精品解析：广东东莞市华侨中学2025 - 2026学年第一学期期末水平测试八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末水平测试八年级数学试卷 （测试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可． 【详解】解：A、当另外两角为44°和100°时，该三角形为钝角三角形， B、当另外两角为90°和54°时，该三角形为直角三角形， C、当另外两角为80°和64°时，该三角形为锐角三角形， ∴钝角三角形，直角三角形，锐角三角形都有可能， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键． 3. 如图，为了使用人字梯的安全，人们常在人字梯的两个梯脚间拉一根绳子，这里所用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及其应用，熟记三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：人字梯是三角形具的稳定性在生活中的应用． 故选：C． 4. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零指数幂的条件，同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方法则，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，当时无意义，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的减法，先通分变成同分母分式减法，然后再代入求解即可． 【详解】解：， ∵ ∴原式， 故选：D 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 8. 观察题图，从图1到图2可表示的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图可得，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的平行四边形，再根据面积关系即可得结论． 【详解】解：由图可知，图2是由图1中的四个等腰梯形拼成的底为，高为的平行四边形，则图2的面积为， ∵图1中四个等腰梯形的面积和可以看作是两个正方形的面积差，即， ∴从图1到图2可表示的等式为． 9. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键． 由调和数的定义列分式方程求解即可． 【详解】解：根据调和数的定义可得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解． 故选D． 10. 如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点、、在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，两点之间线段最短．连接，证明，得，继而得到，当点与点重合时，的值最小．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， ∴的最小值为：， 即的最小值为． 故选：C． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式m，然后运用平方差公式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ，．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行变形整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：4． 14. 如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为___． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据作图可得平分，即可得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图可知，平分， ∴， 故答案为：． 15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系，然后根据题意可得点，，，进而根据中点坐标公式可得，，最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解． 【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示： ∵，，，， ∴，，， ∵是矩形的对角线，且交于一点， ∴点是的中点， ∴根据中点坐标公式可得，即， 同理可得， ∴，， ∴此“L”形的重心坐标为； 故答案为． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再根据分式的分母不为0，选取合适的的值，求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， 当时，原式． 18. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的顶点都在正方形网格的格点上． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为，并写出点的坐标； （2）与关于轴对称，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） 建立直角坐标系如图所示： （2） 即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−轴对称变换等知识点，熟练掌握轴对称变换的性质是解决此题的关键． （1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 某市计划对中山公园附近的一段河道进行清淤，安排甲、乙两个工程队共同参与．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？ 【答案】甲队每天清淤河道米，乙队每天清淤河道米 【解析】 【分析】设乙队每天清淤的河道长度为米，则甲队每天清淤的河道长度为米，由题中等量关系列出分式方程求解即可． 【详解】解：设乙队每天清淤的河道长度为米，则甲队每天清淤的河道长度为米， ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ， 答：甲队每天清淤河道米，乙队每天清淤河道米． 20. 如图，在中，，平分，，，求： （1）的度数； （2）探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的度数是． （2）能，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 【解析】 【分析】（1）先求得，根据角平分线的定义得出，由于，则，根据三角形外角性质得，所以，然后利用进行计算； （2）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，结合，然后利用角的和差得，即的度数等于与差的一半． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ，平分， ，， ， ， ， 的度数是． 【小问2详解】 略 21. 【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系.等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等． （1）【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“30°角所对的直角边等于斜边的一半”.并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程． 已知：如图，在△中， °，°. 求证： ． 证明： （2）【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图①所示，方桌的主视图如图②.经测得， ，将桌子放平，两条桌腿叉开的角度． 求：桌面与地面的高度． 【答案】（1）证明见解析；（2）60cm． 【解析】 【分析】（1）取斜边中点，构造等边三角形可证； （2）过O作，OE⊥AB于E，OF⊥CD于点F，构造出30°直角三角形，利用特殊三角形性质计算OE，OF长度． 【详解】解：（1）取AB的中点D，连接CD ∵在Rt△ABC中，点D是AB的中点, ∴CD=DB= AB ∵∠C=90°，∠A=30° ∴∠B=60° ∴△DBC是等边三角形 ∴BC=CD=DB ∴BC= AB （2）过O作，OE⊥AB于E，OF⊥CD于点F ∵OA=OB，∠AOB=120° ∴∠A=30° 在Rt△AOE中，OA=90，∠A=30°，， ∴OE=45 同理：OF=15 所以，桌面与地面的高度是60cm． 五、解答题（三）（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简， 对于（1），将化成，即可得出整数和分式和的形式； 将化成，即可得出整式和分式的和的形式； 对于（2），先把M，N化成整数和分式的和的形式，再根据，可得， 然后令，，可得，再讨论a，b的值可得答案. 【小问1详解】 解：． ； 【小问2详解】 解：，， 因为，所以， 即， 令，，则， ， ， ， ， ，均为正数，，均为正整数， ，为正整数， 或或 当时，则，； 当时，则，（舍） 当时，则，（舍）． ，， ，，经检验，符合题意， ，． 23. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为兄弟三角形． （1）如图1中，若和互为兄弟三角形，，．则 ①__________；（填或） ②连结线段和，则___________．（填、或） （2）如图2，和互为兄弟三角形．，，，点在一条直线上，与交于点，求的大小． （3）如图3，和互为兄弟三角形，，，，点，，在一条直线上，交于点，点，，在一条直线上，，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）①利用兄弟三角形定义得到顶角相等，同减公共角，判断两角大小；②用证明三角形全等，得到线段相等． （2）先由等腰直角三角形内角求出、，结合（1）的全等结论，利用角的差求出． （3）连接，先证，推导出角度关系得到，转化面积，设，列面积方程求解． 【小问1详解】 解：①和互为兄弟三角形， ， ，， ； ②如图， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，，共线， ， 由（1）得， ， ； 【小问3详解】 解：连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， （舍去负根）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末水平测试八年级数学试卷 （测试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 3. 如图，为了使用人字梯的安全，人们常在人字梯的两个梯脚间拉一根绳子，这里所用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 4. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. 6 D. 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 观察题图，从图1到图2可表示的等式为（ ） A. B. C. D. 9. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 10. 如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点、、在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围为________． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 已知，，则_________． 14. 如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为___． 15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算： 17. 先化简：，再从中选择合适的a的值代入求值． 18. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的顶点都在正方形网格的格点上． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为，并写出点的坐标； （2）与关于轴对称，画出，并写出点的坐标． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 某市计划对中山公园附近的一段河道进行清淤，安排甲、乙两个工程队共同参与．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？ 20. 如图，在中，，平分，，，求： （1）的度数； （2）探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 21. 【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系.等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等． （1）【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“30°角所对的直角边等于斜边的一半”.并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程． 已知：如图，在△中， °，°. 求证： ． 证明： （2）【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图①所示，方桌的主视图如图②.经测得， ，将桌子放平，两条桌腿叉开的角度． 求：桌面与地面的高度． 五、解答题（三）（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． （1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； （2）已知，均为正整数，，，且，均为正数．若，请求出，的值． 23. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为兄弟三角形． （1）如图1中，若和互为兄弟三角形，，．则 ①__________；（填或） ②连结线段和，则___________．（填、或） （2）如图2，和互为兄弟三角形．，，，点在一条直线上，与交于点，求的大小． （3）如图3，和互为兄弟三角形，，，，点，，在一条直线上，交于点，点，，在一条直线上，，，的面积为18，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $