精品解析：吉林省长春市南湖实验中学2023一2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年度七年级下学期期末质量检测数学试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 二元一次方程的一个解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，正确把数据代入计算是解题关键．分别将各选项代入方程进而计算得出答案． 【详解】解：A、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； B、把代入方程左边得：，右边，左边=右边，是方程的解； C、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； D、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程解； 故选：B． 3. 不等式组中两个不等式的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解即可． 【详解】解：不等式组中两个不等式的解集，在数轴上表示正确的是 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是熟知“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”的原则． 4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】解：A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长度是的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 5. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程即可求解． 【详解】解：设有人， 则． 故选：A． 6. 如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，分别对每一项进行分析判断即可． 【详解】解：A.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； B.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； C.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； D.已知，，添加不能得出，此项符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ） A. 28 B. 22 C. 19 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 故选：B． 8. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 把方程改写成用含的式子表示的形式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用移项即可求解，掌握移项要变号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 10. 如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是___． 【答案】140° 【解析】 【详解】解：∵九边形的内角和=（9-2）•180°=1260°， 又∵九边形的每个内角都相等， ∴每个内角的度数=1260°÷9=140°． 故答案为140． 11. 如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__________. 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点；连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到则利用等线段代换得到四边形的周长，然后利用三角形的周长为进行计算． 【详解】解：∵三角形沿方向平移至三角形的位置， ∴， ∵三角形的周长为， ∴ ∴四边形的周长． 故答案为：48． 12. 不等式的最小整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练解一元一次不等式的步骤是解题的关键，首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可． 【详解】解：， ， ， ， 不等式的解集是，因而最小整数解是， 故答案为． 13. 在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，同理可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的中线，为上一点，，连结和，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质（三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分）及三角形面积与底的关系（同高的三角形面积比等于底的比），解题的关键是利用“同高三角形面积比等于底的比”求出的面积，再结合中线性质求出的面积． 由可知与同高，故面积比等于底与的比，结合面积可求面积；又因是的中线，中线将三角形分成面积相等的两部分，故面积是面积的2倍，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵与的高相同（以D为顶点，分别以、为底时的高相等）， ∴． 又∵， ∴，解得． ∵是的中线， ∴（中线定义）． ∵与的高相同（以A为顶点，分别以、为底时的高相等）， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）按照解一元一次方程的一般步骤解答即可； （）按照解一元一次方程的一般步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用代入法与加减法解二元一次方程组；根据方程组的特点灵活选取消元的方法是解题的关键； （1）用代入法即可求解； （2）用加减消元法求解：第一个方程两边同乘2，与第二个方程相减消去未知数x，求出y，再求出x即可． 【小问1详解】 解：， 把①代入②中，得：， 解得：， 把代入①中，得， 所以原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， 所以原方程组的解为：． 17. 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 18. 如图，在中，于点D，是角平分线，交于点E，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，角平分线的概念和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据三角形外角的性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴． 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． （1）如图①，在上作格点，连接，使得 （2）如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． （3）如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（）如图，取的中点，连接，由中点定义可得，即得到，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，可知和的底相同，的高是的倍，所以，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，利用割补法可求得，故点即为所求； 本题考查了三角形的中线性质，三角形面积与网格问题，认真识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求． 20. 如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键． 21. 2023年中国新能源汽车市场火爆．中国新能源汽车产业对于中国有着重要的战略意义，中国汽车产业凭借在新能源汽车上的强劲表现，2023年汽车山口荣登全球第一．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，型新能源汽车每辆进价分别是多少万元？ （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多购买型新能源汽车多少辆？ 【答案】（1），型新能源汽车每辆进价分别是25万元，10万元 （2）该公司最多购买型新能源汽车12辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设，型新能源汽车每辆进价分别是x万元，y万元，根据1辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车的进价共计120万元列出方程组求解即可； （2）设该公司购买型新能源汽车m辆，则购买B型新能源汽车辆，根据总费用不超过1182万元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设，型新能源汽车每辆进价分别是x万元，y万元， 由题意得，， 解得， 答：，型新能源汽车每辆进价分别是25万元，10万元； 【小问2详解】 解：设该公司购买型新能源汽车m辆，则购买B型新能源汽车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的最大值为12， 答：该公司最多购买型新能源汽车12辆． 22. 对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． （1）求、值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据新定义及已知列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新定义把不等式转化为，解不等式即可求解； （）由新定义可把不等式组转化为，求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， 即，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴不等式即为， 解得； 【小问3详解】 解：∵，， ∴不等式组可转化为， 解得， ∵不等式组只有一个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 23. 【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】若当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知，平分，点为上一点，作于点交于点，作于点，试说明：． 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【答案】知识背景：；方法应用：证明见解析；拓展： 【解析】 【分析】知识背景：根据全等三角形的判定方法即可求解； 方法应用：延长交于点，可证，得到，即得，再证明，得到，即可求证； 拓展：如图，作，过点作的延长线于点，交的延长线于点，可得，即得，进而可证，得到，再证明，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：知识背景：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴理由是角边角， 故选：； 方法应用： 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展：如图，作，过点作的延长线于点，交的延长线于点， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 在长方形中，，．延长至点，使得，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，连接，设点的运动时间为（秒）． （1）________； （2）用含的代数式表示线段的长度； （3）当点在线段上运动时，作点关于点的对称点，连接．当线段将的面积分成两部分时，求的值； （4）在整个运动过程中，将点绕点逆时针旋转得到点，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（）由题意可得四边形是直角梯形，进而根据梯形的面积公式计算即可； （）分点在线段上运动和点在线段上运动两种情况解答即可； （）由题意得，，进而由对称得到，再分或两种情况解答即可； （）分点在直线的右侧和点在直线的左侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵长方形中，， ∴，，， ∴四边形直角梯形， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点在线段上运动，即时， 由题意得，， ∴； 当点在线段上运动，即时， 由题意得，； 综上，； 【小问3详解】 解：如图， ∵，，点与点关于点对称， ∴， ∴， ∵线段将面积分成两部分， ∴或， ∵， ∴或， 解得或； 【小问4详解】 解：当点在直线的右侧时，如图，过点作于点， 则， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； 当点在直线的左侧时，如图，过点作于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 即， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，列代数式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度七年级下学期期末质量检测数学试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 2. 二元一次方程的一个解是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组中两个不等式的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则周长为（ ） A. 28 B. 22 C. 19 D. 15 8. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 把方程改写成用含的式子表示的形式，则______． 10. 如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是___． 11. 如图，三角形的周长为，现将三角形沿方向平移至三角形的位置，连接，则四边形的周长是__________. 12. 不等式最小整数解为__________． 13. 在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 14. 如图，是的中线，为上一点，，连结和，若的面积是，则的面积是___________． 三、解答题 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 解方程组： （1） （2） 17 解不等式（组） （1）解不等式：； （2）解不等式组： 18. 如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． （1）如图①，在上作格点，连接，使得 （2）如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． （3）如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 20. 如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． （1）求证：； （2）若，求度数． 21. 2023年中国新能源汽车市场火爆．中国新能源汽车产业对于中国有着重要的战略意义，中国汽车产业凭借在新能源汽车上的强劲表现，2023年汽车山口荣登全球第一．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求，型新能源汽车每辆进价分别是多少万元？ （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多购买型新能源汽车多少辆？ 22. 对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． （1）求、的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 23. 【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边 ．边角边 ．角边角 ．斜边直角边 【方法总结】若当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知，平分，点为上一点，作于点交于点，作于点，试说明：． 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则面积为___________． 24. 在长方形中，，．延长至点，使得，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，连接，设点的运动时间为（秒）． （1）________； （2）用含的代数式表示线段的长度； （3）当点在线段上运动时，作点关于点的对称点，连接．当线段将的面积分成两部分时，求的值； （4）在整个运动过程中，将点绕点逆时针旋转得到点，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$