精品解析：广西壮族自治区防城港市东兴市2023-2024学年下学期八年级期中考试数学试题

2024年春季学期八年级期中教学质量监测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回． 一、仔细选一选（每小题3分，共36分．） 1. x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列二次根式，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. ﹣ 4. 在中，斜边，则的值为（    ） A. B. C. D. 无法计算 5. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 每一条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A 7 B. C. D. 无法确定 7. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（　　）． A B. C. 或 D. 无法确定 8. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 9. 等边三角形边长为2，则该三角形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等四边形 11. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12. 已知，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 计算： +×＝________. 14. 已知平行四边形ABCD中，∠B＝70°，则∠A＝_____，∠D＝_____． 15. 在中，E是斜边的中点，若，则_______． 16. 如图，数轴上点表示的实数是________． 17. 对于两个实数a、b，定义运算@如下：a@b=，例如3@4=．那么15@x2=4，则x等于______． 18. 如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形． 三、解答题（本大题共7小题，满分共66分，解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）9+5﹣3； （2）（+）（﹣）﹣（+3）2 20. 已知：知图，是对角线所在直线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 22. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 23. 先化简，在求值：，其中，． 24. 已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． （1）求证：； （2）当a为何值时，四边形是正方形？ 25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当t＝4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形？说明理由； （2）当PQ＝17时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季学期八年级期中教学质量监测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回． 一、仔细选一选（每小题3分，共36分．） 1. x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案. 【详解】A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误； B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误； C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误； D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的除法和合并同类二次根式的法则对各个选项进行计算，判断即可. 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误 故选C. 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则是解题的关键. 3. 下列二次根式，不能与合并的是（　　） A. B. C. D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】把各项化简后，根据同类二次根式的定义判断即可. 【详解】A. =，故不能与合并； B. ，故能与合并； C. ，故能与合并； D. ﹣，故能与合并； 故选A. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式. 4. 在中，斜边，则的值为（    ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键． 根据勾股定理可知，进而可知． 【详解】解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 每一条对角线平分一组对角 C. 对角线相等 D. 对边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐一排除即可，掌握正方形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、正方形和菱形的对角线都互相平分，原选项不符合题意； B、正方形每一条对角线平分一组对角，菱形的每一条对角线平分一组对角，原选项不符合题意； C、正方形对角线相等，菱形的对角线不一定相等，原选项符合题意； D、正方形对边相等，菱形的对边相等，原选项不符合题意； 故选：C． 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 7. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（　　）． A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题. 【详解】解：当3为斜边时, 32=22+x2,解得：x=, 当x为斜边时, x2=32+22, 解得：x=, ∴x为或, 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,分类讨论是解题关键. 8. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵AE平分∠BAD交BC边于点E， ∴∠BAE=∠EAD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5cm， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3cm， ∴EC=BC-BE=5-3=2cm． 故选B． 9. 等边三角形边长为2，则该三角形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各边长相等的性质，根据勾股定理求出的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在等边中，作，如图所示： ∵等边三角形三线合一， ∴为的中点， ∴， 中，，， ∴， ∴等边的面积为． 故选：B． 10. 若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形必定是（ ） A. 菱形 B. 对角线相互垂直的四边形 C. 正方形 D. 对角线相等的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，得到答案． 【详解】解：如图，是四边形各边的中点， ∵四边形为矩形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形的对角线互相垂直， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 11. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出BF的长度． 先证明，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用的面积减去的面积，即可得到答案． 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：C． 12. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系：，先代值，再开平方． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题考查了已知代数式与所求代数式关系的灵活运用，熟练掌握完全平方公式和开平方运算，开平方运算时，一般要取“”． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 计算： +×＝________. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】解：原式＝2+ ＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 14. 已知平行四边形ABCD中，∠B＝70°，则∠A＝_____，∠D＝_____． 【答案】 ①. 110° ②. 70° 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD中，∠B＝70°，根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝70°，∠A＝180°−∠B＝110°． 故答案为110°，70°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 15. 在中，E是斜边的中点，若，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答． 【详解】解：在中，E是斜边的中点，若， ∴． 故答案为：5． 16. 如图，数轴上点表示的实数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 17. 对于两个实数a、b，定义运算@如下：a@b=，例如3@4=．那么15@x2=4，则x等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先结合新定义运算形式得到，，再将，的具体值代入新定义运算公式列出方程求解即得． 【详解】解：∵15@ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 经检验是所列方程的根， 故答案为：． 【点睛】本题是新定义题型，考查了二次根式的双重非负性，掌握结论，正确理解新定义运算律的计算方法是解题关键． 18. 如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则 详解】解：如图,连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中,，AC=4，BC=3 ∴ (勾股定理) 若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB． ∵ ∴ ∴在Rt△BOC中,根据勾股定理得， ∴ 故答案是：． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法． 三、解答题（本大题共7小题，满分共66分，解答必须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）9+5﹣3； （2）（+）（﹣）﹣（+3）2 【答案】（1）7；（2）﹣19﹣6 【解析】 【分析】（1）首先把每一个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并即可. （2）利用平方差公式和完全平方公式计算. 【详解】解：（1）原式＝9+10﹣12＝7； （2）原式＝7﹣5﹣（3+6+18） ＝2﹣21﹣6 ＝﹣19﹣6． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中，如果能结合题目的特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径往往能事半功倍. 20. 已知：知图，是的对角线所在直线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，最后证明，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接，交于点O． 四边形是平行四边形， ． 又， ，即， 四边形是平行四边形． 21. 如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里．它们离开港口小时后相距海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间，分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 22. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小． 【答案】（1）证明见解析（2）40°. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证. （2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解. 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB//CD. 又∵BE=AB， ∴BE=CD，BE//CD. ∴四边形BECD是平行四边形. ∴BD=EC. （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD//CE， ∴∠ABO=∠E=50°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC丄BD ∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°. 23. 先化简，在求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【详解】解：化简得 = 把 ，代入上式 =. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序. 24. 已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． （1）求证：； （2）当a为何值时，四边形是正方形？ 【答案】（1）证明见解析； （2）当时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，，进而可得，再利用（1）的结论可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，进而可得四边形是菱形，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∵点是的中点， ， ∵分别是线段的中点， ，， ， ∴四边形是菱形， ， ∴四边形是正方形． 25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当t＝4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形？说明理由； （2）当PQ＝17时，求t的值． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据题意可计算出当t＝4.8秒时，PD与CQ的长度，从而结合平行四边形的判定定理证明即可； （2）先计算出t的范围，然后分两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】解：（1）当t＝4.8秒时，AP=2×4.8=9.6cm，CQ=3×4.8=14.4cm， ∴PD=AD-AP=24-9.6=14.4cm， ∴PD=CQ， 又∵AD∥BC，P、Q分别在AD与BC上， ∴PD∥CQ， ∴四边形PQCD是平行四边形； （2）∵P的总运动时间为24÷2=12，Q的总运动时间为26÷3=， ∴由题意可得：t的范围为：， ①如图1，过A作AE∥PQ，交BC于E点， ∵AE∥PQ， ∴四边形AEQP为平行四边形， ∴AP=EQ=2t， ∴BE=BC-CQ=EQ=26-5t， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： ， 解得：， 即：26-5t=15， ∴； ②如图2，过B作BE∥PQ，交AD于E点， ∵PE∥BQ， ∴四边形EBQP为平行四边形， ∴BQ=PE=26-3t，AP=2t，BE=PQ=17， ∴AE=AP-PE=5t-26， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： ， 解得：， 即：5t-26=15， ∴； 综上，当PQ＝17时，t的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理及动点运动问题，本题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$