2.3 实数 预习讲义 2025-2026学年 苏科版八年级数学上册

2025-2026学年数学苏科版八年级上册 第2章 实数的初步认识 2.3 实数（预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 了解无理数和实数的概念。 2. 知道实数与数轴上的点一一对应关系。 3. 能对实数进行简单的分类。 4. 理解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。 5. 初步体会数形结合的数学思想。 知识点梳理 1. 无理数的概念 · 定义：无限不循环小数叫做无理数。 · 理解要点： · “无限”：小数部分的位数是无限的。 · “不循环”：小数部分没有重复出现的数字序列（循环节）。 · 常见的无理数形式： · 开方开不尽的数，如 √2、√3、√5 等（注意：带根号的数不一定是无理数，如 √4 = 2 是有理数）。 · 圆周率 π 及一些含有 π 的数，如 π、2π 等。 · 具有特定规律的无限不循环小数，如 0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加1）。 2. 实数的概念 · 定义：有理数和无理数统称为实数。 · 说明： · 有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数）。 · 无理数是无限不循环小数。 · 因此，实数可以理解为包括所有的有理数和无理数。 3. 实数的分类 · 按定义分类： 实数 · 有理数：整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数），即有限小数和无限循环小数。 · 无理数：无限不循环小数（如 √2，π 等）。 · 按性质（大小）分类： 实数 · 正实数：正有理数、正无理数 · 零 · 负实数：负有理数、负无理数 4. 实数与数轴的关系 · 对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点一一对应。 · 意义：这一关系说明了实数的完备性，也体现了数形结合的数学思想。 5. 实数的相反数和绝对值 · 相反数： · 实数 a 的相反数是 -a。 · 0 的相反数是 0。 · 例如：√2 的相反数是 -√2，-π 的相反数是 π。 · 绝对值： · 一个正实数的绝对值是它本身； · 一个负实数的绝对值是它的相反数； · 0 的绝对值是 0。 · 即：对于任意实数 a，有 |a| = a （当 a > 0 时）， |a| = 0 （当 a = 0 时）， |a| = -a （当 a < 0 时）。 · 例如：|√3| = √3，|-√5| = √5，|0| = 0。 知识点总结 1. 核心概念： · 无理数：无限不循环小数。 · 实数：有理数和无理数的统称。 2. 重要关系： · 实数与数轴上的点是一一对应的。 3. 实数的分类： · 按定义可分为有理数和无理数。 · 按大小（性质）可分为正实数、零和负实数。 4. 无理数的特征：关键在于“无限”和“不循环”。 5. 实数的相反数与绝对值：与有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全相同，体现了数学知识的连贯性。 巩固练习 一、选择题 1．下列语句中正确的是：（　　） A．正数的算术平方根一定比它本身小 B．两个无理数的和不一定是无理数 C．两个无理数的商一定是无理数 D．实数m的倒数一定是 2．下列语句错误的是（　　） A．无理数都是无限小数 B． C．有理数和无理数统称实数 D．任何一个正数都有两个平方根 3．下列命题是真命题的是（　　） A．的值是 B．没有立方根 C．是有理数 D．实数分为正实数、负实数 4．如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A． B． C． D． 5．估计 的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 6．已知a为实数，下列代数式中，一定比a大的是（　　） A． B． C． D． 7．估算的值在（　　） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 8．下列实数中，无理数是（　　） A． B． C．3.14159 D． 9．一个正数a的平方根分别是与，则这个正数a的值是（　　） A．25 B．49 C．64 D．81 二、填空题 10．的相反数是　 　 ，　 　 ，　 　 ． 11．1﹣ 的绝对值＝　 　，比较大小 　 　 ． 12．比较大小： 　 　 ； 的相反数是　 　． 13．在，3.14159，，－8，，0.6，0，，中是无理数的个数有　 　个. 14．估计大小关系：　 　填，或． 15．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有　 　个. 16．下列各数：，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）中，其中为有理数的是　 　．（填写有理数） 17．如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是　 　． 三、解答题 18． a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示?若 则它的倒数如何表示? 19．根据表格解答下列问题： x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 x2 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是　 　 . （2）≈　 　，=　 　. （3）若13.5＜＜13.6，求满足条件的整数n的值. 20．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： （1）分别求的整数部分a和小数部分b的值 （2）若m是的小数部分，n是的小数部分，求的值． 21．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； （3）把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 参考答案 1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．B 8．D 9．B 10．；；-8 11． ﹣1；＞ 12．； 13．3 14． 15．6 16．， 17． 18．解：实数a的相反数表示为-a，绝对值表示为；若a≠0，它的倒数表示为. 19．（1）±13.8 （2）13.3；137 （3）解：由表格中的对应值可知， 当13.5＜＜13.6时，182.25＜n＜184.96， ∴整数n的值为183，184， 答：满足条件的整数n的值为183或184． 20．（1）解： ∵ ∴ ∴， （2）解： 由（1）知： ∴ ∴ ∴的整数部分为7 ∴m=-7= 同理：14∠<15 ∴的整数部分为14 ∴ ． 21．（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$