4.3一次函数的图象 同步课堂讲义2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

4.3一次函数的图象 讲解目录 【知识点1】一次函数的图象 1 【知识点2】正比例函数的图象 2 【知识点3】正比例函数的性质 3 【知识点4】一次函数的性质 3 【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值 4 【题型2】一次函数的图象 4 【题型3】确定点在正比例函数的图象上 6 【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点 6 【题型5】一次函数的性质 7 【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值 8 【题型7】正比例函数的性质 9 【题型8】已知一点求一次函数的表达式 10 【题型9】求正比例函数表达式 10 【题型10】正比例函数的图象 11 知识讲解 【知识点1】一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1.（2025春•临泽县校级期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y＞0时，x的值是（　　） A．x＜-2 B．x＞-2 C．x＞2 D．x＜2 2.（2025春•花都区期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3.（2024春•鼓楼区校级期中）若k＞0，b＜0，则函数y=kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 1.如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 2.（2023春•南开区期末）函数y=3x的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【知识点3】正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 1.（2024春•武威校级期末）点A（1，m）在函数y=2x的图象上，则m的值是（　　） A．1 B．2 C． D．0 2.（2023春•马尾区校级期末）正比例函数y=-2x的图象经过的象限是（　　） A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 【知识点4】一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1.（2025春•长寿区期末）关于x的一次函数y=-3x+m的图象上有三个点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c），则a,b,c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 2.（2025春•长沙期末）已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 题型专练 【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而增大，则m＝　　． 【举一反三1】已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝　　． 【举一反三2】已知正比例函数y＝kx． （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？ （2）点（1，﹣2）在它的图象上，求它的表达式． 【举一反三3】已知函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数，求m的值，并写出其图象经过哪个象限． 【题型2】一次函数的图象 【典型例题】若式子+（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】一次函数y＝kx﹣b（k≠0）的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（　　） A.x＜0 B.x＞0 C.x＞2 D.x＜2 【举一反三2】一次函数y＝kx+k的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，直线l是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则b＝　　． 【举一反三4】一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　　． 【举一反三5】求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A.B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 【题型3】确定点在正比例函数的图象上 【典型例题】关于正比例函数y＝−x，下列结论正确的是（　　） A.k=-2 B.图象必经过点（-1，2） C.图象不经过原点 D.y随x的增大而减小 【举一反三1】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（　　） A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝−x 【举一反三2】下列各点中，在函数y=-3x的图象上的是（　　） A.(，1) B.(−，1) C.(−，−1) D.（0，1） 【举一反三3】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（　　） A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝−x 【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点 【典型例题】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【举一反三1】一次函数y＝kx+b的部分x和y的部分对应值如表所示，下列结论正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.x＝2是kx+b＝0方程的解 C.此函数图象不经过第三象限 D.此函数图象与x轴交于点 【举一反三2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.该函数的图象经过一.二.三象限 C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.该函数的图象经过一.二.三象限 C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【举一反三4】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【题型5】一次函数的性质 【典型例题】对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A.k＞0 B.kb＜0 C.k+b＞0 D.k＝﹣b 【举一反三1】下列关于一次函数y＝﹣2x+4的性质说法不正确的是（　　） A.函数图象不经过第三象限 B.函数图象与y轴交于点（0，4） C.函数图象与x轴交于点（2，0） D.y的值随着x值的增大而增大 【举一反三2】一次函数y＝﹣x﹣2的图象不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【举一反三3】已知直线y＝kx+1的函数值y随着x的增大而减小，请写出来这样的一条直线：　　．（答案不唯一） 【举一反三4】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题： （1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？ （2）当x取何值时，y＝0？ （3）当x取何值时，y＜0？ 【举一反三5】已知：一次函数y＝﹣2x+3． （1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当x为何值时，y≤0？ （3）当x为何值时，y≤1？ （4）当﹣2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ （5）当1＜y＜5时，求x的变化范围． 【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知一次函数y＝ax﹣4（a常数），若y随x的增大而增大，则a的值可以是（　　） A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 【举一反三1】若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜0 B.k＞0 C.k＜2 D.k＞2 【举一反三2】已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是　　．（写出一个即可） 【举一反三3】已知一次函数y＝（6+3m）x+（m﹣4）. （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象交y轴于负半轴？ （3）m为何值时，函数图象不经过第二象限． 【题型7】正比例函数的性质 【典型例题】P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.不能确定 【举一反三1】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.以上都有可能 【举一反三2】关于函数y＝2x，下列说法错误的是（　　） A.它是正比例函数 B.图象经过（1，2） C.图象经过一、三象限 D.当x＞0，y＜0 【举一反三3】写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式　　． 【举一反三4】已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过　　象限． 【举一反三5】已知函数y＝（k+）（k为常数）． （1）当k为何值时，该函数是正比例函数？ （2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？请画出它的图象． （3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？请画出它的图象． （4）点A（2，5）与点B（2，﹣3）分别在哪条直线上？ 【举一反三6】探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整． （1）下表见y与x的几组对应值． 直接写出m的值是　　． （2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象． （3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：　　． 【题型8】已知一点求一次函数的表达式 【典型例题】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10 【举一反三1】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10 【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10 【举一反三3】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10 【题型9】求正比例函数表达式 【典型例题】已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A.y＝﹣5x B.y＝5x C.y＝3x D.y＝﹣3x 【举一反三1】在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（4，b），B（a，3）两点，则a，b一定满足的关系式为（　　） A.a﹣b＝1 B.a+b＝7 C.ab＝12 D.a/b=3/4 【举一反三2】已知函数图象如图所示，那么这个函数的解析式为（　　） A.y＝﹣2x B.y＝ C.y＝﹣2x（﹣1≤x≤0） D.y＝- 【举一反三3】正比例函数的图象过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是　　． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则经过点N的正比例函数解析式为　　     ． 【举一反三5】已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 【题型10】正比例函数的图象 【典型例题】正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】函数y＝x的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值：　　． 【举一反三4】请画出正比例函数y＝2x和y＝x的图象（写出作图过程）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3一次函数的图象 讲解目录 【知识点1】一次函数的图象 1 【知识点2】正比例函数的图象 3 【知识点3】正比例函数的性质 4 【知识点4】一次函数的性质 4 【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值 6 【题型2】一次函数的图象 7 【题型3】确定点在正比例函数的图象上 10 【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点 11 【题型5】一次函数的性质 14 【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值 17 【题型7】正比例函数的性质 19 【题型8】已知一点求一次函数的表达式 22 【题型9】求正比例函数表达式 24 【题型10】正比例函数的图象 26 知识讲解 【知识点1】一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1.（2025春•临泽县校级期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y＞0时，x的值是（　　） A．x＜-2 B．x＞-2 C．x＞2 D．x＜2 【答案】B 【分析】直接根据函数y=x+2的图象进行解答即可． 【解答】解：由函数y=x+2的图象可知，当x＞-2时，函数图象在x轴上方， 故当y＞0时，x的值是x＞-2． 故选：B． 2.（2025春•花都区期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∵b=k＞0， ∴一次函数y=x+k的图象经过一、二、三象限， 故选：A． 3.（2024春•鼓楼区校级期中）若k＞0，b＜0，则函数y=kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可． 【解答】解：∵k＞0，b＜0， ∴y=kx+b的图象在一、三、四象限， 故选B． 【知识点2】正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 1.如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】B 【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案． 【解答】解：∵y=ax,y=bx,y=cx的图象都在第一三象限， ∴a＞0，b＞0，c＞0， ∵直线越陡，则|k|越大， ∴c＞b＞a, 故选：B． 2.（2023春•南开区期末）函数y=3x的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质，可以得到函数y=3x经过哪几个象限． 【解答】解：∵y=3x,3＞0， ∴函数y=3x经过第一、三象限且经过原点， 故选：A． 【知识点3】正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 1.（2024春•武威校级期末）点A（1，m）在函数y=2x的图象上，则m的值是（　　） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】用代入法即可． 【解答】解：把x=1，y=m代入y=2x, 解得：m=2． 故选：B． 2.（2023春•马尾区校级期末）正比例函数y=-2x的图象经过的象限是（　　） A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四 【答案】B 【分析】根据k=-2＜0和正比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：∵k=-2＜0， ∴正比例函数y=-2x的图象经过二、四象限． 故选：B． 【知识点4】一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1.（2025春•长寿区期末）关于x的一次函数y=-3x+m的图象上有三个点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c），则a,b,c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【答案】B 【分析】由k=-3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-2＜-1＜4，即可得出b＜c＜a. 【解答】解：∵k=-3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c）是一次函数y=-3x+m的图象上的点，且-2＜-1＜4， ∴b＜c＜a. 故选：B． 2.（2025春•长沙期末）已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2 【答案】C 【分析】由k=-2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-2＜3，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k=-2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），且-2＜3， ∴y1＞y2． 故选：C． 题型专练 【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而增大，则m＝　　． 【答案】1 【解析】∵正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），y随x的增大而增大， ∴，解得m＝1． 故答案为：1． 【举一反三1】已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝　　． 【答案】﹣2 【解析】由题意得：m2﹣3＝1，且m+1＜0， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【举一反三2】已知正比例函数y＝kx． （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？ （2）点（1，﹣2）在它的图象上，求它的表达式． 【答案】解（1）∵函数图象经过第二、四象限， ∴k＜0； （2）当x＝1，y＝﹣2时，则k＝﹣2， 即：y＝﹣2x． 【举一反三3】已知函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数，求m的值，并写出其图象经过哪个象限． 【答案】解∵函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数， ∴5﹣m＝1， ∴m＝4， ∴1﹣m＝﹣3＜0， ∴其图象经过二.四象限． 【题型2】一次函数的图象 【典型例题】若式子+（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵式子+（k﹣2）0有意义， ∴， 解得k＞2， ∴k﹣2＞0，2﹣k＜0， ∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一.三.四象限， 故选：A． 【举一反三1】一次函数y＝kx﹣b（k≠0）的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（　　） A.x＜0 B.x＞0 C.x＞2 D.x＜2 【答案】D 【解析】根据图象可知，当y＞0时，一次函数的图象位于x轴上方， ∴x＜2． 故选：D． 【举一反三2】一次函数y＝kx+k的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据图象知： A.k＜0；k＞0．解集没有公共部分，所以不可能； B.k＞0；k＞0．解集有公共部分，但是k不一定为1； C.k＜0；k＜0．解集有公共部分，所以有可能； D.k＜0；k＝0．解集没有公共部分，所以不可能， 则符合题意的选项为C． 故选：C． 【举一反三3】如图，直线l是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则b＝　　． 【答案】1 【解析】∵直线与y轴交于点（0，1）， ∴b＝1． 故答案为：1 【举一反三4】一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　　． 【答案】0＜x＜4 【解析】根据图象知，当y＝3时，x＝0； 当y＝﹣3时，x＝4； ∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0＜x＜4． 故答案为：0＜x＜4． 【举一反三5】求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A.B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 【答案】解y＝x﹣2图象如图所示： （1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2； 故A（2，0）.B（0，﹣2）， （2）由图象可知： △AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2， ∴S△AOB＝＝＝2． 【题型3】确定点在正比例函数的图象上 【典型例题】关于正比例函数y＝−x，下列结论正确的是（　　） A.k=-2 B.图象必经过点（-1，2） C.图象不经过原点 D.y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】因为k=−，所以A错误；因为当x=-1时，y=，所以B错误；因为正比例函数的图象必经过原点，所以C错误，故D正确． 【举一反三1】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（　　） A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝−x 【答案】B 【解析】把x=2代入y=-2x得y=-2×2=-4，所以y=-2x的图象恰好经过点（2，-4）． 【举一反三2】下列各点中，在函数y=-3x的图象上的是（　　） A.(，1) B.(−，1) C.(−，−1) D.（0，1） 【答案】B 【解析】把x=−代入y=-3x得y=-3×（−）=1，所以y=-3x的图象恰好经过点(−，1)． 【举一反三3】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（　　） A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝−x 【答案】B 【解析】把x=2代入y=-2x得y=-2×2=-4，所以y=-2x的图象恰好经过点（2，-4）． 【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点 【典型例题】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【答案】A 【解析】∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1， ∴当x＝1时y＝kx+b＝0， ∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0）， 故选：A． 【举一反三1】一次函数y＝kx+b的部分x和y的部分对应值如表所示，下列结论正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.x＝2是kx+b＝0方程的解 C.此函数图象不经过第三象限 D.此函数图象与x轴交于点 【答案】C 【解析】由表格可得， y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意； 当x＝0时，y＝2，可知b＝2，y随x的增大而减小，可知k＜0，则该函数图象经过第一.二.四象限，故选项C正确，符合题意； x＝2时，y＝﹣4，故x＝2不是方程kx+b＝0的解，故选项B错误，不符合题意； ∵点（0，2），（1，﹣1）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y＝﹣3x+2， 当y＝0时，0＝﹣3x+2，得x＝， 即一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（，0），故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.该函数的图象经过一.二.三象限 C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【答案】C 【解析】由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1）， 把点的坐标代入y＝kx+b得：， 解得：k＝﹣2，b＝3， 即函数的解析式是y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．∵k＝﹣2，b＝3， ∴函数的图象经过第一.二.四象限，故本选项不符合题意； C．当y＝1时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1， 即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） A.y随x的增大而增大 B.该函数的图象经过一.二.三象限 C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【答案】C 【解析】由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1）， 把点的坐标代入y＝kx+b得：， 解得：k＝﹣2，b＝3， 即函数的解析式是y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．∵k＝﹣2，b＝3， ∴函数的图象经过第一.二.四象限，故本选项不符合题意； C．当y＝1时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1， 即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三4】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0） 【答案】A 【解析】∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1， ∴当x＝1时y＝kx+b＝0， ∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0）， 故选：A． 【题型5】一次函数的性质 【典型例题】对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A.k＞0 B.kb＜0 C.k+b＞0 D.k＝﹣b 【答案】C 【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限， ∴b≤0， 又∵函数图象经过点（2，0）， ∴图象经过第一.三.四象限， ∴k＞0，k＝﹣b， ∴kb＜0， ∴k+b＝b＜0， ∴错误的是k+b＞0． 故选：C． 【举一反三1】下列关于一次函数y＝﹣2x+4的性质说法不正确的是（　　） A.函数图象不经过第三象限 B.函数图象与y轴交于点（0，4） C.函数图象与x轴交于点（2，0） D.y的值随着x值的增大而增大 【答案】D 【解析】A.函数y＝2x+4图象经过第一.二.四象限，不经过第三象限，故原说法正确，不符合题意； B.当x＝0时，y＝4，则函数图象与y轴交于点（0，4），故原说法正确，不符合题意； C.当y＝0时，由﹣2x+4＝0得x＝2，则函数图象与x轴交于点（2，0），故原说法正确，不符合题意； D.由k＝﹣2＜0得y的值随着x值的增大而减小，故原说法错误，符合题意， 故选：D． 【举一反三2】一次函数y＝﹣x﹣2的图象不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】∵一次函数y＝﹣x﹣2，k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0， ∴该函数图象经过第二.三.四象限， ∴该函数图象不经过第一象限， 故选：A． 【举一反三3】已知直线y＝kx+1的函数值y随着x的增大而减小，请写出来这样的一条直线：　　．（答案不唯一） 【答案】y＝﹣x+1（答案不唯一） 【解析】∵直线y＝kx+1的函数值y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴符合这样要求的直线可以是y＝﹣x+1． 故答案为：y＝﹣x+1． 【举一反三4】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题： （1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？ （2）当x取何值时，y＝0？ （3）当x取何值时，y＜0？ 【答案】解函数y＝﹣2x+2的图象为： （1）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降． （2）由图象知：当x＝1时，y＝0． （3）由图象知：当x＞1时，y＜0． 【举一反三5】已知：一次函数y＝﹣2x+3． （1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）当x为何值时，y≤0？ （3）当x为何值时，y≤1？ （4）当﹣2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ （5）当1＜y＜5时，求x的变化范围． 【答案】解（1）∵一次函数y＝﹣2x+3的图象是一条直线， 当x＝0时，解得y＝3；当y＝0时，解得x＝， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是（0，3）和（，0）， 其图象如下： （2）由图可知，当x≥时，y≤0． （3）由题意得： ﹣2x+3≤1， 解得：x≥1， 即当x≥1时，y≤1． （4）∵y＝﹣2x+3， ∴用含y的式子表示x得：x=， 又∵﹣2≤x≤3， ∴-2≤， 解得：﹣3≤y≤7． y的最大值为7． （5）∵1＜y＜5． ∴1＜﹣2x+3＜5 解得：﹣1＜x＜1． 【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值 【典型例题】已知一次函数y＝ax﹣4（a常数），若y随x的增大而增大，则a的值可以是（　　） A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 【答案】D 【解析】∵一次函数y＝ax﹣4（a≠0），y随x的增大而增大， ∴a＞0， 因为﹣2＜0， 所以A不符合题意； 因为﹣1＜0， 所以B不符合题意； 因为a≠0， 所以C不符合题意， 因为2＞0， 所以D符合题意， 故选：D． 【举一反三1】若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜0 B.k＞0 C.k＜2 D.k＞2 【答案】A 【解析】∵一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k＜0． 故选：A． 【举一反三2】已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是　　．（写出一个即可） 【答案】﹣2（答案不唯一） 【解析】∵一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限， ∴m＜0， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 【举一反三3】已知一次函数y＝（6+3m）x+（m﹣4）. （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象交y轴于负半轴？ （3）m为何值时，函数图象不经过第二象限． 【答案】解（1）根据题意，得6+3m＜0， 解得m＜﹣2， ∴当m＜﹣2时，y随x的增大而减小； （2）根据题意，得m﹣4＜0， 解得m＜4， ∵y＝（6+3m）x+（m﹣4）是一次函数， ∴m≠﹣2， ∴m＜4且m≠﹣2时，函数图象交y轴于负半轴； （3）根据题意，得， 解不等式组，得﹣2＜m≤4， ∴当﹣2＜m≤4时，函数图象不经过第二象限． 【题型7】正比例函数的性质 【典型例题】P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.不能确定 【答案】B 【解析】∵k＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，且﹣2＜7， ∴y1＜y2． 故选：B． 【举一反三1】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.以上都有可能 【答案】B 【解析】∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵x1＞x2， ∴y1＜y2． 故选：B． 【举一反三2】关于函数y＝2x，下列说法错误的是（　　） A.它是正比例函数 B.图象经过（1，2） C.图象经过一、三象限 D.当x＞0，y＜0 【答案】D 【解析】关于函数y＝2x， A.它是正比例函数，说法正确，不合题意； B.当x＝1时，y＝2，图象经过（1，2），说法正确，不合题意； C.图象经过一、三象限，说法正确，不合题意； D.当x＞0时，y＞0，说法错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三3】写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式　　． 【答案】答案不唯一：y＝﹣2x、y＝﹣3x 【解析】∵正比例函数的一般形式为y＝kx，并且y随x的增大而减小， ∴答案不唯一：y＝﹣2x、y＝﹣3x等． 【举一反三4】已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过　　象限． 【答案】一、三、四 【解析】∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过一、三、四象限． 故答案为：一、三、四． 【举一反三5】已知函数y＝（k+）（k为常数）． （1）当k为何值时，该函数是正比例函数？ （2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？请画出它的图象． （3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？请画出它的图象． （4）点A（2，5）与点B（2，﹣3）分别在哪条直线上？ 【答案】解（1）由题意得k2﹣3＝1且k+≠0， 解得k＝±2． ∴正比例函数的表达式为：y＝x或y＝﹣x． （2）∵正比例函数y随x的增大而增大， ∴k+＞0． 解得k＞﹣． ∴k＝． 函数图象如图； （3）∵正比例函数y随x的增大而减小， ∴k+＜0． 解得k＜﹣． ∴k＝﹣． 函数图象如图； （4）∵当x＝2时，y＝5， ∴点A（2，5）在函数y＝x上． ∵当x＝2时，y＝﹣3， ∴点B（2，﹣3）函数y＝﹣x上． 【举一反三6】探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整． （1）下表见y与x的几组对应值． 直接写出m的值是　　． （2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象． （3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：　　． 【答案】解（1）当x＝﹣2时，y＝|﹣2|＝2， ∴m＝2， 故答案为：2． （2）如图： （3）由图象可知，图象关于y轴对称． 故答案为：图象关于y轴对称． 【题型8】已知一点求一次函数的表达式 【典型例题】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10 【答案】D 【解析】设一次函数解析式为y＝kx+b， 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10． 故选：D． 【举一反三1】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10 【答案】D 【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行， ∴k＝﹣1， ∵一次函数过点（8，2）， ∴2＝﹣8+b 解得b＝10， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+10． 故选：D． 【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10 【答案】D 【解析】设一次函数解析式为y＝kx+b， 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10． 故选：D． 【举一反三3】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10 【答案】D 【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行， ∴k＝﹣1， ∵一次函数过点（8，2）， ∴2＝﹣8+b 解得b＝10， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+10． 故选：D． 【题型9】求正比例函数表达式 【典型例题】已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A.y＝﹣5x B.y＝5x C.y＝3x D.y＝﹣3x 【答案】A 【解析】由题意知m2﹣3＝1且2m﹣1＜0， 解得m＝±2，且m＜， ∴m＝﹣2． ∴y＝﹣5x． 故选：A． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（4，b），B（a，3）两点，则a，b一定满足的关系式为（　　） A.a﹣b＝1 B.a+b＝7 C.ab＝12 D.a/b=3/4 【答案】C 【解析】设正比例函数的解析式为y＝kx， 将A（4，b），B（a，3）代入， 得k＝＝， ∴ab＝12． 故选：C． 【举一反三2】已知函数图象如图所示，那么这个函数的解析式为（　　） A.y＝﹣2x B.y＝ C.y＝﹣2x（﹣1≤x≤0） D.y＝- 【答案】A 【解析】设这个函数的解析式为y＝kx， 把（﹣1，2）代入y＝kx得，2＝﹣k， ∴k＝﹣2， ∴这个函数的解析式为y＝﹣2x， 故选：A． 【举一反三3】正比例函数的图象过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是　　． 【答案】y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x 【解析】∵A点的横坐标为3，且A点到x轴的距离为2， ∴A（3，2）或（3，﹣2）， 设正比例函数的解析式为y＝kx， ∴2＝3k或﹣2＝3k， ∴k＝ 或k＝﹣ ， ∴此函数解析式是y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x， 故答案为：y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则经过点N的正比例函数解析式为　　     ． 【答案】y＝1/2 x 【解析】∵点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点， ∴N((0+4)/2,(2+0)/2)，即N（2，1）， 设正比例函数解析式为y＝kx， 将N（2，1）代入得出：1＝2k， 解得：k＝1/2， ∴经过点N的正比例函数解析式为y＝1/2 x 故答案为：y＝1/2 x． 【举一反三5】已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 【答案】解（1）设y＝kx（k≠0），把x＝﹣1，y＝3代入y＝kx， 得k＝﹣3， 所以y＝﹣3x． （2）把x＝2代入y＝﹣3x， 得y＝﹣3×2＝﹣6． 【题型10】正比例函数的图象 【典型例题】正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为正比例函数y＝kx（k＞0）， 所以正比例函数y＝kx的图象在第一.三象限， 故选：D． 【举一反三1】函数y＝x的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数y＝x的图象经过原点和第一.三象限． 故选：C． 【举一反三2】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x， ∴此时图象则第一象限， ∵当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x， ∴此时图象则第二象限， 故选：C． 【举一反三3】如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值：　　． 【答案】﹣1（答案不唯一） 【解析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二.四象限， ∴k＜0． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【举一反三4】请画出正比例函数y＝2x和y＝x的图象（写出作图过程）． 【答案】解对于正比例函数y＝2x， 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2×2＝4， 即函数y＝2x的图象经过点（0，0）和（2，4），过这两点作直线即为此函数的图象． 对于正比例函数y＝， 当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝， 即函数y＝的图象经过点（0，0）和（2，1），过这两点作直线即为此函数的图象． 画出这两个函数的图象如下： 学科网（北京）股份有限公司 $$