第3章 图形的相似 单元测试2025-2026学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试 一、选择题 1.两个相似三角形的对应角平分线的比为1：4，则它们的周长比为（　　） A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.以上答案都不对 2.已知两地相距10 km，在地图上相距10 cm，则这张地图的比例尺是（　　） A.100000：1 B.1000：1 C.1：100000 D.1：1000 3.如图，E是平行四边形ABCD边AB的延长线上一点，DE交BC于F，则图中的相似三角形共有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4.若（m+n）：n＝5：2，则m：n的值是（　　） A.5：2 B.2：3 C.2：5 D.3：2 5.已知两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对角平分线的比为（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16 6.已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若，B1D1＝4，则BD的长是（　　） A. B. C.6 D.8 7.如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列命题正确的是（　　） A.位似图形一定不是全等形 B.相似比等于1的两个位似图形全等 C.两个位似图形的周长比等于相似比的平方 D.两个位似图形面积的比等相似比 9.下列说法正确的是（　　） A.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B.两个矩形一定相似 C.有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D.相似三角形一定不是全等三角形 10.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　） A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 11.如图，已知：△ABC、△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），到如图所示的位置时，BC分别与AD、AE相交于点F、G，则图中共有（　　）对相似三角形． A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图，在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），由B、O、C组成的三角形与△AOB相似，下列满足条件的点C是（　　） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（﹣2，0） 二、填空题 13.如图，    ，    ． 14.已知P是线段AB上一点，且AP：PB＝2：5，则AB：PB＝    ． 15.已知3a＝2b（a≠0），则a：b＝　    　． 16.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10．将矩形ABCD分成矩形ABNM和矩形CDMN． （1）若矩形CDMN与矩形ABCD相似，则DM的长是　    　； （2）若矩形ABNM与矩形CDMN相似（两矩形全等的情况除外），则DM的长是　   　． 17.在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 mm，BC＝12 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，那么当△PBQ与△ABC相似时，△PBQ的面积是　    　mm2． 三、解答题 18.如图，在△ABC中，∠A＝72°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与△ABC相似，下面有四种不同的剪法． （1）请选择其中一种正确的剪法　      　（填序号）； （2）写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 19.已知：0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值． 20.如图，在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）．以C为位似中心，请在第一象限画出把△ABC放大两倍后的位似图形△A′B′C′． 21.已知AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD•AB，求的值． 22.在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，且CF＝DF． （1）求证：△ACD∽△BCF； （2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN． ①求证：∠PMN＝135°； ②若AD＝2，求△PMN的面积． 湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.两个相似三角形的对应角平分线的比为1：4，则它们的周长比为（　　） A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.以上答案都不对 【答案】A 【解析】∵两个相似三角形的对应角平分线的比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：4， ∴周长的比为1：4． 故选：A． 2.已知两地相距10 km，在地图上相距10 cm，则这张地图的比例尺是（　　） A.100000：1 B.1000：1 C.1：100000 D.1：1000 【答案】C 【解析】∵10 km＝700000厘米， ∴比例尺＝10：1000000＝1：100000， 故选：C． 3.如图，E是平行四边形ABCD边AB的延长线上一点，DE交BC于F，则图中的相似三角形共有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】C 【解析】图中相似三角形有：△BFE∽△ADE，△DFC∽△EFB，△DFC∽△EDA，共3对， 故选：C． 4.若（m+n）：n＝5：2，则m：n的值是（　　） A.5：2 B.2：3 C.2：5 D.3：2 【答案】D 【解析】∵（m+n）：n＝5：2， ∴， ∴，即m：n＝3：2， 故选：D． 5.已知两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对角平分线的比为（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16 【答案】B 【解析】∵两个相似三角形的相似比为1：4， ∴这两个三角形对应角平分线的比为1：4． 故选：B． 6.已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若，B1D1＝4，则BD的长是（　　） A. B. C.6 D.8 【答案】C 【解析】∵△ABC∽△A1B1C1， ∴， ∴， ∴BD＝6， 故选：C． 7.如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵BD⊥AC、CE⊥AB， ∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°， ∵∠FBE＝∠ABD， ∴△FBE∽△ABD， ∵∠BFE＝∠CFD， ∴△BFE∽△CFD， ∵∠FCD＝∠ACE， ∴△CFD∽△CAE， ∴△BFE∽△CAE， 综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE这3个， 故选：C． 8.下列命题正确的是（　　） A.位似图形一定不是全等形 B.相似比等于1的两个位似图形全等 C.两个位似图形的周长比等于相似比的平方 D.两个位似图形面积的比等相似比 【答案】B 【解析】A.位似图形有可能是全等形，故此选项错误； B.相似比等于1的两个位似图形全等，正确； C.两个位似图形的周长比等于相似比，故此选项错误； D.两个位似图形面积的比等相似比的平方，故此选项错误； 故选：B． 9.下列说法正确的是（　　） A.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B.两个矩形一定相似 C.