节日来临之际，某校准备开展“端午文化”宣传活动．为了解学生最喜欢以下哪种宣传方式：A．讲解，B．朗诵，C．知识问答，D．宣传画．学校对七年级所有学生进行了调查问卷，每人限选一项，收回的问卷全都有效，并制作如下统计图： （1）求该校七年级学生的总人数； （2）在扇形统计图中，的值为___________，选项圆心角的度数为___________； （3）若该校共有1400名学生，根据统计结果，请你估计该校学生最喜欢“知识问答”宣传方式的共有多少人？ 19. 如图，已知正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度． （1）请在这个正方形网格中，建立一个平面直角坐标系，描出点，，，．画出四边形； （2）直线上的任意一点的纵坐标是___________； （3）若将四边形向左平移三个单位，再向下平移两个单位，则点的对应点的坐标是___________； （4）求四边形的面积是___________平方单位。 20. 下表是2024年山西省某市初中毕业升学体育考试男子跳绳评分标准（满分15分） 跳绳（次/分钟） 170 165 160 155 150 145 140 得分（分） 15 14 13 12 跳绳（次/分钟） 135 130 125 120 115 110 105 100 得分（分） 11 10 9 8 某校七年级同学们积极开展跳绳锻炼，一次测试后，体育老师统计了全校七年级男生每分钟跳绳的次数，列出了频数分布表，并画出了频数分布直方图（均不完整），如图： 每分钟次数 频数 2 4 18 13 8 4 （1）在频数分布表中，的值为___________，全校七年级男生共有___________人； （2）补全频数分布直方图； （3）上表中组距是___________次，组数是___________组； （4）若规定跳绳成绩不低于14分为优秀，求这次测试全校七年级男生跳绳优秀率是多少？ 21. 阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） （1）已知二元一次方程组求和的值； （2）解方程组： （3）已知方程组解是请直接写出方程组：的解． 22. 学科实践 驱动任务：探索购买笔记本的最佳方案 调查发现：某小组的同学计划在某一文具店购买甲、乙两种笔记本，细心的组长对在这一文具店按同一销售价购买了笔记本的两位同学进行了调查，获取了以下信息： （1）小文购买3个甲种笔记本和5个乙种笔记本，共花费85元； （2）小宇购买4个甲种笔记本和6个乙种笔记本，共花费108元； （3）购买这两种笔记本满200元就可享受打折优惠． 问题解决： （1）求甲、乙两种笔记本的售价每本各是多少元？ （2）班长和另一位同学计划购买6个甲种笔记本和若干乙种笔记本，那么他们至少买多少个乙种笔记本才能享受打折优惠？ 23. 综合与实践 已知直线，将一个直角三角尺和这两条平行线放置在同一平面内，两直角边分别和直线相交于点． （1）如图1，当点在直线之间时，请直接写出和之间的数量关系； （2）如图2，当点在直线上方时，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）条件下，作平分交于点，若，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期七年级期末学业诊断数学 第I卷选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 在实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 2. 要调查某校学生每天完成数学作业的情况，下列选项调查对象中最合适的是（ ） A. 选取七年级一个班级的学生 B. 在该校各年级中随机选取30名男生 C. 在该校各年级中随机选取30名女生 D. 在该校各年级中随机选取30名学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性：抽样调查时，应根据总体的特点，恰当地选取样本，使所选取的样本能客观地反映总体，即抽样要具有代表性、广泛性、随机性，熟练掌握抽样调查的可靠性是解题关键．根据抽样调查时，应根据总体的特点，恰当地选取样本，使所选取的样本能客观地反映总体，即抽样要具有代表性、广泛性、随机性，由此即可得． 【详解】解：A、选取七年级一个班级的学生，不具有广泛性，则此项不合适，不符合题意； B、在该校各年级中随机选取30名男生，不包含女生，不具有广泛性，则此项不合适，不符合题意； C、在该校各年级中随机选取30名女生，不包含男生，不具有广泛性，则此项不合适，不符合题意； D、在该校各年级中随机选取30名学生，具有代表性、广泛性、随机性，则此项合适，符合题意； 故选：D． 3. 将点向右平移5个单位得到点，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的平移，点的象限判断，由平移得，根据象限符号特征，即可求解． 【详解】解：由平移得，即， 在第四象限， 故选：D． 4. 下列调查中，最适宜运用全面调查方式的是（ ） A. 调查5月份生产的青花汾酒的质量情况 B. 调查城际特快次旅客携带危险品情况 C. 调查全省人们对“吕梁精神”知晓率 D. 调查某型号华为手机电池的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的适用情况， 全面调查是对全体调查对象进行调查，适用于要求情况真实、准确性高，不允许有误差的情况；抽样调查是抽取一部分对象进行调查，然后对总体的数量特征作出估计和推断，适用于调查具有破坏性、范围过大、时间要求紧等情况． 通过对各个选项的分析，判断出不同调查内容适合的调查方式． 【详解】解：调查月份生产的青花汾酒的质量情况，适宜运用抽样调查，则A不符合题意； 调查城际特快次旅客携带危险品情况，适宜运用全面调查，则B符合题意； 调查全省人们对“吕梁精神”知晓率，适宜运用抽样调查，则C不符合题意； 调查某型号华为手机电池的使用寿命适宜运用抽样调查，则D不符合题意； 故选：B． 5. 利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ） A 要消去，可以将① B. 要消去，可以将①② C. 要消去，可以将①② D. 要消去，可以将①② 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．利用加减消元法判断即可． 【详解】解：利用加减消元法解方程组， 要消元y，可以将①②； 要消去x，可以将①②， 故选C． 6. 不等式组的非负整数解是（ ） A. 0，1，2，3 B. 1，2，3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据解不等式组的一般步骤解不等式组，求出不等式组的解集，即可求出它的非负整数解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的非负整数解是：0，1，2，3， 故选：A 7. 如图1所示是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌，给该标志牌的端点标上字母如图2所示，若点在一条直线上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质即可求解，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 8. 校运会前夕，校医对某班所有参加比赛的运动员进行了体检，这些运动员的身高（精确到）数据的频数分布直方图如图所示，据图可知下列说法正确的是（ ） A. 参加比赛运动员人数为18人 B. 参加比赛运动员身高最高段有8人 C. 参加比赛运动员人数最多段有2人 D. 参加比赛运动员身高最高段有2人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 从频数分布直方图中获取信息分析即可． 【详解】解：A、（人），故本选项不符合题意； B、参加比赛运动员身高最高段有2人，故本选项不符合题意； C、参加比赛运动员人数最多段有8人，故本选项不符合题意； D、参加比赛运动员身高最高段有2人，故本选项符合题意， 故选：D． 9. 我国古代数学名著《九章算术》中有一题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”其意思为：今有人合伙买牛，每家共出钱，还差钱；每家共出钱，又多了钱．问家数、牛价各是多少？若设共有户人家共同买牛，牛的价格为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设共有户人家，每头牛的价钱为钱，根据“每家共出钱，还差钱；每家共出钱，又多了钱．”列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设共有户人家，每头牛的价钱为钱， ∵每家共出钱，还差钱；每家共出钱，又多了钱， ∴可列方程组为． 故选：B． 10. 某水果超市用每千克6元的价格购进1000kg苹果，在运输和销售过程中质量要损失，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这批苹果每千克的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. 1元 B. 2元 C. 3元 D. 8元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，重点考查了运用一元一次不等式解决实际利润问题的能力，体现了数学在实际商业场景中的应用． 首先计算出苹果的总进价，然后根据利润要求算出总销售额，再考虑质量损失算出实际可销售的苹果重量，最后求出每千克苹果的售价，进而得出在进价基础上应提高的金额． 【详解】解：设这批苹果每千克的售价在进价的基础上应提高元， 根据题意得：， 解得：， 这批苹果每千克的售价在进价的基础上应至少提高元． 故选：． 第II卷非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 立方根是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键． 如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：立方根是， 故答案为：． 12. 请写出一个二元一次方程组___________，使它的解是． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，根据二元一次方程组的解的定义写出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据已知点A、B的坐标建立平面直角坐标系，进而确定点C的坐标． 【详解】解：∵叶片尖端两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示∶ ∴叶柄底部点C的坐标为． 故答案为∶． 14. 某笔记本电脑专卖店，销售的一种笔记本电脑进价为6000元，标价为8100元．店庆期间，专卖店为了增加销量，推出了毕业生凭准考证可享受打折优惠的促销活动，但是要保证利润率不低于，则这种笔记本电脑至多可打___________折时销售最优惠． 【答案】，，8均可 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的应用，设这种笔记本电脑可以打x折，根据利润率不低于，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设这种笔记本电脑可以打x折，根据题意得： ， 解得：， ∴这种笔记本电脑至多可打折时销售最优惠． 故答案为：（或均可）． 15. 项目学习活动中，同学们用彩色卡纸做圆柱体盒子，已知做1个盒子需要个侧面和2个底面；用1张彩色卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面．若要用42张彩色卡纸做这种盒子，准备把这些彩色卡纸分成两部分，一部分只做侧面，另一部分只做底面，做成的侧面和底面正好配套，则应该用___________张彩色卡纸做侧面． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用张彩色卡纸做侧面，用张彩色卡纸做底面，列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张彩色卡纸做侧面，用张彩色卡纸做底面，由题意得 ， 解得， 用张彩色卡纸做侧面， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程组 （2）解不等式：，并把解集表示数轴上． 【答案】 （1）； （2），见解析． 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集． （1）去分母，去括号，用加减消元法解方程组即可； （2）根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤，解不等式，在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：原方程组可化为． 由，得， 解得， 把代入，得 解得， ∴这个方程组的解是． （2）解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把的系数化为，得， ∴不等式的解集为， 不等式解集在数轴上表示为： 17. 为落实2023年10月15日吕梁市人民政府办公室《关于印发吕梁市贯彻新发展理念全面提升城镇园林绿化水平实施方案》的通知，某小区积极进行小区绿化，计划种植A，B两种苗木共600株，已知种植A种苗木的数量比种植B种苗木的数量的一半多60株，求种植A，B两种苗木各多少株． 【答案】A种240株，B种360株 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设种植种苗木有株，种植种苗木有株，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设种植种苗木有株，种植种苗木有株． 根据题意，得 解，得 答：种植A种苗木有240株，种植B种苗木有360株． 18. 端午节，又称端阳节、龙舟节等，是汉族的传统节日，是我国首个入选世界非遗的节日．端午文化在世界上影响广泛，世界上一些国家和地区也有庆贺端午的活动，2024年的端午节是6月10日．节日来临之际，某校准备开展“端午文化”宣传活动．为了解学生最喜欢以下哪种宣传方式：A．讲解，B．朗诵，C．知识问答，D．宣传画．学校对七年级所有学生进行了调查问卷，每人限选一项，收回的问卷全都有效，并制作如下统计图： （1）求该校七年级学生的总人数； （2）在扇形统计图中，的值为___________，选项圆心角的度数为___________； （3）若该校共有1400名学生，根据统计结果，请你估计该校学生最喜欢“知识问答”宣传方式的共有多少人？ 【答案】（1）400人 （2）； （3）322人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）用人数除以所占的比例，求出调查的人数； （2）根据扇形图，结合占比和为，求出C占比，360度乘以人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 根据的人数和占比，可知七年级学生总人数为（人）， 答：该校七年级学生的总人数400人． 【小问2详解】 因为，所以， ， 答：值为，选项圆心角的度数为． 【小问3详解】 （人）， 答：该校学生最喜欢“知识问答”宣传方式的共有322人． 19. 如图，已知正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度． （1）请在这个正方形网格中，建立一个平面直角坐标系，描出点，，，．画出四边形； （2）直线上的任意一点的纵坐标是___________； （3）若将四边形向左平移三个单位，再向下平移两个单位，则点的对应点的坐标是___________； （4）求四边形的面积是___________平方单位。 【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中分别描出点，，，并顺次连接，即可得到四边形； （2）根据点、的纵坐标均为，可知轴，所以直线上的点的纵坐标均为； （3）根据平移的方向和距离求出点的坐标即可； （4）把四边形补充成一个的矩形，利用割补法求出四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，在网格中建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系中分别描出点，，，并顺次连接， 得到四边形即为所求； 【小问2详解】 解：点、的纵坐标均为， 轴， 直线上的任意一点的纵坐标是， 故答案：； 【小问3详解】 解：点的坐标是， 把点向左平移三个单位，得到的横坐标是，向下平移两个单位，得到的纵坐标是， 点的坐标是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如下图所示，把四边形补充成一个的矩形， 则四边形的面积为：． 