精品解析：福建省仙游第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年仙游一中高三第一次月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 平面的一个法向量为 D. 点到平面的距离为 10. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两个极值点 B. 的图象的对称中心在函数的图象上 C. 若在区间单调递减，则 D. 不等式的解集为且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则实数_________． 13. 已知函数，则_________． 14. 已知函数在上的最大值比最小值大，则______. 三､解答题：共77分. 15. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 17. 已知函数. （1）求函数图象在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效. 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 服用 合计 （2）第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用表示服药的只数，求的分布列和数学期望. （3）第二阶段结束时，针对第一阶段结束时的服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，未服药患病的小白鼠中有5%自愈，服药未患病的小白鼠中有20%患病，未服药未患病的小白鼠中有15%患病.用频率估计概率，试验结束后，从这100只小白鼠中任选1只，检测是否患病后放回，若该操作进行5次，求选出的5只小白鼠中至少有2只患病的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年仙游一中高三第一次月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合再根据交集运算求解即可. 【详解】因为，故. 故选：C. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据，，的单调性比较与0，1的大小关系即可. 【详解】因为单调递增，所以， 因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以，且 所以， 故选：D. 3. 尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算可得正确的选项. 【详解】由题设有，， 故即， 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【详解】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 5. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式及等差数列求和公式基本量运算计算求解. 【详解】等差数列的前n项和为， 因为，， 所以， 故选：A. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为是奇函数，，所以， 因为函数的图象关于对称，所以， 即. 故选：D. 7. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 8. 定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件可得，从而可先分析在上的零点个数为1，再结合前者可得内的零点个数. 【详解】因为，故，故， 即， 而当时，， 故当时，，故， 故， 当时，， 而在上为减函数，在为增函数， 故在有有且只有一个实数解为； 当时，， 而，故，此时在上无解； 故当时，，则， 结合上的性质可得在上有且只有一个实数解， 且该实数解为，在无实数解， 而且， 故在上的实数解为，，， ，共4个实数解， 故共有4个不同的零点. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 平面的一个法向量为 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】写出点的坐标可判断A选项，利用空间向量的坐标运算可判断B选项，利用求平面法向量的方法求解可判断C，利用空间点到平面的距离的向量解法可求D. 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确. 故选：AC 10. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误； 对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两个极值点 B. 的图象的对称中心在函数的图象上 C. 若在区间单调递减，则 D. 不等式的解集为且 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，分类讨论，求得函数的单调区间，结合极值点的定义，可判定A正确；令，求得，令，得到的图象的对称中心为，可判定B错误；由A中函数的单调性，列出不等式组，求得的范围，可判定C正确；由，带代入，化简整理得到不等式，求得的范围，可得判定D正确． 【详解】对于A中，由函数， 可得， 若时，当，，单调递增； 当，，单调递减； 当，，单调递增， 所以有两个极值点， 若时，当，，单调递增； 当，，单调递减； 当，，单调递增，所以有两个极值点，所以A正确； 对于B中，因为， 令，可得， 由，可得，则，所以的图象的对称中心为， 当时，点不在函数的图象上，所以B错误； 对于C中，当时，单调递增，所以， 由A知，若时，，递减，所以，解得； 若时，当，函数单调递减，则满足，解得， 所以在区间单调递减，则，故C正确； 对于D中，因为， 代入，可得， 整理得，即， 解得且，所以D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】易知当时无解；当时，利用导数研究函数的性质可得在上有且仅有唯一的零点，进而根据求解即可. 【详解】， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，则， 当时，，且时，；时，； 所以在上有且仅有唯一的零点. 所以当时，，则，解得. 综上，. 故答案为：e 13. 已知函数，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】计算即可求解. 【详解】由题意有， 又，所以， 故答案为：3. 14. 已知函数在上的最大值比最小值大，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知在上单调减，在上单调递增，分和两种情况讨论，求出最值即可求解. 【详解】， 所以为奇函数，且在上的最大值比最小值大， 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增. 当时，即时，在上单调递增. 则， 解得. 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增. ， 因为，所以， 所以， 解得（舍去）或9（舍去）. 综上， 故答案为：1 三､解答题：共77分. 15. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 证明：因为， 且，所以是首项为1，公比为2的等比数列. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式，由首项表示第二、三项，结合等差数列的性质，建立方程，可得答案； （2）根据等比数列的定义，结合首项，可写出通项，利用等比数列求和以及分组求和，可得答案. 【小问1详解】 ， 又依次成等差数列，所以， 即，解得. 【小问2详解】 可得，则， . 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 17. 已知函数. （1）求函数图象在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）参变分离，构造函数，二次求导确定最值即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， 所以在点处的切线方程为 【小问2详解】 又， 参变分离得：， 令， 得， 令，， ， 在上单调递增， 所以当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 最小值为 所以， 即实数的取值范围是. 18. 为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只. （1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效. 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 服用 合计 （2）第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用表示服药的只数，求的分布列和数学期望. （3）第二阶段结束时，针对第一阶段结束时的服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，未服药患病的小白鼠中有5%自愈，服药未患病的小白鼠中有20%患病，未服药未患病的小白鼠中有15%患病.用频率估计概率，试验结束后，从这100只小白鼠中任选1只，检测是否患病后放回，若该操作进行5次，求选出的5只小白鼠中至少有2只患病的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 列联表，如下表： 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 20 20 40 服用 35 25 60 合计 55 45 100 没有充分证据表明该药物对预防流感有效 （2） 的分布列为： 0 1 2 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数据完善列联表，提出零假设，由公式计算的值，比较其与临界值的大小即可判断； （2）由题意可得X的所有可能取值，根据超几何分布的概率计算方法求解概率，进而得出分布列，再结合期望公式即可求解； （3）先确定第二阶段结束时患病的小白鼠的数量，即可确定任取1只患病小白鼠的概率，然后结合对立事件概率公式，利用二项分布列的概率公式计算求解即可． 【小问1详解】 因为患病小白鼠的比例为，所以患病小白鼠有只， 则不患病的小白鼠有只，又未服药小白鼠的比例为， 所以未服药小白鼠有，从而完善列联表，如下表： 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 20 20 40 服用 35 25 60 合计 55 45 100 零假设为：该药物对预防流感无关联. 因为，显然， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 没有充分证据表明该药物对预防流感有效. 【小问2详解】 由题意X的所有可能取值为， 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 第二阶段结束后，服药且患病的小白鼠中有16%被治愈， 那么服药且患病后仍患病的小白鼠的数量为， 未服药患病的小白鼠中有5%自愈， 那么未服药患病后仍患病的小白鼠的数量为， 服药未患病的小白鼠中有20%患病，那么服药未患病后患病的小白鼠的数量为， 未服药未患病的小白鼠中有15%患病，那么未服药未患病后患病的小白鼠的数量为， 所以第二阶段结束后患病的小白鼠的总数量为， 所以从这100只小白鼠中任选1只，患病的概率为， 设表示选出的5只小白鼠中患病的只数，则， “至少有2只患病”的对立事件为“0只患病”或“1只患病”， 所以. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】（1） 当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增 （2）（i）； （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数分和求解； （2）（i）由（1）知，且最小值为小于0即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即，分和进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $