11.2.3 多项式与多项式相乘 导学案 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

11.2.3 多项式与多项式相乘 素养目标 1.知道多项式与多项式的乘法法则,会利用法则进行简单的运算. 2.经历探索多项式与多项式相乘的过程,能够按多项式的乘法步骤进行简单的多项式的乘法运算. 重点 多项式与多项式的乘法法则及利用法则进行计算. 【自主预习】 预学思考 1.如何进行单项式与多项式相乘的运算? 2.单项式与多项式相乘时,要注意什么? 3.计算:(x-3)(x+5)=　　　　.  自学检测 1.计算(-3m2)(-2m+1)的正确结果是 ( ) A.6m3+1 B.6m3-3 C.6m3-3m2 D.-6m3+3m2 2.下列计算错误的是 ( ) A.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 B.(x+2)(x-3)=x2-x-6 C.(x-3)(x-2)=x2-5x+6 D.(x-5)(x+1)=x2-6x-5 【合作探究】 知识生成 知识点一 多项式与多项式相乘的运算法则 阅读课本本课时“例3”前面的内容,思考下列问题. 已知一个长方形花池的长为m米,宽为a米. 1.这个长方形花池的面积是 平方米.  2.若将这个长方形花池的长扩大n米,宽扩大b米, (1)这个长方形花池的长为 米,宽为 米.  (2)你能用两种不同的方法表示增加后的花池的面积吗?算一算.(如图所示) 3.根据上面(2)中的计算结果,可以得出(m+n)(a+b)= .  归纳总结 多项式乘以多项式的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以 ,再把所得的积 .  对点训练 1.若(x-3)(2x+1)=2x2+ax-3,则a的值为 ( ) A.-7　　　　B.-5　　　　C.5　　　　D.7 2.计算:(a+3b)(a-b)-b(2a-b)=　　　　.  知识点二 多项式与多项式相乘运算法则的应用 阅读课本本课时“例3”与“例4”的内容,思考下列问题. 1.多项式中的每一项中特别要注意前面的 .  2.你能用折线表示一下(x+2)(x-3)的运算步骤吗? 3.仿照小明的解题过程,请你完成另一题. 小明的解法: (a-b+c)(d-e) =a·d+(-b)·d+c·d+a·(-e)+ (-b)·(-e)+c·(-e) =ad-bd+cd-ae+be-ce. 计算:(x2+x+1)(x-1). 归纳总结 进行多项式乘法运算时,要注意以下几点: 1.两个多项式相乘,在没有合并同类项之前,积的项数应是这两个多项式项数的 ,如(a+b+c)(m+n),积的项数是 .  2.各项的系数:由“单项式与单项式的积的系数等于各因式的系数之 ”以及合并同类项的法则“系数 ,字母和字母的指数 ”便可得到多项式的乘积中项的系数. 对点训练 1.观察图中两个多项式相乘的运算过程,根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)=x2-9x+14,则a,b的值可能是 ( ) A.-2,-7 B.-2,7 C.2,-7 D.2,7 2.下面四个整式中,不能表示图中阴影部分面积的是 ( ) A.(x+6)(x+4)-6x B.x(x+4)+24 C.4(x+6)+x2 D.x2+24 题型精讲 题型1 多项式与多项式相乘的法则在计算中的应用 例1　计算:3(2x-y)(y-x). 变式训练 计算:x(2x-y)(y-x). 题型2 多项式与多项式相乘的法则与待定系数法的综合应用 例2　若(-2x+n)(x-1)的结果中不含x的一次项,求n的值. 变式训练 若(mx+y)(x-y)=2x2+nxy-y2,求m,n的值. 题型3 多项式与多项式相乘在几何图形中的应用 例3　阅读材料并解答问题: (2a+b)·(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1的面积表示.请写出图2中所表示的代数恒等式: 　. 变式训练 1.在一家创意家居装饰店中,老板接到了一位客户的订单,要求用店内如图所示的A,B,C三种卡片来装饰一面墙壁,拼成一个长为(3a+2b)、宽为(a+b)的长方形图案.为了完成这个装饰任务,老板需要A型卡片、B型卡 片和C型卡片的张数分别是 ( ) A.3,5,2　　　　B.2,3,5 C.2,5,3　　　　D.3,2,5 2.通过计算,比较图1和图2中阴影部分的面积,可以验证的算式是 ( ) A.a(b-x)=ab-ax B.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2 C.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D.b(a-x)=ab-bx 课堂检测 1.计算(x-3)(x+5)的结果为 ( ) A.x2-8x+15 B.x2-2x+15 C.x2-8x-15 D.x2+2x-15 2.要使多项式(x-m)(x-n)不含x的一次项,则 ( ) A.m+n=0 B.mn=1 C.m=n D.mn=-1 3.根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是 . 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.将单项式分别乘以多项式的每一项,再把所得的积相加. 2.(1)不能漏乘,即单项式要乘以多项式的每一项. (2)去括号时注意符号的确定. 3.x2+2x-15 自学检测 1.C 2.D 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.ma 2.(1)(m+n)　(a+b) (2)方法一:(ma+mb+na+nb)平方米. 方法二:(m+n)(a+b)平方米. 3.ma+mb+na+nb 归纳总结 另一个多项式的每一项　相加 对点训练 1.B 2.a2-2b2 知识点二 1.符号 2.能.如图:. 3.解:原式=x2·x+x·x+1·x+x2·(-1)+ x·(-1)+1×(-1) =x3+x2+x-x2-x-1 =x3-1. 归纳总结 1.积　3×2=6 2.积　相加　不变 对点训练 1.A 2.D 题型精讲 题型1 例1 解:原式=3(2xy-y·y-2x·x+y·x)=3(2xy-y2-2x2+xy)=3(3xy-y2-2x2)=9xy-3y2-6x2. 变式训练 (方法一)解:原式=x(2x·y-y·y-2x·x+y·x)=x(2xy-y2-2x2+xy)=x(3xy-y2-2x2)=3x2y-xy2-2x3. (方法二)解:原式=(2x2-xy)(y-x)=2x2·y-xy·y-2x2·x+xy·x=2x2y-xy2-2x3+x2y=3x2y-xy2-2x3. 题型2 例2 解:(-2x+n)(x-1)=-2x2+2x+nx-n=-2x2+(2+n)x-n,因为(-2x+n)(x-1)所得结果中不含x的一次项,所以2+n=0,即n=-2. 变式训练 解:因为(mx+y)(x-y)=mx2+xy-mxy-y2=mx2+(1-m)xy-y2,所以mx2+(1-m)xy-y2=2x2+nxy-y2,即有m=2,1-m=n,所以m=2,n=-1. 题型3 例3 (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2 变式训练 1.D 2.B 课堂检测 1.D 2.A 3.(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2 学科网（北京）股份有限公司 $$