福建省福州市马尾第一中学等六校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

高二数学（第 1页，共 4页） 20 0 n DLL  2024-2025 学年第二学期高二年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150 分，完卷时间：120 分钟） 命题校:长乐华侨中学 命题人：李凤 审核人：高云 班级 座号 姓名 准考证号 一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知全集 },1,1,2{},2,0,2{},2,1,0,1,2{  BAU 则 BACU )( （ ） A． 1,1 B． 0, 2 C． 1,0,1, 2 D． 2 2．在 ABC△ 中，角 CBA ,, 对边分别为 cba ,, ，若  30,6,32 Aba ，则 C （ ） A．30° B．60° C．30°或 90° D．60°或 120° 3．已知实数  , 0, πx y ，则“ x y ”是“ sin sinx y ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某学术协会收到 5 篇论文，需要分配给 3名专家进行评审，每名专家至少评审 1 篇，每篇论文 由 1名专家独立评审，则不同的分配方式共有 ( ) A．60 种 B．90 种 C．120 种 D．150 种 5．已知 2 5 2 7log , 2 , ln2 5 a b c   ，则（ ） A． c < a <b B． a < c <b C． a <b < c D．b < a < c 6．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 （ D为常数），其中 L表示每 一轮优化时使用的学习率， 0L表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，当 10n  时，学习率为 0.25；当 30n  时，学习率为 0.0625，则学习率衰减到 0.005以下所需的训练迭代轮 数至少为（ ）（已知 lg 2 0.3 ） A．64 B．65 C．66 D．67 7．已知 0, 0, 2 1a b a b    ,则 1 a a b  的最小值为（ ） A．2 B． 7 2 C．4 D．9 高二数学（第 2页，共 4页） 8．定义 2 2 行列式 1 2 1 4 2 3 3 4 a a a a a a a a   ，已知函数   2sin cos sin 2 2cos 2sin 2cos x x x f x x x a x     3, 2 a a       R ，若在区间 π0, 4      上，始终存在两个不相等的 实数 1x ， 2x ，满足    1 2 9 4 f x f x  ，则 a的取值范围是（ ） A． 5 1, 4 4       B． 11, 4       C． 3 1, 2 4      D． 5 1, 4 4      二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．  51 2x 的展开式中，则（ ） A． x的系数为 10 B．第 3项与第 4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为 32 D．所有项的系数和为 32 10．有 3台车床加工同一型号的零件，第 1，2，3台加工的次品率分别为 6%，5%，4%，加工出来 的零件混放在一起.已知第 1，2，3 台车床加工的零件数的比为 5∶6∶9，现任取一个零件，记事 件 iA “零件为第 i台车床加工”（ 1i  ，2，3），事件 B “零件为次品”，则（ ） A．  1 0.25P A  B．  2 3200P B A  C．   0.048P B  D．  1 516P A B  11．已知函数 ( )f x 及其导函数 ( )f x 的定义域均为R ，记 ( ) ( )g x f x ，若 ( ) (4 ) 4 8f x f x x    ， ( 1)g x  是偶函数，则（ ） A． (0) 2g  B． ( 1) (1) 4g g   C． ( ) ( 2)g x g x  D． 2025 0 (2 1) 4052 k g k    三、填空题：本小题共 3 个小题，每小题 5 分.共 15 分. 12．已知 3 2cos  ，则         2 2 3sin = . 13．已知函数  2( ) log 1af x x ax   的定义域为 R，则实数 a的取值范围是 ． 14．如图，在 1×9的格子中，数字 1,2,3…，9从左到右为升序排列，现在用计算机随机生成一个 整数 a，若 a为奇数，则将格子中数字 1和 9的位置互换，3和 7的位置交换，其余位置不变；若 a为偶数，则将格子中数字 2和 8的位置互换，4和 6的位置交换.设电脑随机生成   *Nn n 个数 字后，1 9 格子中的数字恰好从左到右为降序排列的概率为 nP ，则 nP  . 高二数学（第 3页，共 4页） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题 13分） 在 ABC△ 中，角 ,,, CBA 对边分别为 ,,, cba ，已知 21120   cbA ，， . (1)求 Bsin ； (2)若D为上一点，且 90BAD  ，求 ADC△ 的面积. 16．（本小题 15 分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可 以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机 培训的有 50%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选 3 名下岗人员，记为 3 人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 17．（本小题 15 分） 已知函数 3( ) exf x ax a   ． (1)当 2a 时，求曲线 ( )y f x 在点 ))0(,0( ff 处的切线方程； (2) 求 ( )f x 的极值． 18．（本小题 17 分） 函数 ( ) 2 3 sin( )( 0) 3 f x x     在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C 为图象 与 x轴的交点，且△ABC 为正三角形. （1）求的值及函数 ( )f x 的值域； （2）若 0 8 3( ) 5 f x  ，且 0 10 2( , ) 3 3 x   ，求 0( 1)f x  的值； 高二数学（第 4页，共 4页） （3）将函数 ( )y f x 的图象上各点的纵坐标变为原来的 3 6 倍，横坐标不变，再将所得图象各点的 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移 3  个单位，得到 ( )y g x 的图象， 若关于 x的方程 22[ ( )] 4 ( ) 1 0g x ag x a    在区间[0, ] 上有两个不同解，求实数 a的取值范围. 19．（本小题 17 分） 对于任意两个正数 , ( )a b a b ，记区间 ,a b 上曲线  y f x 下的曲边梯形面积为  ,S a b ，并规定  , 0S a a  ，    , ,S a b S b a  ，记      ,S a x F x F a  ，其中    f x F x  ． (1)若   1f x x  时，求证：    1,2 5,10S S ； (2)若   1f x x  时，求证：  , 2 b a a b S a b    ； (3)若   ln 1f x x  ，直线 y c 与曲线  1,S x 交于  1 1,M x y ，  2 2,N x y 两点，求证：0 < 21xx < 2 1 e . （其中 e为自然常数） 2024-2025学年第二学期高二年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题校:长乐华侨中学 班级 座号 姓名 准考证号 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角对边分别为，若，则（    ） A．30° B．60° C．30°或90° D．60°或120° 3．已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有　　 A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 5．已知，则（    ） A．<< B．<< C．<< D．<< 6．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A．64 B．65 C．66 D．67 7．已知,则的最小值为（  ） A．2 B． C．4 D．9 8．定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．的展开式中，则（   ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 10．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本小题共3个小题，每小题5分.共15分. 12．已知，则= . 13．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ． 14．如图，在1×9的格子中，数字1,2,3…，9从左到右为升序排列，现在用计算机随机生成一个整数，若为奇数，则将格子中数字1和9的位置互换，3和7的位置交换，其余位置不变；若为偶数，则将格子中数字2和8的位置互换，4和6的位置交换.设电脑随机生成个数字后，格子中的数字恰好从左到右为降序排列的概率为，则 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分） 在中，角对边分别为，已知. (1)求； (2)若为上一点，且，求的面积. 16．（本小题15分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有50%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 17．（本小题15分） 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2) 求的极值． 18．（本小题17分） 函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形. （1）求的值及函数的值域； （2）若，且，求的值； （3）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移个单位，得到的图象，若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围. 19． （本小题17分） 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． (1)若时，求证：； (2)若时，求证：； (3)若，直线与曲线交于，两点，求证：<<.（其中为自然常数） 高二数学（第4页，共4页） 高二数学（第3页，共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年段期末六校联考数学试卷命题双向细目表 题号 题 型 分值 考查知识点 考查能力要求 预估难度值 实测难度值 1 单选题 5 集合的运算 掌握 0.95 2 单选题 5 解三角形 掌握 0.90 3 单选题 5 充分必要条件 掌握 0.80 4 单选题 5 排列组合 理解、掌握 0.70 5 单选题 5 函数性质的简单应用 掌握 0.65 6 单选题 5 对数的运算 理解、掌握 0.60 7 单选题 5 基本不等式 掌握 0.60 8 单选题 5 函数的零点与三角函数 理解、掌握 0.40 9 多选题 6 二项式定理 掌握 0.80 10 多选题 6 概率 理解、掌握 0.60 11 多选题 6 函数的应用 理解、掌握 0.40 12 多选题 5 三角恒等变换 掌握 0.90 13 填空题 5 函数 掌握 0.70 14 填空题 5 排列组合与概率综合 理解、掌握 0.40 15 解答题 13 解三角形 掌握 0.80 16 解答题 15 独立事件、分布列 理解、掌握 0.75 17 解答题 15 函数与导数问题 理解、掌握 0.65 18 解答题 17 三角函数 理解、掌握 0.40 19 解答题 17 函数与导数的综合问题 理解、掌握 0.30 合计 150 全卷预估 0.62 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年段期末六校联考 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D B D C A BC ACD 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14． 15．（1）；（2） 【详解】（1）由余弦定理可得： ，则，……………………3分 ，………………………………………………5分 ………………………………………………6分 （2）由三角形面积公式可得，………………10分 则.……………………………… 13分 注：其他方法也可酌情给分 【详解】 （1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B， 由题意可知：事件A与B事件独立，，则……2分 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率为……5分 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率.……7分 由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，…………1分 ， ……………………………………5分 的分布列：……………………………………………………………………………………6分 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 的期望.…………………………………………………………………8分 17．（1）当时，则，，………………………………1分 可得,即切点坐标为，切线斜率，………………………3分 所以切线方程为 ，即…………………………………………5分 （2）因为的定义域为，且，…………………………………………6分 若，则对任意恒成立，…………………………………………………7分 可知在上单调递增，无极值；………………………………………………………9分 若，令，解得；………………………………………………………10分 令，解得；…………………………………………………………………11分 可知在内单调递减，在内单调递增，……………………………13分 则有极小值，无极大值.…………………………………………15分 18．（1）由于△ABC的高为2，则BC=4，…………………………………………………1分 所以，的最小正周期，即，故，……………………………3分 所以，函数值域为.…………………………………………………………4分 （2）由（1），，即，…………………5分 由，则，所以.……………7分 故 .………………………………………………………………………………………………10分 （2） …………………………………………………12分 令，则，故令. 要使关于x的方程在上有两个不同的根，则关于t的方程在上只有唯一解， 有以下几种情况： ，解得；……………………………………………13分 解得或， 当时，，满足题意； 当时，，不符合题意，舍去.…………………………………………………………15分 当时，解得，此时另一个根不在上，所以符合题意.………………16分 综上，a的取值范围是或.……………………………………………………17分 19．（1）因为，且， 当时可知………………………………………………………1分 所以…………………………………………………………………………2分 所以， ，所以成立；……………………………………4分 （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 设，与轴分别交于点A，B 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于，……………………………………………………………7分 所以，………………………………………………8分 所以，，得证．………………………………………………9分 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为，要证，作差得， 即证：在恒成立，……………………………………………………6分 构造函数：，则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证；………………………………………………………9分 （3）因为，所以，………………………………………………10分 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，，………………12分 故直线与曲线交于，，所以，………………13分 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得：……………………………………………………14分 由第（2）问知：， 所以，…………………………………………16分 所以，即， 所以成立．…………………………………………………………………………………17分 答案第1页，共2页 高二数学（第1页，共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年第二学期高二年段期末六校联考 数学答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 0 0 D 0 BC ACD 题号 11 答案 ABD 12 9 13.(0,1)U1,2) [0,n为奇数， 14. 1 n偶数 15.(1)1 :2 14 10 【详解】(1)由余弦定理可得： a2=b2+c2-2bcc0SA=4+1-2×2×1×c0s120°=7，则a=√7，…3分 cosB=+C2-b2-7+41_5万 …5分 2ac 2×2×V714 sin B=1-co3 B=h-2521 …6分 ΓV28-14 (2)由三角形面积公式可得g4边= 1xABx×AD×sin90 SAACD1xAC×AD×sin30 =4,…10分 2 2 xx sin120°= .…13分 10 注：其他方法也可酌情给分 【详解】 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B, 由题意可知：事件A与B事件独立，P(A)=0.6,P(B)=0.5,则Pa=0.4,P⑧)=0.5，…2分 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率为乃=PaP⑧=0.4×0.5=0.2,5分 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率P=1-卫=1-0.2=0.8.…7分 由题意结合(1)可知：3人中参加过培训的人数5服从二项分布B3,0.8),…1分 5=0,1,2,3, P(5=0)=0.23=0.008,P(5=1)=Cg×0.22×0.8=0.096, 高二数学（第1页，共5页) P(ξ=2=C3×0.2×0.82=0.384,P(ξ=3)=0.83=512，…5分 5的分布列： …6分 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 5的期望E(G）=3×0.8=2.4...… …8分 17.（1)当a=2时，则f(x)=e-2x-8,f(x)=e-2,…1分 可得f0)=-7,f(0)=-1,即切点坐标为(0，-7），切线斜率k=-1,…3分 所以切线方程为y+7=-(x-0),即x+y+7=0…5分 (2)因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=e-a,…6分 若a≤0，则"(x)之0对任意x∈R恒成立，…7分 可知f(x)在R上单调递增，无极值；…9分 若a>0,令f"(x)>0,解得x>na;…10分 令∫"(x)<0,解得X<ha;11分 可知f(x)在(-o,lha内单调递减，在(lna,+o)内单调递增，…13分 则f(x)有极小值∫(ln@=a-aa-d,无极大值…l5分 18.(1)由于△ABC的高为2√3，则BC=4,…1分 所以，x)的最小正周期T=4×2=8,即2=8，故@=交 4 …3分 所以，函数f()值域为-23,23… ………………4分 2)由.-m学）8m-) …5分 由x9.则学+（引所以m受+引-小-号 …7分 故f6+10=26m(经++2sm停+写 4T43 …………………………l0分 5 (2) 织坐标变为原来的5倍 f(x) 6 π 横坐标变为原来的严倍 π →y=sin x+ 4 3 →y=sinx+3 向右平移个单位长度 →g(x)=sinx …12分 高二数学（第2页，共5页) 令t=g(x)=sinx,x∈[0，π]，则t∈[0,1]，故令ht)=2t2-4at+1-a=0. 要使关于x的方程在[0，π]上有两个不同的根，则关于t的方程在t[0,1)上只有唯一解， 有以下几种情况： ①(0-h0）=(a-1(5a-3)<0,解得2<a<1: …13分 ⑦a=16c2-80-a)=0,解得a=2或a=-1, 当a时，1行满足题意： 2 当a=-1时，t=-1,不符合题意，舍去.…15分 ③当t=0时，解得a=1,此时另一个根t=-2不在[0,1)上，所以a=1符合题意.…16分 综上，a的取值范围是a<a≤1或a=之} …17分 19.(1)因为S(a,x)=F(x)-F(a),且f(x)=F'(x), 当f)=时可知（似）=n.x+c6为常数)…1分 所以S(a,x)=hx-lha… …2分 所以S(1,2)=h2-ll=h2, (5,10)=l0-lh5=ln2,所以S(1,2)=S(5,10)成立；…4分 b-a a+b C2)解法：要证万<)，即证S(a,b)>(b-a)b+a 如图可知，S(a,b)为y=与x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。 设x=a,x=b与x轴分别交于点A,B 若直线x-a牛也与曲线y=交于点D, 2 过D做y=上的切线，分别交x=a,x=b于P,O, X 过D做x轴的平行线分别交x=a,x=b于M,N，,则S.wD=Sew, 易知曲面梯形的面积大于S梯形O84P, …7分 2 所以S形QaP=SE形By=(亿-d) …8分 atb 所以，s(ab)>b-a四b十a 2 ，得证.…9分 高二数学（第3页，共5页） b-a a+b 解法二：因为f)=时，S(a,b)=lhb-lna,所以要证3a.b<2, 即证： b-a a+b Inb-Ina 2 2b-1 即证： 2b-a<nb-1m,即证：a。<h b a+b b 1+ 设2=t,1>1,则不等式可化为2<t,c>10,要证2-<m,作差得ht-2-,0, 1+t 1+t 1+t 即证：(t+1)t-2t+2>0在t∈(1，+o)恒成立，…6分 的造数：0-0+u-+2,则公0=m+1,再设@创=m+片1则间=片-分 因为1>1，所以k0=会>0恒成立 所以r(d)=lf+1-1在(，+o)为增函数，所以n(d)=lf+}-1>n(L)=0, 所以h(t)>0在(1，+∞)恒成立，可得h(t)=(t+1)lnt-2t+2在(1，+∞)为增函数， 所以h(t)>h(1)=0,所以(t+1)lt-2t+2>0在t∈(1，+o)恒成立， 所酸不等式。学说立，和正 … …9分 （3)因为(xlnx)=nx+1,所以S(1,x)=xhx,…l0分 令g(x)=S(1x),故g(x)=xnx,g'(x)=hhx+1 所以g在日为减福数，在。树为州函数.g0=日-。…2分 故直线y=c与曲线S1,)交于M(,y),N(s2),所以-1<c<0,…13分 且ix=c,x,l,=c,即有：名成 c② ①+②得：+3=+c-c(+m,) Iny Inx2 Inx Inx2 ①-②得：Xx,= ccc(Inx2 -Inx) …14分 Inx Inx2 Inx lnx2 由第(2)问知：+>书书 2 Inx -Inx2 c(Inx2 -Inx) 所以c(nx+lnx,)、InxInx, -c1<c<0 …l6分 2,ns-lnx,,（e 高二数学（第4页，共5页) 所以血+ln,<-2,即ln(x,)<n马 1 所以0<，成立、 …17分 高二数学（第5页，共5页）