精品解析：湖南省周南教育集团2023-2024学年八年级下学期素质诊断（一）数学试题

2024年上学期周南教育集团学科素质诊断（一） 八年级数学 （考试范围：16章二次根式、17章勾股定理、18章平行四边形考至教材58页）本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．考试说明：闭卷． 一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡中．每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 2. 下列根式中是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列命题中，正确的是（　　） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6. 如图，的一边中点到对角线交点的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. 2.5 B. C. D. 9. 一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 50海里 10. 如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，作直线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个的同类二次根式___________． 12. 化简：________ 13. 等边三角形的边长为6，则它的面积是___________． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点，则的周长为______． 15. 如图，在平行直角坐标系中有两点，则A、B两点之间的距离为_____ 16. 如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是_______．（填上相应的序号即可） 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)直接写出边 AB、AC、BC 的长． (2)判断△ABC 的形状，并说明理由． 20. 如图，已知在中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的度数． 21. 为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． （1）求公路 的长度； （2）若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 22. 如图，四边形中，对角线、相交于点，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求线段的长度． 23. 如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FA、CE． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若△CEF与△CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积． 24. 我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． （1）求的最小值和的最大值； （2）求的最小值； （3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 25. 如图，在平行四边形中，，，，点E，F分别是线段和上的动点，点E以的速度从点D出发沿向点C运动，同时点F以的速度从点B出发，在上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动．连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题： （1）当t为何值时，平分？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）连接并延长，交的延长线与点P，连接．设的面积为，求S与t之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期周南教育集团学科素质诊断（一） 八年级数学 （考试范围：16章二次根式、17章勾股定理、18章平行四边形考至教材58页）本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．考试说明：闭卷． 一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡中．每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，6，7 D. 6，7，8 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、∵32+42=9+16=25；52=25， ∴32+42=52， 则此选项线段长能组成直角三角形； B、∵42+52=16+25=41；62=36， ∴42+52≠62， 则此选项线段长不能组成直角三角形； C、∵52+62=25+36=61；72=49， ∴52+62≠72， 则此选项线段长不能组成直角三角形； D、∵62+72=36+49=85；82=64， ∴62+72≠82， 则此选项线段长不能组成直角三角形. 故选：A． 2. 下列根式中是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A、，故此选项错误； B、是最简二次根式，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键． 3. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法则，二次根式的性质分别计算即可判断． 【详解】解：A、不能合并，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、不能合并，故错误，不合题意； D、，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的运算和性质，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 5. 在下列命题中，正确的是（　　） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定，正确把握相关判定定理是解题关键． 6. 如图，的一边中点到对角线交点的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，与三角形的中位线有关的计算，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，根据三角形的中位线定理进行求解即可． 【详解】解：∵的一边中点到对角线交点的距离为， ∴， ∴是的中位线， ∴； 故选D． 7. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 8. 如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. 2.5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，即在数轴上表示无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，据此判断出这个点表示的实数即可． 【详解】解：由勾股定理可得： ， ∴这个点表示的实数是． 故选：D． 9. 一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A. 25海里 B. 30海里 C. 40海里 D. 50海里 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．首先根据路程=速度时间可得的长，然后连接，再利用勾股定理计算出长即可． 【详解】解：连接， 由题意得：（海里），（海里），， ， （海里） 故选：C． 10. 如图，在中，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，作直线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． 根据作图可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，最后根据即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ， 四边形是平行四边形， ， 的周长为： 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个的同类二次根式___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的知识，比较简单，注意掌握同类二次根式指化为最简二次根式后，被开方数相同．根据同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同可写出的同类二次根式． 【详解】解：由题意得：是的同类二次根式． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 化简：________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 13. 等边三角形的边长为6，则它的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，从而求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 是等边三角形，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 15. 如图，在平行直角坐标系中有两点，则A、B两点之间的距离为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先根据A、B两点的坐标求出及的长，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， 即A、B两点之间的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 16. 如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是_______．（填上相应的序号即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，中位线定理，直角三角形的性质，平行线的性质以及全等三角形的判定对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵分别是，，的中点， ∴，， 即，， ∴四边形是平行四边形， 故正确； ∵分别是，，的中点， ∴，， ，， 即，， ∴四边形是平行四边形， ∵分别是，的中点，, ∴，， ∵ ∴， 故正确； 过点作，过作， ∵分别是，的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故正确； ∴正确的序号是； 故答案为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，中位线定理，平行线的性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及二次根式的性质、零指数幂，解题的关键是能准确地化简二次根式． （1）先进行零指数幂运算，再进行二次根式加减运算即可． （2）根据二次根式乘除法法则进行运算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求： （1）代数式的值； （2）代数式的值． 【答案】（1）2 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式、完全平方公式． （1）将、的值代入后利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算出，的值，再计算． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ，， ∴ ． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点都在格点上. (1)直接写出边 AB、AC、BC 的长． (2)判断△ABC 的形状，并说明理由． 【答案】(1)AB＝，AC＝，BC＝； (2)△ABC 是等腰直角三角形，理由如下： ∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵AB＝AC， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理进行求解即可得到结论； (2)根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到结论． 【详解】(1)AB＝，AC＝=，BC＝； (2)略 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 20. 如图，已知在中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在中，， ∵， ∴ 即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再结合，得，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）由四边形是平行四边形及平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形； ∴， ∴，， ∴． 21. 为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． （1）求公路 的长度； （2）若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】（1）千米，千米； （2）修建公路的费用为万元． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）利用三角形的等面积方法即可求解； 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：（千米）， ∴（千米）， 在中，由勾股定理得：（千米）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴（千米）， ∴修建公路的费用为（万元）， 答：修建公路的费用为万元． 22. 如图，四边形中，对角线、相交于点，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）2 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握矩形的判定的方法是解题的关键： （1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，即可得证； （2）根据含30度的直角三角形的性质，求出的长，再根据矩形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，． 23. 如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FA、CE． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若△CEF与△CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积． 【答案】 （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴EF⊥AC，AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△EAO和△FCO中 ， ∴△EAO≌△FCO（ASA）， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF为菱形； （2）12 【解析】 【分析】（1）首先根据题意证明出△EAO≌△FCO，然后根据一组对边平行且相等证明四边形AECF为平行四边形，然后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）首先根据同高的两个三角形的面积比等于底边的比，得出CF：DE＝AF：BF＝3：1，然后设出未知数根据勾股定理列方程求出AF的长度，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵△CEF与△CED的面积比为3：1， ∴CF：DE＝AF：BF＝3：1， 设AF＝3x，BF＝x， 由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2， 即42+x2＝（3x）2， 解得：x＝， ∴CF＝3， ∴S菱形AECF＝CF×AB＝3×4＝12． 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质以及面积的求解，勾股定理的运用等知识，解题的关键是根据题意证明出△EAO≌△FCO． 24. 我们知道，，所以当时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索： ∵，∴，∴， ∴当时，的最小值为1． ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为． （1）求的最小值和的最大值； （2）求的最小值； （3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为多少？ 【答案】（1）当时，的最小值为；时，的最大值为3 （2）当时，的最小值为4 （3）三角形面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）仿照例题，根据非负数的性质以及二次根式的性质，即可求解； （2）仿照例题，将根号内的代数式配方，进而即可求解； （3）将已知数据代入代数式，根据例题的方法求得最大值即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为. ∵，∴，∴，∴， ∴当时，的最大值为3. 【小问2详解】 ∵ ∴当时，的最小值为4. 【小问3详解】 当，时，， ∵， ∴ ∴ ∴的最大值为， 【点睛】本题考查了二次根式的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，，，，点E，F分别是线段和上的动点，点E以的速度从点D出发沿向点C运动，同时点F以的速度从点B出发，在上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动．连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题： （1）当t为何值时，平分？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）连接并延长，交的延长线与点P，连接．设的面积为，求S与t之间的关系式． 【答案】（1）8 （2）存在，8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，进而得出，再根据角平分线的定义得出，可得出，进而得出答案； （2）假设存在合题意的t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，则，①当时，，②当时，，由①②可得当时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形； （3）过点B作交于点M，作交于点N，在中，，得出，，进而得出，同理可得，，再求出，，根据可得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 假设存在合题意的t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，则， ①当时，， ， 解得（舍） ②当时，， ， 解得 由①②可得当时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形． 【小问3详解】 过点B作交于点M，作交于点N． 在中，， ∴，， ∴， 同理可得，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，勾股定理，三角形的面积，平行线的性质，角平分线的定义，掌握平形四边的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $