精品解析：四川省绵阳市梓潼县 五校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年度九年级（上）开学测试试卷（五校联考） （数学） 一、选择题 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 平行四边形的对角线相等 D. 菱形的对角线相等，并且每一条对角线平分一组对角 2. 使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4 3. 若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 无法确定 4. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 函数的图象经过原点 B. 函数的图象位于第二、三、四象限 C. 函数的值随x值增大而增大 D. 函数的图象不经过第二象限 6. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据：2，2，，1，1的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ） A. 越靠近台风中心位置，风速越大 B. 距台风中心处，风速达到最大值 C. 10级风圈半径约为 D. 在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 9. 如图，剪两张对边平行且等宽的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则四边形是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能判断 10. 在同一平面直角坐标系中有下列函数：①；②；③；④．这些函数图象互相平行是（　　） A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ②和③ 11. 在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 4.5 12. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题 13. 已知x，y为实数，且，的算术平方根是_______． 14. 直线不经过第______象限． 15. 已知正比例函数的图象过点，则的值为______． 16. 在学校运动会跳高比赛中，新手的表现通常不太稳定，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手的比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则根据图中信息判断可能是新手的是_______（填“甲”或“乙”） 17. 如图，在矩形中，连接、交于点，已知，，若将绕点旋转度，得到，当时，延长交直线于点，则的长度为______ 18. 如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）求的值，其中 20. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘 制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题： （1）求样本容量及14岁与16岁的人数； （2）求出样本容量的平均数，众数和中位数； （3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数． 21. 如图1，和都是直角． （1）如果，求的度数； （2）当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）； （3）在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角． 22. 校园体育节的来临，博才中学决定搭配A、B两种园艺造型共50个，最多可以提供385盆甲种花卉和235盆乙种花卉．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆． （1）八年级课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元? 23. 如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点和点B，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）求OD的长； （3）设P是x轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 24. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级（上）开学测试试卷（五校联考） （数学） 一、选择题 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 平行四边形的对角线相等 D. 菱形的对角线相等，并且每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握特殊四边形的性质解决问题．根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，本选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是真命题，本选项符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，故原命题是假命题，本选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，故原命题是假命题，本选项不符合题意． 故选：B． 2. 使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0， 解得：x＜4 即x的取值范围是：x＜4 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 3. 若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分情况讨论，假设9作腰长，则三边分别为9，9，4，能构成三角形 周长为：； 假设4作腰长，则三边分别为4，4，9，而，不能构成三角形， 所以此等腰三角形的周长是． 故选：B． 4. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项运算错误； B. ，故该选项运算正确； C. ，故该选项运算错误； D. ，故该选项运算错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 函数的图象经过原点 B. 函数的图象位于第二、三、四象限 C. 函数的值随x值增大而增大 D. 函数的图象不经过第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数图象与系数之间的关系，在中，当时，，据此可判断A；根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断B、C、D． 【详解】解：A、在中，当时，，即函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴函数的图象位于第二、三、四象限，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴函数的值随x值增大而减小，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后利用平行四边形的性质求得其对角的度数即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题关键． 7. 一组数据：2，2，，1，1的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，将这组数据从小到大排列，按照中位数的定义求解即可． 【详解】解：一组数据：2，2，，1，1， 从小到大排列即：，1，1，2，2， 一共5个数，最中间的为第3个数， 则中位数为：1． 故选：A 8. 台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ） A. 越靠近台风中心位置，风速越大 B. 距台风中心处，风速达到最大值 C. 10级风圈半径约为 D. 在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解题的关键是准确理解函数图象所反映的风速与台风半径的关系． 根据函数图象，分析每个选项中风速与台风半径的关系是否正确即可． 【详解】解：A、根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项说法错误，不符合题意； B、距台风中心处，风速没有达到最大值，选项说法错误，不符合题意； C、10级风圈半径不是，选项说法错误，不符合题意； D、在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，剪两张对边平行且等宽的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则四边形是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能判断 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作，先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点分别作， 由题意，得：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键． 10. 在同一平面直角坐标系中有下列函数：①；②；③；④．这些函数图象互相平行是（　　） A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ②和③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据两个一次函数的比例系数的值相等时，它们的图象互相平行即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当两个一次函数的比例系数的值相等时，它们的图象互相平行， ∴①和③的比例系数，∴①和③的函数图象互相平行， 故选：． 11. 在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 4.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，解此方程组即可． 【详解】解：设斜边与较小直角边分别是c，a， 由题意可知， 解得， 由勾股定理可知． 故选A． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，还考查了二元一次方程组的解法． 12. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点． ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 二、填空题 13. 已知x，y为实数，且，的算术平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根有意义的条件、平方根的概念，掌握平方根的被开方数是非负数是解题的关键． 根据平方根有意义的条件求出，进而得到的值，根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】解：要使有意义，则， 解得，， 要使有意义，则， 解得，， 所以， 则， ∴，， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 14. 直线不经过第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】直线所在的位置与的符号有直接的关系：时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．根据一次函数中的的符号确定该直线所经过的象限即可． 【详解】解：∵， ∴直线经过第二、四象限． 又∵， ∴该直线与y轴交于负半轴， ∴该直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解一次函数的图像在坐标平面内的位置与k、b的关系是解题关键． 15. 已知正比例函数的图象过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，把代入函数解析式中计算即可求解，掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 在学校运动会跳高比赛中，新手的表现通常不太稳定，小李对五轮比赛后甲、乙两位选手的比赛成绩进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则根据图中信息判断可能是新手的是_______（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义、折线统计图等知识点，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可求解即可． 【详解】解：通过折线统计图中数据的波动范围可知，乙的波动范围较大，所以，乙可能是新手，通过方差进行验证如下： （分） （分） ∵ ∴可能是新手的是乙， 故答案为：乙． 17. 如图，在矩形中，连接、交于点，已知，，若将绕点旋转度，得到，当时，延长交直线于点，则的长度为______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键，先根据已知条件求得相关角度与线段的长度，根据旋转的性质，将分解成一个等腰三角形和一个含30度角的直角三角形，进而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在矩形中，连接、交于点，已知，， ∴，，则是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当顺时针旋转时， ∴， ∴， 在上取一点，使得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当逆时针旋转时，在上取点，使得， 同理可得， ∴，， ∴， 故答案为：或． 18. 如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点，连．若，，则与的和为______度；且另一条直角边的长为______． 【答案】 ①. 180 ②. 5 【解析】 【分析】作于点，交的延长线于点，由正方形的性质得，，而，所以；再证明，得，，则四边形是正方形，所以，则，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， ； ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：180，5． 【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）求的值，其中 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）求出的值，将多项式进行因式分解后，整体代入法计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 20. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘 制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题： （1）求样本容量及14岁与16岁的人数； （2）求出样本容量的平均数，众数和中位数； （3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数． 【答案】（1）样本容量为50；14岁的人数是14人，16岁的人数为2人 （2）平均数是11.7岁，众数是15岁，中位数是14岁 （3）720人 【解析】 【分析】（1）由12岁的人数除以所占百分比可得样本容量，进而即可求解14岁与16岁的人数； （2）根据平均数、众数和中位数的计算方法求解可得； （3）用总人数乘以样本中15、16岁的人数所占比例可得． 【小问1详解】 （人），（人），（人）， 答：样本容量为50；14岁的人数是14人，16岁的人数为2人； 【小问2详解】 样本平均数为（岁）， 学生年龄出现次数最多的是15岁，共出现18次，因此众数是15岁； 将这50人的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是14岁，因此中位数是14岁， 答：平均数是11.7岁，众数是15岁，中位数是14岁； 【小问3详解】 （人）， 答：该校1800名学生中年龄在15岁及以上的学生大约有720人 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图1，和都是直角． （1）如果，求的度数； （2）当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）； （3）在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角． 【答案】（1） （2）变大 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角的定义得到，由此可得，则； （2）仿照（1）的求解方法求出即可得到结论； （3）根据同角的余角相等仿照图（1）画图即可． 【小问1详解】 解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， ∴当变小时，则的度数变大， 故答案为：变大； 【小问3详解】 解：如图2所示：． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，同角的余角相等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 校园体育节的来临，博才中学决定搭配A、B两种园艺造型共50个，最多可以提供385盆甲种花卉和235盆乙种花卉．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆． （1）八年级课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元? 【答案】（1）三种，A种园艺43种，B种园艺7种；A种园艺44种，B种园艺6种；A种园艺45种，B种园艺5种；（2）应选择方案三，成本最低，最低成本为10800元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式组，直接解不等式，然后取整数解即可； （2）根据（1）中得出的三种方案，分别计算出三种方案的成本，选择成本最低的方案即可； 【详解】（1）设搭配A种造型x个，则B种造型个， 依题意得：， 解不等式得：， ∵x是整数， ∴x可取43，44，45， ∴可设计三种搭配方案： A种园艺43种，B种园艺7种； A种园艺44种，B种园艺6种； A种园艺45种，B种园艺5种； （2）由（1）可知三种方案，其中， 方案一所需成本：（元）； 方案二所需成本：（元）； 方案三所需成本：（元）； ∴应选择方案三，成本最低，最低成本为10800元． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点和点B，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）求OD的长； （3）设P是x轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3），或或或 【解析】 【分析】（1）由解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）过点作轴于点，利用勾股定理即可求解； （3）根据轴上点的坐标特点设出点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可． 【小问1详解】 ∵点在正比例函数的图象上 ∴ ∴ 依题意得： 解得： ∴直线AB的解析式为： 【小问2详解】 过点D作轴于点C． 则， 依勾股定理得： ∴ 【小问3详解】 在中，令，解得， ， ， 设点坐标为， 当时，， ，解得， 点的坐标为，； 当时，， ，解得或， 点的坐标为或； 当时，， ，解得（与点重合，舍去）或， 点的坐标为； 综上，点坐标为，或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、勾股定理及两点间的距离公式，等腰三角形的性质，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解． 24. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：根据题意得：，，． ． ∴，即是直角三角形． （2）13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理得出、、的长，再由勾股定理逆定理进行判断即可； （2）根据计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $