精品解析：　河南省郑州市中原一中实验学校2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试卷　

2023-2024学年河南省郑州市中原一中实验学校七年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共10小题） 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 我们知道，圆的周长公式是：，那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是（ ） A. 2是常量，是变量 B. 是常量，是变量 C. 2是常量，是变量 D. 2是常量，是变量 4. 如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是( ) A. B. C. D. 5. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是完全平方式，则m 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 或4 8. 小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 10. 已知x满足，则的值是（ ） A. 512 B. 516 C. 520 D. 1032 二、填空题（每题3分，共5小题） 11. 已知与互为补角，且，则______． 12. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 13. 如图，把一块含有45度角的直角三角板放在长方形纸片上，使点E恰好落在边上，若，则______度. 14. 若的结果中不含x的一次项，则实数a的值为__________． 15. 一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 三、解答题（共8小题） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD．（不写画法，保留作图痕迹） 19. 请完成下列证明： 已知，如图，相交于E，，． 求证： 证明：∵，（已知） 且，（ ） ∴，（等量代换） ∴，（ ） 又∵，（已知） ∴___，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴．（ ） 20. 已知：如图，点、、三点共线，，，平分，，问：与有什么位置关系？请写出推理过程． 21. 如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间　x（时）的关系如图2所示． （1）A，B两地之间的距离为　　千米； （2）图中点M代表的实际意义是什么？ （3）分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米． 22. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，＝ ； （2）求展开式中各项的系数和； （3）若今天是星期二，经过天后是星期几． 23. 已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E.F在DM上，连接BE.BF.CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠ABF=2∠ABE，求∠EBC的度数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年河南省郑州市中原一中实验学校七年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共10小题） 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题的关键； 运用同底数幂的乘除运算、积的乘方及幂的乘方运算法则计算，逐个判断即可 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 我们知道，圆的周长公式是：，那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是（ ） A. 2是常量，是变量 B. 是常量，是变量 C. 2是常量，是变量 D. 2是常量，是变量 【答案】B 【解析】 【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量，据此求解即可． 【详解】解：圆的周长计算公式是，C和r是变量，是常量， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了常量，变量的定义，识记的内容是解题的关键． 4. 如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理．解题的关键是熟练掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补对应的平行线判定方法，并准确识别角的位置关系． 分析各选项中角的位置关系，根据平行线判定定理判断是否能推出；选项A中与是内错角，内错角相等可判定；选项B中与是内错角，但对应，无法判定；选项C中与是同位角，同位角相等可判定；选项D中与是同旁内角，同旁内角互补可判定． 【详解】解：∵， ∴，故选项A能判定； ∵， ∴，但选项B不能判定； ∵， ∴，故选项C能判定； ∵，即， ∴，故选项D能判定． 故选：B． 5. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构判断即可． 【详解】不能用平方差公式计算，故A不符合题意； 不能用平方差公式计算，故B不符合题意； 能用平方差公式计算，故C符合题意； 不能用平方差公式计算，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查平方差公式．掌握平方差公式为是解题关键． 6. 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】余角定义：如果两个角的和为，那么这两个角互为余角，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据一副三角板中各角的度数， A、不一定是，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意． 7. 若是完全平方式，则m 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，解得， 故选：D． 8. 小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图像，能根据题目中的语句得到父亲与儿子离家距离的变化过程即可解答本题. 【详解】解：根据题意可知父亲离家的距离在这个过程中分为段，先远离后不变最后到家，并且先到达车站；儿子离家的路程也分为段，先离家越来越近，再停止，最后到家． 故选C． 9. 下列说法： ①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交； ②若直线，直线，那么直线； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． 其中错误的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可． 【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误； ②若直线，直线，那么直线，故原说法正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误； ④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误． 错误的有3个， 故选：A． 10. 已知x满足，则的值是（ ） A. 512 B. 516 C. 520 D. 1032 【答案】C 【解析】 【分析】将所求式子化为，再整体利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是注意观察式子的形式，利用整体思想进行运算． 二、填空题（每题3分，共5小题） 11. 已知与互为补角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】若两个角的和等于，则这两个角互补，依此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了补角的定义．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 12. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． ∴线段的最小值是． 13. 如图，把一块含有45度角的直角三角板放在长方形纸片上，使点E恰好落在边上，若，则______度. 【答案】15 【解析】 【分析】由题意可求出，再根据平行线的性质得出，最后利用求解即可． 【详解】解：，， ． 由题意可知， ． ， ． 故答案为：15． 【点睛】本题考查三角板的特点，平行线的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 14. 若的结果中不含x的一次项，则实数a的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令的一次项系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵结果不含x的一次项， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 15. 一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 三、解答题（共8小题） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算，解题的关键熟知各种运算法则． 根据乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】原式 ， 当，时，原式． 【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 尺规作图：如图在三角形ABC中过点A作边BC的平行线AD．（不写画法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，直线AD即为所求作． 【解析】 【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】略 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 请完成下列证明： 已知，如图，相交于E，，． 求证： 证明：∵，（已知） 且，（ ） ∴，（等量代换） ∴，（ ） 又∵，（已知） ∴___，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴．（ ） 【答案】对顶角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和判定；熟练掌握平行线的相关性质和判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵，（已知） 且，（对顶角相等） ∴，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） 又∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） 故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等． 20. 已知：如图，点、、三点共线，，，平分，，问：与有什么位置关系？请写出推理过程． 【答案】 解：， 证明如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由得到，求出，由平分得到，进而得到，根据平行线的判定证明结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 21. 如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间　x（时）的关系如图2所示． （1）A，B两地之间的距离为　　千米； （2）图中点M代表的实际意义是什么？ （3）分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米． 【答案】（1）150 （2）点M代表的实际意义是乙到达C的时间 （3）甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为75千米/小时，他们的相遇点与点C的距离为千米 【解析】 【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解； （2）由图象可知点M代表的实际意义是乙到达C的时间； （3）根据图像分别解出甲车和乙车的速度，用总路程除以甲乙两车的速度和就等于他们相遇的时间小时，再用乙车到达C点时的路程减去汽车行驶小时的路程即为所求． 【小问1详解】 解：由图象可知AC=60，BC=90， ∴A、B两地距离为60+90=150km； ∴A、B两地距离为150千米； 故答案为：150． 【小问2详解】 解：由图象可知，点M代表的实际意义是：乙到达C的时间． 【小问3详解】 解：由图象可知：甲乙两车匀速运动，AC=60，BC=90， ∴甲车的速度：60÷1=60(千米/小时)， 乙车的速度为：150÷2= 75(千米/小时)， 设经过x小时甲乙两车相遇，根据题意列方程，得 (60+75)x=150 解得x=； 由图像知已到达C的距离为90千米，那么 他们的相遇点与点C的距离为：90-75×=(千米)． ∴他们的相遇点与点C的距离为千米． 【点睛】此题考查了行程问题（一元一次方程的应用）和用图象表示变量间的关系，解题的关键是看清横轴、纵轴的含义，通过分析找到变量之间的关系求解． 22. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，＝ ； （2）求展开式中各项的系数和； （3）若今天是星期二，经过天后是星期几． 【答案】（1） （2） （3）星期四 【解析】 【分析】（1）根据题目的规律即可得到答案，读懂题意是解题的关键； （2）根据，令，，整理后即可得到答案，熟练准确求出代数式的值是解题的关键； （3）由题可得，进一步得到除以7的余数为1，则除以7余数为2，即可得到答案．熟练掌握多项式展开的规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题目规律得，， 【小问2详解】 由题可得设， 令，可得， 的系数和为． 【小问3详解】 若今天是星期二，经过天后是星期四，理由如下： 由题可得． ， 除以7的余数为1， 除以7余数为2， 经过天后是星期四． 23. 已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E.F在DM上，连接BE.BF.CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠ABF=2∠ABE，求∠EBC的度数. 【答案】(1)90°； (2)证明：如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C=∠CBG， ∴∠ABD=∠C； (3)105° 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C； （3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）略 （3）如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）可得∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β，则 ∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）=180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α=90°，② 由①②联立方程组，解得α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $