学案4 空间向量基本定理-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

=b·c-a·c=Ibllelcos60°-lallelcos60°=0， ∴CC1⊥BD,即CC1⊥BD. 课堂达标 1.D[(2a-b)·a=2a3-b·a=21a2-|a1lbl·cos120° =2x4-2x5×(-2）=18.] 2.B[由题意可得a·b=0,e1·e:=0,le1|=e,=1, 所以(2e,+3ez)·(ke1-4e:)=0,所以2k-12=0, 所以是=6.门 3.BCD[周为PA⊥平面ABCD,CD C平面ABCD,所以PA⊥CD, 故PA·CD=0. 图为AD⊥AB,PA⊥AD,且PA∩ AB=A,所以AD⊥平面PAB,所以 AD⊥PB,故DA·PB=0. 同理PD·AB=0.故选BCD.] 4.6591665-23[a·b=|allb1cos(a,b)=3×4X c0s30°=6√5： a=a·a=a|2=9;b2=b·b=lb|=16: (a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2 =9+65-32 =63-23.] 5.5[la-b+2c=(a-b+2c)2=a2+b+4c2-2a·b +4a·e-4b·c=5. .{a-b+2el=√5.] 6.[证明]BD,-BD+DD,-AD-AB+AA, 成-D:+D,正-名店+， 所以BD,·E正=0，所以BD,⊥EF 7.解：由已知得AC⊥CD,AC⊥AB,新叠后AB与CD所成的 角为60° 于是，AC.C市=0，BA.AC=0,且(BA,CD)=60°浅120. IBDI*-(BA+AC+CD)-BA+AC+CD+2BA.AC +2AC.Ci+2Bd.CD=2+1'+2+2×2×2c0s(BA,CD), 故BD13=13或5， 解得BD1=√/3戏5，即B,D问的距离为√/3我5， 学案4空间向量基本定理 课堂活动 活动一理解空间向量基本定理 新知导学 问题提示：如图，设OQ为OP在i,j 所确定的平面上的投影向量，则O护 =0Q+QP. 又向量QP,k共线，图此存在唯一的实 数：，使得QP-k,从而OP-OQ十k. 在i,了确定的平面上，由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对(xy),使得OQ=十以. 从而OP=OQ十k=xd++zk, 新知生成 1.唯一 2.基底 3.两两垂直1 4.两两垂直 新知应用 C[对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共 面，不能作为基底：问理可判断B,D中的向量共面，故选C,] 活动二掌握用基底表示向量的方法 新知应用 1.A[因为AB=a,AC=b,AD=c, 所以Ai=2a+b),aG=号6+e, 所以MG=AG-A=20+0）-2(a+b) -e-) 所以元+A店-号(e-a)+号b+e)=-号a+b+c] 2.A[在四面体OABC中，由M,N分别为线段OA,BC的 中点， 得-0-0M=0成+0)-2oi =-a+o丽+， 而MN=xOA+yOi+O元 由空间向量基本定理得x=一交)=乞比=立 所以十y=一子】 3.解：1)证明：AC=A店+Ai+AA=A店+Ai+号AA +号M-(店+号)+(i+号M)=店+B +AD+DF=AE+AF,A,E,C,F四点共面 ()EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE) -茄+号丽，-店-丽，=-店+a市+M, x=-1y-1=号xty+=号 1 4.解：如图，连接AC,EF,DF,BD1, D D,B=D,D+DB =-AA,+AB-AD=a-b-c, 成-i+求-名D,A+Ad- -+)+2丽+a而)-号-d 母题变式：解：DF-名(D,D+D)-之（-A+D,) 2(-c+a-b-c)=2a-2b-c 5 课堂达标 1.C[对于A,因为向量AB,BC, AC是共面向量，AC∥A1C:,所以 AB,BC,A1C,是共面向量，所以不 能构成基底，所以A错误： 对于B,因为AB,AB1,AA1是共 面向量，所以不能构成基底，所以B 错误： 对于C,周为AB,AC,AA这三个向量不共面，所以能构成 基底，所以C正确， 对于D,因为A1,AC,A,C,是共面向量，所以不能构成基 底，所以D错误.故选C.] 2.B[图为《OA,OB,OC)为空间的一个基底，所以非零向量 01,0B,0心不在同一平面内， 即O,A,B,C四点不共面，所以A,C,D选项说法正确， B错误.] 3.c[周为M-AN-AM=AD-(B+名BC)= 号心-A店-是C-A)-专西-号店-号C, 所以==号=故] /1=1, 4.AD[对于A,设a+b=A(a-b)+c,则1=-入，此方程 4=0, 组无解， 所以a十b,a一b,c不共面，故选项A符合题意： 对于B,设a十b-aa十4(a一b), 则公十=1解释8=2， 1=-u, =-1, 故选项B不符合题意； 对于C,a+b=一c+a十b+e,所以a+b,c,a+b+e共面， 故选项C不符合题意： 对于D,设a+b十c=da十4(a十b), 1=入+4， 则1=4，此方程组无解， 11=0, 所以a,a十b,a十b十c不共面，故选项D符合题意。 故选AD.] 5.a+ib+ie [AE-AA,+A:E-AA:+2A,D -AA+(A.C:+A,B)-AA,+1AB+1AC 6.0[以(PA,PB,PC}为一个基底， 则AM-(A店+AC)-(P店-P+F元-Pi -pi+啦+元 所以x=一1y=g=2江十y十=0.] 16 7言a+号+oi-0驴+Pi=号oi+号p0 1 =2oi+号0成-o) -i+号(6丽+) =20i+日0成+0元-0 =名0i+3o丽+0 学案5空间向量基本定理的应用 课堂活动 活动一 证明平行、共面问题 新知导学 问题1提示：平行和点共线可以转化为向量共线问题：点线共 面可以转化为向量共面问题. 新知应用 1.[证明]取ED=a,EF=b,EH=c, WHG-HB+BC+CG-D'F+2ED+7AA -EF-ED+2ED+(AH+HE+EA) 1 =b-a+2a+2(b-a-c-a） =2-7 1 所以HG与b,c共面，即HG与E正，Ei共面， 即E,F,G,H四点共面， 2.[证明]取基底AA产，AB,AD 1)周为酝-ED+D店-A币+A店， AC-AB+AD-2EG 所以EG∥AC,又EG,AC无公共点，所以EG∥AC (2图为元-F币+D元-Ad+}, AB-AB+AA-2FG. 所以FGAB,又FG,AB'无公共点，所以FG∥AB' 又FG丈平面AB'C,AB'C平面AB'C, 所以FG∥平面ABC. 又由(I)知EG∥AC,ACC平面AB'C,EG丈平面AB'C, 可得EG∥平面AB'C, 又FG∩EG=G,FG,EGC平面EFG, 所以平面EFG∥平面AB'C. 活动二利用空间向量求夹角、证明垂直 新知应用 1.B[知图，AD,.DC-AB,.BC =(AD+DD)·DC-(AB+BB)·BC -(AD+AA)·AB-(AB+AA)·AD =AD.AB+AA,·AB-AB.AD-AA:·ADnull