故答案为：． 20. 下表是2024年山西省某市初中毕业升学体育考试男子跳绳评分标准（满分15分） 跳绳（次/分钟） 170 165 160 155 150 145 140 得分（分） 15 14 13 12 跳绳（次/分钟） 135 130 125 120 115 110 105 100 得分（分） 11 10 9 8 某校七年级同学们积极开展跳绳锻炼，一次测试后，体育老师统计了全校七年级男生每分钟跳绳的次数，列出了频数分布表，并画出了频数分布直方图（均不完整），如图： 每分钟次数 频数 2 4 18 13 8 4 （1）在频数分布表中，的值为___________，全校七年级男生共有___________人； （2）补全频数分布直方图； （3）上表中组距是___________次，组数是___________组； （4）若规定跳绳成绩不低于14分为优秀，求这次测试全校七年级男生跳绳的优秀率是多少？ 【答案】（1）1 ，50； （2）图见解析； （3）15，7； （4）26%． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，补全频数分布直方图，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据频数分布直方图可得，把各组频数相加可得全校七年级男生人数； （2）根据频数分布表中“”的频数为8，即可补全频数分布直方图； （3）根据频数分布表中解答即可； （4）用后三组的频数和除以全班人数可得到全班同学跳绳的优秀率． 【小问1详解】 解：由题意可知，在频数分布表中，的值为， 全校七年级男生共有：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：频数分布表中，的频数为，补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：根据表格可知，组距为次，组数为组， 故答案：； 【小问4详解】 解：跳绳成绩不低于分为优秀，即跳绳次数不低于次/分钟， 跳绳次数不低于次的人数为：（人）， ， ∴这次测试全校七年级男生跳绳的优秀率是． 21. 阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） （1）已知二元一次方程组求和的值； （2）解方程组： （3）已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【小问1详解】 解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； 【小问2详解】 解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； 【小问3详解】 解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 22. 学科实践 驱动任务：探索购买笔记本的最佳方案 调查发现：某小组的同学计划在某一文具店购买甲、乙两种笔记本，细心的组长对在这一文具店按同一销售价购买了笔记本的两位同学进行了调查，获取了以下信息： （1）小文购买3个甲种笔记本和5个乙种笔记本，共花费85元； （2）小宇购买4个甲种笔记本和6个乙种笔记本，共花费108元； （3）购买这两种笔记本满200元就可享受打折优惠． 问题解决： （1）求甲、乙两种笔记本的售价每本各是多少元？ （2）班长和另一位同学计划购买6个甲种笔记本和若干乙种笔记本，那么他们至少买多少个乙种笔记本才能享受打折优惠？ 【答案】（1）甲种15元/本，乙种8元/本 （2）14个 【解析】 【分析】本题涉及到二元一次方程组的应用以及不等式的应用． （1）通过设未知数，根据两位同学的购买信息列出方程组求解甲、乙笔记本的单价； （2）根据第一问求出的单价，设购买乙种笔记本的数量，根据满 200 元享受优惠列出不等式求解． 【详解】解：（1）设甲种笔记本的售价为元/本，乙种笔记本的售价为元/本． 根据题意，得 解得 甲种笔记本的售价为15元/本，乙种笔记本的售价为8元/本． 解：（2）班长和另一位同学购买个乙种笔记本才能享受打折优惠． 根据题意，得． 解，得． 为整数， 的最小值为14． 班长和另一位同学至少购买14个乙种笔记本才能享受打折优惠． 23. 综合与实践 已知直线，将一个直角三角尺和这两条平行线放置在同一平面内，两直角边分别和直线相交于点． （1）如图1，当点在直线之间时，请直接写出和之间的数量关系； （2）如图2，当点在直线上方时，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，若，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，直角三角形的锐角互余，三角形内角和定理等；能熟练利用平行线的判定及性质及三角形内角和定理进行求解是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； （2）由平行线的性质得，由直角三角形的锐角互余及直角的定义得，，即可求证； （3）结合角平分线，由三角形内角和定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：过作， ， ， ， ， ， 故； 【小问2详解】 证明：如图，与直线交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得：， ， 平分， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$