湖南省长沙市湘军高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

长沙市湘军高级中学2024年下学期高二入学检测 时量：120分钟 满分150 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数（ ） A. B. C. D. i 3. 已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值是8 B. 函数的最小值是8 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 4. 在中，点D是AB的中点，.设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角与角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题： ①；②函数图象的一条对称轴为； ③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根； 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分） 9. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 该班数学成绩的极差大于40 B. 该班数学成绩不低于115分的频率为0.15 C. 该班数学成绩在内的学生比在外的学生少 D. 估计该班数学成绩的分位数为97.5 10. 已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若， 则向量与向量共线 B. 向量与的夹角为 C. D. 向量与向量垂直 11. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 设，是两个不同的平面，l是直线且，则“”是“”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要). 13. 设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则=_____. 14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 平面内给定两个向量. （1）求； （2）求. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 17. 如图所示，在长方形中，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）在棱上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 18. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为.甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立. （1）求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求乙通过第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，，求不等式的解集. 长沙市湘军高级中学2024年下学期高二入学检测 时量：120分钟 满分150 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】充分不必要 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：根据题意可知，在长方形中，和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即. ∵平面平面， 且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）. （3）存在，. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明如下： 由题知， 所以 即. （3）,. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $