精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024-2025学年第一学期期中调研 九年级数学试卷 注意事项 1．本试卷共27题，满分130，考试时间120分钟． 2．答题前．考生务必将自己的考试号、姓名、班级、学号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上，用2B铅笔准确填涂班级和学号． 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂照，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上．不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判定即可．本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是二元二次方程，不符合题意； B、当时，是一元二次方程，不符合题意； C、方程整理得：，是三元一次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 某企业月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ ） A. 月份利润的增长快于月分利润的增长 B. 月份利润的极差和月分利润的极差不同 C. 月份利润的的众数是130万元 D. 月份利润的的中位数为120万元 【答案】C 【解析】 【分析】从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果． 【详解】解：A．因为月份利润增长了万元，月份利润增长了万元，所以月份利润的增长慢于月份利润的增长，故不正确； B．因为月份利润的极差是，月份利润的极差是，所以月份利润的极差和月份利润的极差相同，故不正确； C．因为130出现了2次，出现的次数最多，所以月份利润的的众数是130万元，故正确； D．月份利润的的中位数为115万元，故不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了折线统计图，主要利用了方差的定义，众数的定义，中位数的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键． 3. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求得函数图象的开口方向和对称轴，根据各点离对称轴的距离求解即可． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 4. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键． 5. 对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， 故①③正确， 故选：B． 6. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解． 【详解】解：∵，P点为圆心， ∴， 故选：C． 7. 已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键．先分别求出、、三点的横坐标与的关系，并计算出表示的代数式，再根据一次函数与二次函数相交，求出交点，二次函数的最大值为，要使直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，且，所以根据函数图象的特征可得的取值范围在和之间，即可求出的取值范围． 【详解】解：直线与一次函数交于点，点的横坐标为， 点，且满足， 即． 直线与二次函数图像交于、两点，、两点的横坐标分别为、，且， ， 解得，． ． 一次函数与二次函数相交， ， 解得，， 当时，，当时，， 一次函数与二次函数相交于，． 的对称轴为，且开口向下，最大值， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．） 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得，再根据一元二次方程二次项系数不为零建立不等式，求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴, 解得, 又∵;是关于的一元二次方程， ∴, ∴且, 故答案为：且. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键. 10. 甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是，则成绩比较稳定的是___（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【详解】试题分析：方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定．因此， ∵，∴成绩比较稳定的是甲． 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】由m是方程的一个根，将x=m代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：把x=m代入方程，得： ， ∴， ∴ = = =2024 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 13. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，已知A点坐标为，且对称轴为直线，则B点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点关于对称轴对称，据此即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，已知A点坐标为，且对称轴为直线， ∴， 则B坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线对称的点的坐标是本题的解题关键． 14. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求的点C、点D的坐标成为解题的关键． 先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令，即可求得点D的坐标，然后求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∵是半圆的直径， ∴， 当时，， ∴D点坐标为， ∴， ∴． 故答案为3． 15. 如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点F，由垂径定理得，，由是的中位线，可得，由圆周角定理得，证明，推出，进而可得，最后由勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接交于点F， 是的中点， ，， 又， 是的中位线， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 的直径， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点，作垂直延长线于点，设，，，在中，则，在中，则，最后可求解. 【详解】解：如图，连接，作于点，作垂直于延长线于点， ∵上三点B、C、D将圆三等分 ∴， ∵， 设，， 在中，， ∴ ∴， ∴ 在中，则 同理在中，则 ∴ 解得：或（不合题意，舍去） ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是与圆有关的综合题，难度适中，解答的关键是认真审题，找到相关联的信息，结合图形，掌握相关知识的运用是解答的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共82分，请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）无解； （2），； （3），； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． 根据一元二次方程根的判别式可知方程无解； 利用公式法解一元二次方程； 利用平方差公式分解因式，可得：，可得两个关于的一元一次方程，解一元一次方程求出一元二次方程的解； 利用完全平方公式分解因式可得：，两边同时开平方求出方程的根． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， 方程无解； 【小问2详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问3详解】 解：， 用平方差公式分解因式得：， 整理得：， 可得：或， 当时，， 当时，， 方程的解为，； 【小问4详解】 解：， 移项得：， 利用完全平方公式分解因式得：， 解得：． 18. 八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘了如图图表（满分10分，学生得分均为整数）． （1）补充完成下列的成绩统计分析表： 班级 平均分 中位数 众数 方差 一班 7.1 _____ 6 2.69 二班 6.9 8 _____ 5.89 （2）小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察表可知，小亮是_____班学生；（填“一”或“二”） （3）甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些．乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由． 【答案】（1）7；8； （2）一； （3）支持乙同学的理由：二班学生的众数高于一班；二班学生的中位数高于一班．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数以及众数，弄清题意是解本题的关键． （1）由图表知一班总人数，再将一班成绩按照从小到大的顺序找出第20，21个数据均为7，所以一班中位数是7；从图表中可直接得出二班众数； （2）观察表格，成绩为7分处于中游略偏上应为一班学生； （3）根据平均数、中位数、众数的意义判定并说明理由即可． 【小问1详解】 解：从条形统计图可知一班人数为：人， 处在最中间的两个数为第20个数据7分，第21个数据7分， 所以一班中位数是7分， 从条形统计图可知二班成绩的众数为8分； 故填表为： 班级 平均分 中位数 众数 方差 一班 7.1 7 6 2.69 二班 6.9 8 8 5.89 故答案为：7；8； 【小问2详解】 观察表格，成绩为7分处于中游略偏上应为一班学生； 故答案为一； 【小问3详解】 虽然一班的平均分比二班高，但从统计图可以看出，二班有3名学生的成绩为1分，在该组数据中属于极端值，平均分受极端值的影响较大； 支持乙同学的理由：二班学生的众数高于一班；二班学生的中位数高于一班． 19. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 【答案】（1），； （2） 如图所示： （3） （4）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像及性质，以及函数平移，解题关键是熟悉二次函数的图像和性质. （1）利用配方法求出写出顶点式即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据题意由函数平移原则“左加右减，上加下减”写出即可； （4）根据函数图像可求解. 【小问1详解】 解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； 【小问4详解】 ∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 20. 受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元． （1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？ （2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？ 【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适． 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解； （2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： （个）； 答：平均每天可售出60个． （2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意得： ， 解得：， ∵要让利于消费者， ∴； 答：这种电子产品的销售单价定为70元合适． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 21. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 【答案】（1）50° （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，利用互余计算出，然后计算出的度数，则根据圆心角定理得到的度数； （2）利用斜边上的中线性质得到，再判断为等边三角形，则，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算． 【小问1详解】 解：连接，如图， ，， ， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 是的中点，， ， ， 为等边三角形， ，， 阴影部分的面积； 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、圆心角定理、互余、等边三角形等知识点：求不规则图形的面积，转化用规则的图形面积进行求解；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；利用角的正弦值求边长，解题的关键是将不规则图形面积转为规则图形面积求解． 22. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 【答案】（1）； （2）这个矩形的周长． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知，， ∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴， ∴这个矩形的周长为： ． 23. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，与轴的另一个交点为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． （1）把点，两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可； （2）假设在抛物线上存在点，使得利用三角形面积求得的纵坐标，进而即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：把点，代入得： 解得： ∴抛物线的解析式是：； 【小问2详解】 解：假设在抛物线上存在点，使得 令则 解得：或， ∴， 即 ∵点P在轴上方的抛物线上， 当时，可得 解得： ∴符合条件的点坐标为或． 24. 如图，等腰三角形内接于，，过点作，交于点，过点作的切线交的延长线于点，已知，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）求的直径长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接并延长交于H，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵，， ∴为的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）10 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于H，连接，，利用切线的性质得，再证明为的中垂线，则，得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）根据题意利用平行线的性质得到，则，所以，于是得到，利用垂径定理得到，则根据勾股定理可计算出，设的半径为r，则，在中利用勾股定理得，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设的半径为r，则， 在中， ∴， 解得， ∴的直径长度为10． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质、平行四边形的判定、垂径定理、圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【答案】（1）y=x+3， y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，） 【解析】 【分析】（1）首先由题意根据抛物线的对称性求得点B的坐标，然后利用交点式，求得抛物线的解析式；再利用待定系数法求得直线的解析式； （2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点、点C为直角顶点、点P为直角顶点去分析求解即可求得答案． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B， ∴B的坐标为：（﹣3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x+3）， 把C（0，3）代入，﹣3a=3， 解得：a=﹣1， ∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3； 把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得： ， 解得：， ∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3； （2）设P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10， ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2， 即：18+4+t2=t2﹣6t+10，解之得：t=﹣2； ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2， 即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4， ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2， 即：4+t2+t2﹣6t+10=18， 解之得：t1=，t2=； 综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合思想解题是本题的解题关键. 26. 如图，等腰，，以为直径作，分别交、于E点、D点，连接，作于F． （1）求证：为切线； （2）连接，作于H． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴为切线； （2） ①证明：连接，取中点，连接，则，如图， ∴， ∴四边形内接于圆O， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又， ∴； 又， ∴ 又， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难点是作辅助线构造全等三角形． （1）连接，根据等腰三角形的性质可得出，，从而得出，由可得出可得结论； （2）①连接，取中点，连接，则，得出，证明，得出，证明得,即可得出结论； ②设，则，延长交于点，连接，证明得，得出；设，得，，在中，，得，在中，得；在中，，联立方程，消去可求出x的值，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：①略 ②设，则， 延长交于点，连接，如图， ∵是圆的直径， ∴, ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴, ∵, ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）； 在中，； 在中， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴， 即． 27. 如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． （1）抛物线对称轴为_____，_______； （2）在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由； （3）在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）解：不存在，理由如下： 根据抛物线的对称性得，得． ∵点在点的右侧，如图， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ∴点不在抛物线上，即不存在点Q，使为的等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，圆的切线的性质，垂径定理以及勾股定理等知识，准确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据抛物线与轴的交点坐标确定抛物线的对称轴，设圆心，根据圆与轴相切得圆的半径为5，在中由勾股定理得，可得，得，把代入计算可得； （2）根据抛物线的对称性得，可得，由点在D点右边知，，过点作，交的延长线于点，则，，可求出，，得出，把代入得，故可得点不在抛物线上，即不存在点Q，使为的等腰三角形； （3）连接，作点关于的对称点，作直线，则平分，可得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求解方程组，可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵圆与x轴交于、两点， ∴圆心在直线上， 设圆心，连接，设对称轴与x轴交于点，如图， ∵轴，与轴相切， ∴ 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴圆的半径为5，即， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为， 把代入得：． 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，作点关于的对称点，作直线交抛物线于点P，则平分， ∴， 设的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴的解析式为； 联立方程组， 解得或， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中调研 九年级数学试卷 注意事项 1．本试卷共27题，满分130，考试时间120分钟． 2．答题前．考生务必将自己的考试号、姓名、班级、学号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上，用2B铅笔准确填涂班级和学号． 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂照，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上．不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 某企业月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ ） A. 月份利润的增长快于月分利润的增长 B. 月份利润的极差和月分利润的极差不同 C. 月份利润的的众数是130万元 D. 月份利润的的中位数为120万元 3. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 5. 对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 6. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 7. 已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（ ） A. B. C. D. 8. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．） 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 10. 甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是，则成绩比较稳定的是___（填“甲”或“乙”） 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 12. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 13. 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，已知A点坐标为，且对称轴为直线，则B点坐标为__________． 14. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为______． 15. 如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 16. 如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则_____． 三、解答题（本大题共10小题，共82分，请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘了如图图表（满分10分，学生得分均为整数）． （1）补充完成下列的成绩统计分析表： 班级 平均分 中位数 众数 方差 一班 7.1 _____ 6 2.69 二班 6.9 8 _____ 5.89 （2）小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察表可知，小亮是_____班学生；（填“一”或“二”） （3）甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些．乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由． 19. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； （3）把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； （4）当时，的取值范围是______． 20. 受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元． （1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？ （2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？ 21. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 22. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 23. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，与轴的另一个交点为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，等腰三角形内接于，，过点作，交于点，过点作的切线交的延长线于点，已知，． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）求的直径长度． 25. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B． （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 26. 如图，等腰，，以为直径作，分别交、于E点、D点，连接，作于F． （1）求证：为切线； （2）连接，作于H． ①求证：； ②若，求的长． 27. 如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． （1）抛物线对称轴为_____，_______； （2）在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由； （3）在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $