精品解析： 广东省深圳市云端学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2024-2025学年广东省深圳市云端学校七年级（下） 期末数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. “一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红”，水是诗人钟爱的写作意象．经测算，一个水分子的直径约为，则一个水分子的直径用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各图形中，，能确定的是（　　） A B. C. D. 5. 迈尔斯-布里格斯性格分类测试中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家、外交家、守护者、探险家，若小云同学参与测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 7. 如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 8. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 计算： ____． 10. 用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________． 11. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______． 12. 如图,的边的垂直平分线相交于点P，连接．若，则的度数是__________． 13. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为18，BP=4，则AB的长为_____________ 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 小端同学计算：时，解答过程如下． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 （1）小端同学的解答从第______步开始出错． （2）请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值． 15. （1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线． （2）判断的位置关系是______． （3）连接和，则三角形的面积是______． 16. 我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，思考下面的问题． （1）如图，已知在四边形中，，，试说明． 解：如图，连接． （请你补充完整…） （2）小云同学又连接了，与交于点O，通过观察、分析，他得出以下结论： ，； ，； 图中共有两对全等三角形； 和的面积相等； 请你通过观察、测量、分析等方法，判断结论正确的有______．（填写序号即可） 17. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 18. 云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口-经纬寻踪-能源汇智-光影捕美-出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题： （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； （2）小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是______千米/时； （3）图2中点表示意义是______． （4）点与出口之间的距离为米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从点出发，可以在点前到达出口吗？ 19. “用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究． 小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m） 1 2 3 4 4.5 5 6 宽（单位：m） 7 6 5 4 a 3 2 面积（单位：m2） 7 12 15 16 b 15 12 我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16； 请根据以上研究完成下面的问题： （1）小云同学的数据表中 ______、 ______； （2）小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； （3）补全小锦同学的做法． ______、______；请画出当时的三个图示说明． 20. 在综合实践课上，老师让同学们以一个长方形为操作对象，进行相关问题的研究． 已知长方形中，，在上找一点P，以对称轴将进行翻折． 【初步感知】若点P与点D重合，如图1所示，试说明； 【类比探究】若点P为边上一个点，如图2所示； 是______三角形； 连接，则的最小值为______； 当点P满足时，的长度是______； 【拓展应用】若点P为边上一个点，如图3所示，当射线恰好经过的中点M时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省深圳市云端学校七年级（下） 期末数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. “一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红”，水是诗人钟爱的写作意象．经测算，一个水分子的直径约为，则一个水分子的直径用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据用科学记数法表示绝对值小于1的方法，进行解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除，合并同类项，积的乘方，根据同底数幂乘除，合并同类项，积的乘方运算法则逐一排除即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 4. 下列各图形中，，能确定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 故选：B． 5. 迈尔斯-布里格斯性格分类测试中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家、外交家、守护者、探险家，若小云同学参与测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，根据概率公式求出他的人格类型是“外交家”的概率即可． 【详解】解：∵分类测试 中包含四大类十六种人格类型．“外交家”这一大类含4种人格类型， ∴他的人格类型是“外交家”的概率为． 故选：C． 6. 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：4个直角三角形的面积和为， ∴一个直角三角形的面积为． 故选：A． 7. 如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x与氢原子数y的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式． 先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的原子数）与原子数）对应值：甲烷、乙烷、丙烷、丁烷；再将对应值代入各选项，或根据“每增1个C原子增2个H原子”的规律，推导x与y的关系式，进而判断正确选项． 【详解】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系： 甲烷：时，； 乙烷：时，； 丙烷：时，； 丁烷：时，． A、若，当时，，此选项不符合题意； B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意； C、若，当时，，此选项不符合题意； D、若，当时，，此选项不符合题意． 故选：B． 8. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比． 【详解】解：当为腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 计算： ____． 【答案】 【解析】 【分析】利用0指数幂和负整数指数幂的定义即可求解． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了0指数幂和负整数指数幂，解题关键是牢记它们的定义，即任何非零数的零次幂等于1和． 10. 用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得， 所以x的取值范围是． 故答案为：4（答案不唯一）． 11. 在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及多项式乘法运算，解题的关键是理解新运算的规则，将对应数值代入运算式后准确展开并合并同类项． 先明确新运算定义：，需计算，即确定、；再将、代入运算式，得到；最后展开该多项式并合并同类项，得出化简结果． 【详解】解：根据新运算定义，计算时，令，，则： 故答案为：． 12. 如图,的边的垂直平分线相交于点P，连接．若，则的度数是__________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得出、，进而得到，再结合三角形内角和与等腰三角形性质求出角度． 由线段垂直平分线性质得 、，故 ；进而推出、，得；结合 内角和求出，算出；最后用 内角和得． 【详解】解：∵点P在的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)， ∴ (等腰三角形两底角相等)． ∵点P在的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)， ∴ (等腰三角形两底角相等)． ∴． 在中,， ∴． 在中,． 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为18，BP=4，则AB的长为_____________ 【答案】7 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到∠CBQ=∠ABC，再由等角对等边得到CQ=BQ，得到BQ+AQ=CQ+AQ=AC；过点P作PD∥BQ，由“AAS”可证△ABP≌△ADP，由全等三角形的性质可得AB=AD，BP=DP，得到AB+BP=AD+CD=AC，即BQ+AQ=AB+BP，即可得出AB的长． 【详解】解：∵BQ是∠ABC的角平分线， ∴∠CBQ=∠ABC． 又∵∠ABC=2∠C， ∴∠CBQ=∠ABC=∠C， ∴ BQ=CQ， ∴ BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1）． 如图所示，过点P作PD∥BQ交CQ于点D， 则∠CPD=∠CBQ，∠ADP=∠AQB， ∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C， ∴∠ADP=2∠C， ∴∠ABC=∠ADP． 又∵AP是∠BAC的角平分线， ∴∠BAP=∠CAP． 在△ABP和△ADP中， ， ∴△ABP≌△ADP（AAS）， ∴AB=AD，BP=DP， ∴AB+BP=AD+CD=AC（2）， 由（1）（2）得：BQ+AQ=AB+BP， 又∵△ABQ的周长为18，BP=4， ∴18－AB= AB+4， ∴ AB=7． 故答案7． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理及外角性质的综合应用．作辅助线，证三角形全等是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 小端同学计算：时，解答过程如下． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 （1）小端同学的解答从第______步开始出错． （2）请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值． 【答案】（1）一 （2）计算过程见解析；8 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据单项式乘以多项式、完全平方公式进行化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据完全平方公式即可判断； （2）根据完全平方公式和单项式乘多项式去掉括号，再合并即可． 【小问1详解】 解：小端的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 15. （1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线． （2）判断的位置关系是______． （3）连接和，则三角形的面积是______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10 【解析】 【分析】本题考查了平行线、垂线，关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线、垂线的方法，还要熟练掌握三角形的面积公式． （1）过点C作的矩形的对角线所在的直线，可得的垂线和平行线； （2）根据平行线公理的推论得出与的位置关系是：垂直； （3）设小方格的边长为1，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：（1）如图，垂线和平行线即为所求． （2）的位置关系是， 理由：∵， ∴． 故答案为：． （3）如图，连接和， 设小方格的边长为1，则三角形的面积是． 故答案为：10． 16. 我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，思考下面的问题． （1）如图，已知在四边形中，，，试说明． 解：如图，连接． （请你补充完整…） （2）小云同学又连接了，与交于点O，通过观察、分析，他得出以下结论： ，； ，； 图中共有两对全等三角形； 和的面积相等； 请你通过观察、测量、分析等方法，判断结论正确的有______．（填写序号即可） 【答案】（1）见解析 （2）①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出，根据平行线的判定，得出结果即可； （2）①证明，，即可得出答案； ②证明，得出，，即可得出答案； ③证明，共得出4对三角形全等，即可得出答案； ④根据，得出和的面积相等． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故②正确； ③∵，，， ∴， 由①②可知：，，，，共4对三角形全等，故③错误； ④∵， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的结论有①②④． 17. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】（1），33 （2） （3）560个 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． 【小问3详解】 解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 18. 云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口-经纬寻踪-能源汇智-光影捕美-出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题： （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； （2）小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是______千米/时； （3）图2中点表示的意义是______． （4）点与出口之间的距离为米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从点出发，可以在点前到达出口吗？ 【答案】（1）游览时间，步行的路程 （2） （3）出发时，步行的路程为千米 （4）可以在点前到达出口 【解析】 【分析】本题考查了函数图像相关知识： （1）根据图像确定即可； （2）根据速度路程时间即可； （3）观察图像即可； （4）根据时间路程速度，计算点到出口时间，再计算总共用时，比较即可． 【小问1详解】 图中反映了小鹏同学步行的路程与游览时间这两个变量之间的关系，其中自变量为浏览时间，因变量为步行的路程． 【小问2详解】 【小问3详解】 点的横坐标为，纵坐标为 所以点表示的意义是出发时，步行的路程为千米． 【小问4详解】 可以在点前到达出口． 19. “用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究． 小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m） 1 2 3 4 4.5 5 6 宽（单位：m） 7 6 5 4 a 3 2 面积（单位：m2） 7 12 15 16 b 15 12 我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大． 小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米． 小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16； 请根据以上的研究完成下面的问题： （1）小云同学的数据表中 ______、 ______； （2）小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______； （3）补全小锦同学的做法． ______、______；请画出当时的三个图示说明． 【答案】（1）3.5，15.75 （2）16，4，16 （3），；图见解析 【解析】 【分析】本题考查阅读理解，主要涉及配方法的运用，读懂题中材料，仿照材料中方法求解是解决问题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求得边长a，结合面积公式即可求得b； （2）根据材料中小鲲同学的解答过程，按照配方法直接作答即可得到答案； （3）根据周长公式求得阴影部分与A相邻的长，进一步求得阴影部分是一个边长为的正方形，结合小锦同学的解答过程仿照方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵长方形的周长为16，长为4.5， ∴宽为， ∵长为4.5，宽为3.5， ∴面积， 故答案为3.5，15.75； 【小问2详解】 解： ， ▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为； 【小问3详解】 解：设相邻的边长为y，则，解得， 由于阴影部分与A相邻的长为， 则阴影部分是一个边长为的正方形； ②当时， 图2中，长方形B的一边长为，相邻一边长为， 图3中，阴影部分是一个边长为的正方形， 图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， 所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 20. 在综合实践课上，老师让同学们以一个长方形为操作对象，进行相关问题的研究． 已知长方形中，，在上找一点P，以为对称轴将进行翻折． 【初步感知】若点P与点D重合，如图1所示，试说明； 【类比探究】若点P为边上一个点，如图2所示； 是______三角形； 连接，则的最小值为______； 当点P满足时，的长度是______； 【拓展应用】若点P为边上一个点，如图3所示，当射线恰好经过的中点M时，求的长． 【答案】[初步感知]见详解，[类比探究] 等腰，6，2，[拓展应用]2或8 【解析】 【分析】[初步感知]由长方形得和，由翻折可得和，即可利用判定即可； [类比探究]由长方形得，有，由翻折可得，则，即可判定等腰三角形； ②由翻折可得，，则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，当E在线段上时，最小，此时为最小值； ③由①知，，结合，求得，利用勾股定理求得，则，故，即有； [拓展应用]分两种情况：当M在线段延长线上和当M在线段上，分别利用中点和勾股定理、折叠的性质求解即可． 【详解】[初步感知] 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 即， 由翻折可得，， ∴，， 在和中 ∴； [类比探究] ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰； ②由翻折可得，， 则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，如图： ∴当E在线段上时，最小，此时， 则的最小值为6； 故答案为：6； ③由①知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：2； [拓展应用]当M在线段延长线上时，如图： ∵M为中点， ∴， 由翻折可得，，， ∴， ∵， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴， 则， ∴； 当M在线段上时，如图： 同理可得， ∴， ∴； 综上所述，当射线恰好经过的中点M时，的长为2或8． 【点睛】本题主要考查长方形的性质、折叠的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定、平行线的性质和等腰三角形的判定和性质，解题关键是理解三角形的性质和分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $