北京市八一学校2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

暑期复习指导反馈练习—数学 2025.8 注意：本试卷共4页，考试时长120分钟，总分150分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 6. 已知等比数列满足，，则的公比为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 9. 的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. (0，2) B. (0，2] C. (2，+∞) D. [2，+∞) 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答） 12. 若双曲线的离心率为，则实数__________． 13. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________. 14. 定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________． 15. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论： ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是__________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，的面积为，判断的形状，并说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点． （1）求证：． （2）求二面角的余弦值． （3）若平面，求的值． 18. 某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如右图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率. （1）估计某一天此款甜品销售量不超过个的概率； （2）用表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于个的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （3）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由. 19. 已知点在椭圆：上. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设直线：（其中）与椭圆交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线于点M，N.当的面积为时，求的值. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 21. 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； （2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； （3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 暑期复习指导反馈练习—数学 2025.8 注意：本试卷共4页，考试时长120分钟，总分150分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】40 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】96 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】①④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）； （2）直角三角形 【17题答案】 【答案】（1）因为为等边三角形，为的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面=， 由面面垂直性质定理，可得平面， 又平面，则． （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）0.4 （2）的分布列为 期望为1.8 （3）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化，理由如下： 可以认为此款甜品的销售情况发生了变化. 设事件表示“日销售量大于70个”，用表示“30天内日销售量大于70个的天数”， 由直方图可得，又， 所以， 所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化． 【19题答案】 【答案】（1）， （2）或 【20题答案】 【答案】（1） （2）当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3） 【21题答案】 【答案】（1） 数列与接近，理由如下： 由题意，，， ∴， ∵时，，∴， 满足对任意，，∴数列与接近； （2）3或4； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $