福建省福州市马尾一中等六校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

2024-2025学年第二学期高一年段期末六校联考数学试卷命题双向细目表 题号 题 型 分值 考查知识点 考查能力要求 预估难度值 实测难度值 1 单选题 5 互斥事件与対立事件 掌握 0.95 2 单选题 5 向量夹角 掌握 0.90 3 单选题 5 线面，面面位置关系 掌握 0.80 4 单选题 5 复数的概念与四则运算 掌握 0.85 5 单选题 5 投影向量 理解、掌握 0.80 6 单选题 5 分层抽样，古典概率 理解、掌握 0.75 7 单选题 5 正弦余弦定理的应用 理解、掌握 0.55 8 单选题 5 面面垂直性质定理，线面角 理解 0.35 9 多选题 6 统计 掌握 0.60 10 多选题 6 対立，互斥加法运算，独立乘法运算 理解、掌握 0.50 11 多选题 6 立体几何综合 理解、掌握 0.30 12 填空题 5 方差运算 理解 0.80 13 填空题 5 正四棱台体积 掌握 0.50 14 填空题 5 数量积，等和线 理解、掌握 0.15 15 解答题 13 解三角形 理解、掌握 0.80 16 解答题 15 独立事件的概率 理解、掌握 0.50 17 解答题 15 立几线面平行、线面垂直证明 理解、掌握 0.45 18 解答题 17 古典概率、独立性证明 理解、掌握 0.35 19 解答题 17 立几面面垂直证明、二面角、体积最值。 理解、掌握 0.25 合计 150 全卷预估 0.55 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期末考数学试卷答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知随机事件和互斥，和对立，且， 则（ A ） A. B. C. D. 2、向量，在正方形网格中位置如图所示，则（ D ） A. B. C. D. 3、设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ A ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（ C ） A. B. C. D. 5、已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    B   ） A. B. C. D. 6、某校高一､高二､高三的学生志愿者人数分别为.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心.从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（D ） A. B. C. D. 7、如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（A ） A. B. C. D. 8、如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（ C ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了120名学生的1分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为6组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这120名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为2，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为2.5．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（ BD ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的60%分位数约为135 C．估计该年级学生跳绳次数在140次及以上的学生跳绳次数的平均数为147.5 D．估计该年级学生跳绳次数在140次及以上的学生跳绳次数的方差为26.2 10．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列正确的是（BCD ） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 11、如图，为圆锥底面圆的直径，点B是圆上异于A， C的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆. 则下列正确的是（ACD） A. 圆锥的表面积为 B. 三角形面积的最大值为2 C. 若二面角的正切值为，则三角 形面积的为 D. 圆锥的外接球体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、样本数据3，5，8，2，4，2的方差是 ； 13.在正四棱台中，， 则该棱台的体积为 28 . 14、如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上,则最大值为 9 ，若，则的最大值为 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（13分）在中，角A，B，C的对边分别为，且，， (1)求 (2) 若，则的面积为，求 解：（1） ┉┉┉1分 ┉┉┉2分 由正弦定理得： ┉┉┉3分 ┉┉┉4分 ┉┉┉5分 即┉┉┉6分 ，即 ┉┉┉7分 (2)的面积为，，即┉┉┉9分 由余弦定理得： ┉┉┉10分 ┉┉┉12分 ┉┉┉13分 16、（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率. （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 解：（1）设“甲答对3道题目”，“甲答对2道题目” “乙答对3道题目”，“乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ┉┉┉1分 ，┉┉┉2分 ，┉┉┉3分 ，┉┉┉4分 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，，┉6分 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率.┉┉┉7分 (直接求甲、乙两人共答对5道题目的概率，不扣分） （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， ┉┉┉9分 ┉┉┉11分 E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， ┉┉┉14分 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 ┉┉┉15分 (直接求甲、乙两人只有一人通过面试的概率 ，不扣分） 17、（15分）如图所示的四棱锥 中，，，， ，，； （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）若，B，C，D在同一个球面上，证明:这个球的球心在平面 ABCD上: 17（1）证明： ┉┉┉1分 ┉┉┉2分 ┉┉┉3分 ┉┉┉4分 ┉┉┉5分 （2）证明： ┉┉┉6分 ┉┉┉7分 ┉┉┉8分 ┉┉┉9分 ┉┉┉10分 （3）证明： ┉┉┉11分 ┉┉┉12分 ┉┉┉14分 ┉┉┉15分 （用空间向量解不得分） 18．（17分）已知集合的“集合价”定义：含有个元素的集合其“集合价”为，例如含有一个元素的集合其“集合价”为，已知一个数集，， （1）集合的“集合价”为，集合A为集合的子集，设事件D=“集合A至多含有一个元素”，求事件D的概率； （2）当时，集合B为集合的子集，求集合B的“集合价”为的概率； （3）在（2）条件下设事件“集合B的“集合价”为”，事件“集合B的元素有1”，判断事件与事件是否相互独立. 解：（1）集合的“集合价”为 集合有3个元素 ┉┉┉1分 集合的子集有个，共8个样本点 ┉┉┉2分 满足事件D=共4个， ┉┉┉3分 事件D的概率 ┉┉┉5分 （2） 集合M= 集合的子集有个，共16个样本点 ┉┉┉7分 设事件C=“集合B的“集合价”为”，则集合B有2个元素 ┉┉┉8分 事件C=共6个 ┉┉┉9分 集合B的“集合价”为的概率 ┉┉┉11分 （3） 集合B的“集合价”为，则集合B有3个元素 事件，共4个┉┉┉12分 ┉┉┉13分 事件共8个 ┉┉14分 ┉┉┉15分 事件共3个 ┉┉┉16分 即事件与事件不独立 ┉┉┉17分 19.（17分）如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面． （1） 当，分别是边，的中点时； ①求证： ②求二面角的正切值 （2）若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 19.（1）①证明： ┉┉┉1分 ┉┉┉3分 ┉┉┉4分 ②解： 由①可知 ┉┉┉5分 ┉┉┉6分 ┉┉┉7分 ┉┉┉8分 ┉┉┉9分 （2）过P点作，垂足为H，则，┉┉┉10分 平面平面BMN，平面平面，平面PMN，，平面BMN， 在中，，则，┉┉┉11分 ，┉┉┉12分 ， ┉┉┉13分 令， ┉┉┉14分 则， ┉┉┉15分 令，则函数在单调递增 ┉┉┉17分 （注用空间向量解不得分） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一年段期末六校联考 数 学 试 卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题校：连江尚德中学 班级__________姓名____________准考证号_____________座号__________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知随机事件和互斥，和对立，且， 则（ ） A. B. C. D. 2、向量，在正方形网格中位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3、设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（ ） A. B. C. D. 5、已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6、某校高一､高二､高三的学生志愿者人数分别为.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心.从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（ ） A. B. C. D. 7、如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 8、如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了120名学生的1分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为6组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这120名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为2，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为2.5．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（  ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的60%分位数约为135 C．估计该年级学生跳绳次数在140次及以上的学生跳绳次数的平均数为147.5 D．估计该年级学生跳绳次数在140次及以上的学生跳绳次数的方差为26.2 10、如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列正确的是（  ） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 11、如图，为圆锥底面圆的直径，点B是圆上异于A、 C的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆. 则下列正确的是（  ） A. 圆锥的表面积为 B. 三角形面积的最大值为2 C. 若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D. 圆锥的外接球体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、样本数据3，5，8，2，4，2的方差是 ； 13、在正四棱台中，， 则该棱台的体积为 . 14、如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上,则最大值为 ，若，则的最大值为 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（13分）在中，角A，B，C的对边分别为，且，， (1)求 (2) 若，则的面积为，求 16、（15分）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率. （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率. 17、（15分）如图所示的四棱锥 中，，，， ，，； （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）若，B，C，D在同一个球面上，证明:这个球的球心在平面 ABCD上: 18、（17分）已知集合的“集合价”定义：含有个元素的集合其“集合价”为，例如含有一个元素的集合其“集合价”为，已知一个数集，， （1）集合的“集合价”为，集合A为集合的子集，设事件D=“集合A至多含有一个元素”，求事件D的概率； （2）当时，集合B为集合的子集，求集合B的“集合价”为的概率； （3）在（2）条件下设事件“集合B的“集合价”为”，事件“集合B的元素有1”，判断事件与事件是否相互独立. 19、（17分）如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面． （1） 当，分别是边，的中点时； ①求证： ②求二面角的正切值 （2）若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 连江尚德中学2024-2025高一期末模拟考试 数学答题卡 考场/座位号：         姓名：                班级：                正确填涂 缺考标记 准考证号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置 上．） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对得6分、部分选对的得部分分，有选 错的得0分．） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 13. 14. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．） 第1页 共6页 15. （本题13分） 第2页 共6页 16. （本题15分） 第3页 共6页 17. （本题15分） 第4页 共6页 18. （本题17分） 第5页 共6页 19. （本题17分） 第6页 共6页