1.2 全等三角形 课件 2025-2026学年 苏科版（2024）八年级数学上册

第1章 三角形 1.2　 全等三角形 思考:观察下面各组图形，说说他们有什么共同特点. 新课引入 全等形 定义：能够完全重合的两个图形称为全等形. 性质：全等形的形状和大小都相同. B C A 以下图形的运动属于哪种变换形式？这种变换有怎样的特征？ A′ B′ C′ 平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 平移 新课引入 以下的图形运动属于哪种变换方式？这种变换有什么特点？ 成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 轴对称 新课引入 以下的图形运动属于哪种变换方式？这种变换有什么特点？ B C A B′ (C′) A′ 旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 旋转 新课引入 全等三角形 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合，我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 图中的△ABC和△A'B'C'是全等三角形。 新知探究 B C A B′ C′ A′ 顶点A和A'，B和B′，C和C′是对应顶点； AB和A'B′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应边； ∠A和∠A'，∠B和∠B′，∠C和∠C′是对应角. 全等三角形的对应边、对应角有什么关系呢？ 两个三角形的对应边分别相等、对应角分别相等. 新知探究 ［2025江苏宿迁调研］下列说法错误的是( ) B A.全等三角形的对应边相等 B.全等三角形的角相等 C.全等三角形的周长相等 D.全等三角形的面积相等 【解析】A选项,全等三角形的对应边相等，故本选项不符合题意；B选项,全等三 角形的对应角相等，故本选项符合题意；C选项,全等三角形的周长相等，故本选 项不符合题意；D选项,全等三角形的面积相等，故本选项不符合题意．故选B． 真题练习 8 B C A B′ C′ A′ 如图，△ABC和△A′B′C′是全等三角形， 记作：△ABC≌△A′B′C′， 读作：△ABC全等于△A′B′C′. 用符号表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上. 新知探究 1. 图中的全等可以记作△ABC≌△A'C'B'吗？△ACB≌△A'C'B'呢？ C A B C' A' B' 解：不可以记作△ABC≌△A'C'B'，可以记作△ACB≌△A'C'B'， 因为B的对应顶点是B'，C的对应顶点是C'。 新知探究 2. 若以A、B、C为顶点的三角形与以A'、B'、C'为顶点的三角形全等，则共有多少种可能的情形呢？ 解：共有6种可能的情形： △ABC≌△A'B'C'，△ABC≌△A'C'B'， △ABC≌△B'A'C'，△ABC≌△B'C'A'， △ABC≌△C'B'A'，△ABC≌△C'A'B'。 新知探究 把图中的△ABC通过 到△DEF的位置， 两个三角形重合，表示为 ≌ . 对应边: ， 对应角:________________________________ 平移 △ABC △DEF AB与DE，BC与EF，AC与DF ∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F 例题讲解 完成下列填空： 如图 ( 1 )，△ABC≌△____， ∠A的对应角是____，∠B的对应角是____，∠C的对应角是____； AB的对应边是____，BC的对应边是____，CA的对应边是____。 C A B F D E DEF ∠D ∠E ∠F DE EF FD 平移型全等 变式训练 ( ) ( ) 把图中的△ABC沿BC所在的直线______到 △DBC(即△DFE)的位置，两个三角形重合， 表示为 ≌ ； 对应边: ， 对应角: . 翻折 △ABC △DBC ∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB AB与DB，BC与BC，AC与DC 例题讲解 2.2 完成下列填空： 如图 ( 2 )，△ABC≌△____， ∠A的对应角是____，∠B的对应角是____，∠C的对应角是____； AB的对应边是____，BC的对应边是____，CA的对应边是____。 对称型全等 DCB ∠D ∠C ∠B DC CB BD C A B D 变式训练 把图中的△ABC绕顶点C 180°到△DEC的位置， 两个三角形重合，表示为 ≌ ； 对应边: ， 对应角 . ( ) 旋转 △ABC △DEC AB与DE，AC与DC，BC与EC ∠A与∠D，∠B与∠E，∠ACB与∠DCE 例题讲解 全品初中 完成下列填空： 如图 ，△ABC≌△____， ∠BAC的对应角是______，∠B的对应角是____， ∠C的对应角是____； AB的对应边是____，BC的对应边是____，CA的对应边是____。 旋转型全等 ADE ∠DAE ∠C ∠E AD DE EA C A B D E 变式训练 三种常见的全等类型 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 总结归纳 18 完成下列填空： 已知△ABC≌△MNP， ∠A的对应角是____，∠B的对应角是____，∠C的对应角是____； AB的对应边是____，BC的对应边是____，CA的对应边是____。 ∠M ∠N ∠P MN NP PM 例题讲解 规律一：有公共边的，公共边是对应边 A B C D ∵△ABC≌△ABD ∴AB=AB，BC=BD，AC=AD ∴∠BAC=∠BAD， 解: ∠ABC=∠ABD， 一组共边三角形（筝型） ∠C= ∠D 模型初识 20 A C O D B ∵△AOC≌△BOD ∴AO=BO，AC=BD，OC=OD ∴∠A=∠B，∠C=∠D，∠AOC= ∠BOD 解: 规律二：有对顶角的，对顶角是对应角 一组共顶点三角形（X型） 模型初识 21 规律三：有公共角的，公共角是对应角 ∵△ABC≌△ADE ∴AB=AD，AC=AE，BC=DE ∴∠A=∠A，∠B=∠D，∠ACB= ∠AED 解: A B C D E 一组共角三角形（燕尾型） BE=CD吗？ 模型初识 22 规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角 B C A F D ∵△ABC≌△FDC ∴∠A=∠F，∠B=∠D，∠ACB= ∠FCD 解: 一组共顶点三角形（蝴蝶型） ∴AB=FD，AC=FC，BC=DC 模型初识 23 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的性质： B C A B′ C′ A′ ∵△ABC≌△A'B'C′， ∴AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C'， ∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'. 新知讲解 （全等三角形的对应边相等） （全等三角形的对应角相等） 如图，△OMQ≌△OPN，写出这两个三角形中的相等的边和角. Q O M P N 解：∵ △OMQ≌△OPN ∴MQ = PN，MO = PO，OQ = ON； ∠ M = ∠P，∠Q = ∠N，∠MOQ =∠PON. 例题讲解 如图，△ABC≌△CDA，写出图中相等的边和角. B A C D 解：∵ △ABC≌△CDA ∴AB＝CD，AC＝CA，AD＝CB ∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD. 注意：对应顶点的字母写在对应的位置上. 变式训练 证明：∵△ABC≌△EFD， ∴ ∠B＝∠F (全等三角形的对应角相等). ∴ AB∥EF (内错角相等，两直线平行). 例1 如图，已知△ABC≌△EFD. 求证：AB∥EF. B A C E D F 例题讲解P12 在上图中，当△DEF沿BC所在直线平移时，AB与EF仍然平行吗？为什么？ A B C D E F D E F D E F 解：仍然平行，理由如下： 例题讲解P12 ① 当△DEF沿BC所在直线向上平移时， ∵△ABC≌△EFD， ∴∠ABC = ∠EFD， ∴AB//EF。 在上图中，当△DEF沿BC所在直线平移时，AB与EF仍然平行吗？为什么？ A B C D E F 例题讲解P12 ② 当△DEF沿BC所在直线向下平移时， ∵△ABC≌△EFD， ∴∠ABC = ∠EFD， ∴180° - ∠ABC = 180° - ∠EFD， 即∠ABF = ∠EFB， ∴AB//EF。 在上图中，当△DEF沿BC所在直线平移时，AB与EF仍然平行吗？为什么？ A B C D E F 例题讲解P12 如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE = 4，BD = 13，则AB等于________。 9 解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB = CD，BC = DE = 4， ∵BD = 13， ∴CD = BD - BC = 13 - 4 = 9， ∴AB = CD = 9。 A B C E D 例题讲解 已知图中的两个三角形全等，则∠α = ________°。 解：∵两个三角形全等， 且∠α是b和c的夹角， ∴∠α = 72°。 72 a a b b c c α 58° 72° 变式训练 如图△ABC≌△A′B′C′，则∠A′＝____°，∠B＝____°，∠C′＝____°，∠C＝____°． A B C A′ B′ C′ 56° 51° 56 51 73 73 变式训练P13T2 如图，△ABE≌△ACF，点E在AC上，点F在AB上. (1)判断BF与CE是否相等，并证明你的结论； B O F A E C 证明：(1) BF＝CE，理由如下， ∵△ABE≌△ACF， ∴ AB＝AC ，AE＝AF (全等三角形的对应边相等). ∵BF＝AB－AF，CE＝AC－AE， ∴ BF＝CE . 例题讲解P14 T6 如图，△ABE≌△ACF，点E在AC上，点F在AB上. (2)判断∠BFO与∠CEO是否相等，并证明你的结论. B O F A E C 证明：(2)∠BFO＝∠CEO，理由如下， ∵△ABE≌△ACF， ∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等). ∵∠BFO＝∠A＋∠C， ∠CEO＝∠A＋∠B， ∴ ∠BFO＝∠CEO. 例题讲解P14 T6 如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠ACB＝40°，求∠BEC的度数. C B A D E 解：∵△ABC≌△DCB，∠ACB＝40°， ∴∠DBC＝∠ACB＝40°. ∴∠BEC＝180°－∠DBC－∠ACB ＝180°－40°－40° ＝100°. 变式训练P13T3 如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝76°. 求△BCD各内角的度数. C B A D 解：∵△ABC≌△DBC，∠A＝45°， ∴∠ACB＝∠DCB ，∠D＝∠A＝45°， ∵∠ACD＝76°， ∴∠DCB＝∠ACD＝×76°＝38°， ∴∠CBD＝180°－∠D－∠DCB ＝180°－45°－38 ° ＝97°. 变式训练P14T5 1.如图所示，，，三点在同一直线上，且 . （1）求证： . 【证明】，，.又 ， . 课堂作业 （2）当满足什么条件时， ？ 【解】 为直角时， ． 理由如下：当时， .又，， .又,, 三点在同一直线上， ， ，即当满足 为直角时， ． 38 全等 三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 基本性质 对应边相等 对应角相等 对应元素确定方法 对应边 对应角 长对长，短对短，中对中 公共边一定是对应边 大角对大角，小角对小角 公共角一定是对应角 对顶角一定是对应角 课堂小结 全品初中 1.如图，△ABC≌△AED，AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边， ∠BAC 与∠ EAD是对应角，且∠BAC＝25°，∠B＝35°，AB＝3cm， BC＝1cm，求出∠E、∠ADE的度数和线段DE、AE 的长度. B C E D A 解：∵ △ABC≌△AED (已知)， ∴∠E＝∠B＝35°(全等三角形对应角相等). ∠ADE＝∠ACB＝180°－25°－35°＝120 °， (全等三角形对应角相等) DE＝BC＝1cm, AE＝AB＝3cm. (全等三角形对应边相等) 综合练习 2.已知点A，D，B，F在同一条直线上，△ABC≌△FDE，AB＝8 cm，BD＝6 cm. 求FB的长． 解题秘方：由全等三角形的性质知AB＝FD，由等式的基本性质可得AD＝FB，所以要求FB的长，只需求AD的长. 解：∵△ABC≌△FDE，∴ AB＝FD. ∴ AB－DB＝FD－BD，即AD＝FB. ∵ AB＝8 cm ，BD＝6 cm ， ∴ AD＝AB－DB＝8－6＝2(cm). ∴ FB＝AD＝2 cm. 综合练习 3.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点， 若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数. 思路导引： 解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC， ∴∠ABD＝∠EBD＝∠C，∠A＝∠BED＝∠CED. 又∵∠BED＋∠CED＝180° ，∴∠BED＝∠CED＝90°. ∴∠A＝90°. ∴∠ABD＋∠EBD＋∠C＝180°－∠A＝90°.∴ 3∠C＝90° ，解得∠C＝30°. 综合练习 4.如图，，下列结论： 与是对应边； 与是对应边； 与是对应角； 与 是对应角.其中正确的是______（填序号）. ②④ 【解析】与是对应边，故①不符合题意；与 是对应边，故②符合 题意；与是对应角，故③不符合题意， 符合题意.综上所述，正确 的结论是②④. 综合练习 43 1.［2024江苏无锡期末］如图，已知， ， 若，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】，, ， ， ， ， ，故选D. 真题练习 44 2.［2025江苏无锡质检］已知的三边长分别为3，5，7， 的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等， 则 ___. 3 【解析】的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3， ， ,和全等， 有以下两种情况：， ，由 ，得，由，得，此时 的值不相同，故不符合题意， 舍去；，，由，得，由 ，得 ，此时的值相等，故符合题意， 当时，和 全等．故答 案为3． 易错警示：用符号“ ”表示两个三角形全等时，对应关系是确定的;用文字语言 表述两个三角形全等时,对应关系是不确定的. 真题练习 45 3.［2025江苏常州新北区质检］用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四 边形；②长方形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形有( ) D A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【解析】两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形（一组相等的直角边重 合，两直角不邻）、等腰三角形（一组相等的直角边重合，两直角相邻）以及长 方形（斜边重合,相等的内角不相邻）;当直角三角形两直角边长相等时,才能拼成 正方形．故选D． 真题练习 46 4.［2025江苏苏州调研］如图，，，，则 的长为______. （第5题图） 【解析】，.， ， ，，故答案为 ． 真题练习 47 5.［2025江苏南通海门区质检］三个全等三角形如图摆放，则 ______. 【解析】如图所示, 三个三角形全等， . 又 ， ， ．故答案为 ． 关键点拨：根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出 ， 是解题的关键． 真题练习 48 6.［2025湖北荆州质检］如图，在中， ， ，.点在直线上，动点从 点出发沿 的路径向终点运动；动点从点出发沿 的路 1或5 思路分析 径向终点运动.点和点分别以每秒和 的速度同时开始运动，其中一点 到达终点时另一点也停止运动，分别过点和作 直线于， 直线 于 .当与全等时，点的运动时间为______ . 真题练习 49 【解析】设点的运动时间为.如图（1），当点在上时， ， ，，. ， ，，.如图（2），当点在 上时， ，，， . ，，，.综上所述，当 与全等时，点的运动时间为或 ．故答案为1或5． 图（1） 图（2） 真题练习 50 $$