福建省三明市永安市第九中学2026届高三上学期8月暑假月考数学试卷

永安九中2025-2026学年第一学期8月月考 高三数学 一、单选题 1．若集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．函数 的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1） 8.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞) 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．是第二象限角 B．若为锐角，则为钝角 C．若，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 10．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 11．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．的对称中心为 C．过点作曲线的切线有三条 D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 三、填空题 12．已知点是角α的终边上一点，则 ． 13．已知实数，满足，则的值为 ． 14．已知函数，且关于的不等式的解集为．当时，恒成立，则实数k的取值范围是 . 四、解答题 15．求值。 (1)；(2)． 16．在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求的值；(2)求的值． 17.设函数，若曲线在处的切线方程为． (1)求实数的值。(2)证明：函数有两个零点。 18．已知函数．(1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19.已知函数。(1)求函数的单调区间； (2)若，在内存在不等实数，使得，证明：。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 永安九中2025-2026学年第一学期8月月考高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A C A D B ACD BC 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案． 【详解】因为，所以， 即或者，解之可得或或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。 所以实数a的个数为2个. 故选：B 2．D 【详解】当时，选项A错误； 当时，选项B错误； 当时，选项C错误； ∵函数在上单调递增， ∴当时，． 本题选择D选项. 点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 3．A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】若，，则，所以是的充分条件， 若，满足，而，所以不能推出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 4．A 【分析】由，可得，函数为奇函数，排除B、D项，再由，排除C项，即可得到答案. 【详解】由函数，定义域为， 有， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 又由，可排除C项， 所以函数的图象为选项A. 故选：A. 5．C 【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间. 【详解】解:由题知, 由于均为单调递增, 所以随着的增大也增大,故在单调递增, , 根据零点存在定理, 零点在区间内. 故选:C 6．A 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得 ，，，所以， 故选：A. 7．D 【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0． 【详解】由解得，又，得. 故选：D． 8．B 【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，）． 故选B． 9．ACD 【分析】直接利用象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式的应用判断、、、的结论． 【详解】解：对于：因为所以与的终边相同，而为第二象限角，所以为第二象限角，故正确； 对于：若为锐角，则为锐角、直角或钝角，故错误； 对于：若，则，故正确； 对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得， 故该扇形的面积为，故正确． 故选：． 10．BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 11．AB 【分析】求得，利用导数求得函数的单调区间，结合极值点的概念，可得判定A正确；根据为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B正确；作出的大致图象，结合函数的性质，可判定C错误；根据函数的单调性，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得，令，可得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确； 对于B中，因为函数为奇函数，关于对称， 所以函数关于中心对称，所以B正确； 对于C中，作出的大致图象，如图所示， 当时，为上凸函数，在拐点处的切线为， 它与恰交于； 当时，为上凹函数，， 过只能作的两条切线，所以C错误； 对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减； 要使有零点，则只需，解得， 当时，大致图象如下 可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误. 故选：AB． 12．/ 【分析】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得. 【详解】点即， 依题意，. 故答案为:. 13． 【分析】通过指对互化，结合对数换底公式完成计算. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】首先根据韦达定理求，再根据根据参变分离，转化为最值问题，求实数的取值范围. 【详解】由题意可知，的解集为， 则方程的根为1和4，所以，即， 即，所以，恒成立， 即，， 当时，单调递减，， 所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得. 【详解】（1）； （2） . 16．(1)；(2). 【分析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得、的正弦值、余弦值，利用两角和的正弦公式可求得的值； （2）求出的正弦值、余弦值，利用两角和的余弦公式可求得的余弦值，求出的取值范围，即可求得结果. 【详解】（1）解：利用三角函数的定义可得，， 又、是锐角，所以，， 所以，. （2）解：因为，， 又是锐角，则，所以， 又因为，则， 而，所以． 17.【分析】（1）利用导数的几何意义代入即可得的值； （2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论； （3）利用（1）（2）中的结论，结合单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明. 【详解】（1）由题意可得， 由切线方程可知其斜率为， 所以，解得． （2）由可得，所以； 函数有两个零点即函数有两个零点． ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 又，，， 所以，， 由零点存在定理可得使得， 使得， 所以函数有两个零点． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即，所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19.已知函数。(1)求函数的单调区间； (2)若，在内存在不等实数，使得，证明：． 【详解】（1）函数定义域为， 二次函数的对称轴是 ①若时，在上，从而，函数的单调递增区间是； ②若时，， ∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是； （2）由对称性不妨设， ， 若，由（1）得在上单调递增，有，与已知条件矛盾； 时，同理可推出矛盾． ，，                              要证明：，只需证明： ，在上单调递增，∴只需证明： 又，∴只需证明： 构造函数，                    其中． 当时， 在单调递减， 时， 成立 由在定义域内单调递增得，，即成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$