有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D.相似三角形一定不是全等三角形 【答案】A 【解析】A.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，因为100°只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意； B.两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意； C.有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意； D.相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 10.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　） A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 【答案】A 【解析】∵以点O为位似中心， ∴点C对应点M， 设网格中每个小方格的边长为1， 则OC，OM2，OD，OB，OA， OR，OQ＝2，OP2，OH3，ON2， ∵2， ∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N， ∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ， 故选：A． 11.如图，已知：△ABC、△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），到如图所示的位置时，BC分别与AD、AE相交于点F、G，则图中共有（　　）对相似三角形． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDA＝90°， ∴∠C＝∠B＝∠DAE＝∠E＝45°， ∵∠CFA＝∠B+∠FAB，∠GAB＝∠FAG+∠FAB， ∴∠CFA＝∠BAG， ∴△CAF∽△BGA， ∴△BGA∽△AGF∽△CAF， 还有△ABC≌△DEA， ∴相似三角形共有4对． 故选：D． 12.如图，在直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），由B、O、C组成的三角形与△AOB相似，下列满足条件的点C是（　　） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（﹣2，0） 【答案】C 【解析】如图，∵∠AOB＝∠BOP＝90°， ∴当OP：OB＝OB：OA时，△BOP∽△AOB， 即OP：2＝2：4， 解得：OP＝1， ∴点P1（1，0）， 同理可得：P2（﹣1，0）； 当OP：OA＝OB：OB时，△BOP∽△BOA， 即△BOP≌△BOA， ∴OP＝OA＝4， ∴P3（﹣4，0）． 故选：C． 二、填空题 13.如图，    ，    ． 【答案】； 【解析】设每个小正方形的边长为1， 则BC2，AC2， ∴，． 故答案为：，． 14.已知P是线段AB上一点，且AP：PB＝2：5，则AB：PB＝    ． 【答案】7:5 【解析】∵P是线段AB上一点，且AP：PB＝2：5， ∴AB：PB＝（2+5）：5＝7：5． 故答案为：7：5． 15.已知3a＝2b（a≠0），则a：b＝　    　． 【答案】2：3 【解析】∵3a＝2b（a≠0）， ∴a：b＝2：3． 故答案为：2：3． 16.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10．将矩形ABCD分成矩形ABNM和矩形CDMN． （1）若矩形CDMN与矩形ABCD相似，则DM的长是　    　； （2）若矩形ABNM与矩形CDMN相似（两矩形全等的情况除外），则DM的长是　   　． 【答案】（1） （2）2或8 【解析】（1）∵矩形ABCD， ∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝4， 设DM＝x，则AM＝AD﹣DM＝10﹣x， ∵矩形CDMN与矩形ABCD相似， ∴当时，即，解得x＝10（舍去）， 当时，即，解得， 综上，， 故答案为：； （2）∵矩形ABNM与矩形CDMN相似， ∴，即，整理得，x2﹣10x+16＝0，解得x＝2或x＝8， ∴DM的值为2或8； 故答案为：2或8． 17.在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 mm，BC＝12 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，那么当△PBQ与△ABC相似时，△PBQ的面积是　    　mm2． 【答案】5.76 mm2或9 mm2 【解析】设P、Q运动的时间是t s， ∴AP＝2t mm，BQ＝4t mm， ∴PB＝（6﹣2t）mm， ∵∠PBQ＝∠ABC＝90°， ∴当PB：AB＝QB：CB时，△BPQ∽△BAC， ∵AB＝6 mm，BC＝12 mm ∴（6﹣2t）：6＝4t：12， ∴t＝1.5， ∴PB＝6﹣2t＝3（mm），BQ＝4t＝6 mm， ∴△PBQ的面积PB•BQ＝9（mm2）； 当BP：BC＝BQ：BA时，△BPQ∽△BCA， ∴（6﹣2t）：12＝4t：6， ∴t＝0.6， ∴PB＝6﹣2t＝4.8 mm，BQ＝4t＝2.4 mm， ∴△BPQ的面积PB•BQ＝5.76（mm2）， ∴△BPQ的面积是5.76 mm2或9 mm2． 故答案为：5.76 mm2或9 mm2． 三、解答题 18.如图，在△ABC中，∠A＝72°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与△ABC相似，下面有四种不同的剪法． （1）请选择其中一种正确的剪法　      　（填序号）； （2）写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【答案】解：（1）①或③（答案不唯一）； （2）①∵∠CDE＝∠A＝72°，∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAB； ③∵∠A＝∠A， ， ∴△CDE∽△CAB． 【解析】 19.已知：0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值． 【答案】解：设k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a+b+c＝36， ∴2k+3k+4k＝36， 解得k＝2， 则a＝2k＝4，b＝3k＝6，c＝4k＝8． 【解析】 20.如图，在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）．以C为位似中心，请在第一象限画出把△ABC放大两倍后的位似图形△A′B′C′． 【答案】解：如图，△A′B′C′为所作． 【解析】 21.已知AB＝2，点C是AB的黄金分割点，点D在AB上，且AD2＝BD•AB，求的值． 【答案】解：∵D在AB上，且AD2＝BD•AB， ∴点D是AB的黄金分割点，且ADAB1， 而点C是AB的黄金分割点， 当C、D重合时，0， 当C、D不重合时，AC＝3， ∴CD1﹣（3）＝24， ∴． 【解析】 22.在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，且CF＝DF． （1）求证：△ACD∽△BCF； （2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN． ①求证：∠PMN＝135°； ②若AD＝2，求△PMN的面积． 【答案】证明：（1）∵△ABC、△CDF都是等腰直角三角形， ∴∠BCF＝45°+∠ECF，∠ACD＝45°+∠ECF， ∴∠ACD＝∠BCF， ∵BC：AC＝CF：CD＝1：， ∴BC：CF＝AC：CD， ∴△ACD∽△BCF； （2）①∵△ACD∽△BCF， ∴∠ADC＝∠BFC＝90°， ∵∠CDF＝45°， ∴∠ADB＝45°， 如图，作PM延长线，交AD于点H， ∵点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点， ∴MH∥DN、MN∥DH， ∴四边形MNDH为平行四边形， ∴∠HMN＝∠ADB＝45°， ∴∠PMN＝135°； ②如图，作PG⊥NM，交NM延长线于点G， ∵△ACD∽△BCF， ∴， ∴BF2， ∵PM为△ABF中位线， ∴PMBF＝1， 同理MNAD， 又∵∠PMN＝135°， ∴∠PMG＝180°﹣135°＝45°， ∴PG， ∴S△PMN•MN•PG． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$