浙江省名校协作体2025-2026学年高三上学期开学联考数学试卷

2025学年第一学期名校协作体试题 高三年级数学学科 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号： 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 4.考试结束后，只需上交答题卷 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知集合A={x5,B={2-4r-5=0,则AnB=（▲) A{5 B.{-1,5 C{-11,5} D.-} 2.已知i为虚数单位，若z1+)=2+4i,则2=（▲） A.2W0 B.√10 c.4W2 D.2W2 3.已知11位同学的身高（单位：cm)分别是167,172,172,175,178,178,182,185,186,188,190， 则这组数据的第80百分位数是（▲） A.185 B.185.5 C.186 D.186.5 4.1-2x0+x)的展开式中x2的系数为（▲） A.-10 B.-15 C.10 D.30 5.已知向量a=(01),3=山，若向量a+6在向量a上的投影狗量为a, 则k=(▲) A.-1 B C.1 2 D 6已知a+B=，ma:tmB=7,则cosa-月=（A 3 B2 c② D.3 3 4 7.已知等差数列{a}的前n项和Sn满足：Ss<Sm4<S6,则数列 的最小项是第（▲）项。 A.2026 B.2027 C.4048 D.4049 8已知函数f树=r+号加+a+da*0,②=号则f四在区间（▲)上一定存在极值点 2 ®扫楼全能王 证在事两销自系 a2习 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f)=sm2x+孕，则下列选项正确的是（▲) Af)的最小正周期为π B在区间（号 上单调递增 C.x)在(0，π)上存在3个零点 D.点（受0是y=因图像的一个对称中心 10.已知双曲线C::-二=1，乃，B分别为其左、右焦点，O为坐标原点，过作直线1与双曲线两支和 两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为A,B,C,D,则下列选项正确的是（▲） A.AD>2 B.4B=CD C若∠OBE=90°，则CB=2 D.若E4=ED,则|AD=4 11如图，现有两种碎片A、B各若干个，且两种碎片均由等大 小的正三角形按图示拼凑而成若一个大正三角形恰好分割成 m个A碎片和n个B碎片，则(m,n)可以是（▲) A.(2,4) B.(4,6) c.(6,8) D.(12,4) 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上。 12抛物线y2=x的焦点坐标为▲ 13.已知正四棱台ABCD-AB,CD的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为√5，则该正四棱台外接球的表 面积为 14.已知同=2，回=1且3a=2a+a(n22),若对于任意的neN,都有a,<问同，则瓦- 证在事两销自原中 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10个相同小球，其中4个红球，6个蓝球，顾客从盒 中不放回地抽取3个球，若恰好抽到3个红球为一等奖，奖金为100元，恰好抽到2个红球为二等奖，奖 金为50元，其余不设奖， (1)在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？ (2)求抽奖一次获得奖金的期望. 16.(15分)如图，已知直角梯形ABCD绕AB旋转匹得到四边形ABEF 其中AB=2,AD=V3,CD=1,∠DAB=∠ADC=90°. (1)求证：AD⊥BE; (2)求二面角A-BE-C的余弦值 17.(15分)在△MBC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且满足2si血C-si血B_ sin2B b (1)求∠BAC的大小： （2》点D是边BC上-点，且满足AD=bc,∠ADC=至，求名的值 漏田日全任 证两销自保 18.17分)已知椭圆E: 学+若-66>0过点40，a-动 (1)求椭圆E的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆E交于C,D两点，点P坐标为(4,0)，直线PC与椭圆的另一个交点为点M, 直线PD与椭圆E的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为(，)，求点C横坐标（用x表示）： ②过点P作PG⊥MN于点G,是否存在定点Q,使得Gg为定值，若存在，求出点Q的坐标，若不存 在，请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=lhx+ar2+bx(a,beR): (D若a=启b=之，求函数y=问的单调递减区同： (2)若存在实数b,使得函数∫(x)有三个不同的零点x,x,, ①求a的取值范围： ②若，x成等差数列，求证：x2>e 漏®全E 两销自保中 2025学年第一学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科参考答案 命题学校：瑞安中学 镇海中学 审核学校：柯桥中学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 2 3 4 5 6 8 答案 D B A B B C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD ABD AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 把答案填在答题卡中的横线上. 12 13.35元 14.√6 四、解答题：本大题共5小题，共77分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 3 (1)P= …5分 8 (2)设获得奖金X元，则 P(X=100)= Cc8=1 30 P(X=50)= CiC3 C610 P(X=0)=1-1-3_2 30103 获得奖金X的分布列如下， 1/6 事两销自保中 X 100 50 0 3 30 2-3 …11分 于是E(X)= 55 …13分 3 16. (1).面ABCD⊥面ABEF 面ABCD∩面ABEF=AB AD⊥AB ∴.AD⊥面ABEF 又，BEC面ABEF ∴.AD⊥BE …6分 (2)(法一)几何法 取AB中点G,作GH⊥BE于H,连CH ……8分 同(1)有CG⊥BE,∴.BE⊥面CHG .BE⊥CH,∴.∠CHG为二面角A-BE-C的平面角 G …11分 CG-AD-,HG ...cH=v5 2 .'cos∠CHG= GH√5 CH 5 …15分 (法二)向量法 如图，以A点为原点，建立空间直角坐标系， 则 2/6 A(0,0,0),B(0,2,0),C(√3,1,0)，E0,1,V3), ……8分 设n(x,y,z)是面BCE的法向量， nBE=0-y+3z=0 即 n.BC=03x-y=0 取x=1,则n=(1,V5,1) …11分 面ABE的法向量m=(1,0,0), …12分 cos(m,n)= mn 5 …15分 5 17.(1) 2sin C-sin B 2sin C-sin B 2c-b a …3分 sin 2B 2sin Bcos B 2bcos B b' .2e-b2acoabe …5分 2ac cos∠BAC5B+Ca=2 ZBACE0,m∠BAC= …7分 2bc (2)②（法-）设4D=x,则bc=,Sac=besin= ……9分 34 a4D:sin∠ADC=2。 =a ax, …11分 4 52 6 44 a.= 2 (D).b+o-d-be..b+c-bc=d=3x=3bc 3 2 b …14分 2 2c-b>0.2 b1 …15分 3/6 (法二)由余弦定理可知a=√b2+c2-bc, 在△MBC中，由正弦定理C= b2+c2-bc ,即 600 sinC 3 2 be -C sin C=- 2 …9分 b2+c2-bc 在△1CD中，由正弦定理y6C b ……11分 sin C V2 2 于是有6cxVB+e2-bcb 3 3 即+e2-bc= bc, 2 c 2 即B2-3bc+c2=0,故b=c或b=2c. …14分 b1 2c-b>0,. …15分 18.(1)椭圆E: 4+y=1…4分 x2 (2)设直线PC:y=k(x+4),联立 +少=1，得 4 y=k(x+4) -32k2 (4k2+10x2+32k2x+64k2-4=0.+xc=4k2+1: …6分 4/6 证两销自深 -32 -32k2 +4 -5x1-8 xc=4k2+1 X= …10分 2x,+5 +1 、x+4 3)ye=k(x+4) 5-8+4)=3。.所以C(5x-8,3 、+4 2x+5 2x+5 2x+5'2x+5 设N(x22),同理， D5x-834） 2x2+5'2x2+5 33y2 2x+52x+5-3y(2x+5)-3y(2x+5)=1 km=-5x-8-5x-8 9 …12分 9 2x+52x2+5 2x+5)-22x+5) 2x2y-2x2+5y-5y2+3x-3x2=0 设直线MN:y=kx+m 2x2(c1+m)-2x(c2+m)+5(c2+m)-5(1+m)+3x1-3x2=0 .2m-5k-3=0 …15分 y=+ 5k+3 2 所以直线MN过定点H(- …16分 当0为阳中点（时.60-3 …17分 4 19. (a)f(x)=x+ eT-3r 3, f'()=2r2-3ex+e …2分 re+ 5/6 证4事周销自保中 所以函数y=∫(x)的递减区间为 …5分 (2)①即血x+ax=-b有3根，则p()=血x+ar有两个极值点， …7分 所以p'(x)=1-h+a=0有两根， 令h(x)=-血x 则闪=3+2血x=0→x=2, x 得()在 增， …9分 图为→时，因→核→时A因→0，A司边 所以a∈ 经检验此时存在b使 血x+ax=-b有3根。…1分 ②nx+nx+a(x2+x32）=-b(x+s)=-2bx,=2nx3+2a2 因为x2+x32+2x3=4x2 所以hxx3-2axx3=hnx32-2ax32 …13分 2a=2 (对数均值不等式) …15分 x3-x3 x3+x3 因为4x2=(x+x)>4x5 所以5>5+发>>心，得证 …17分 2 2a 6/6 车两销n保