11.3.2 两数和(差)的平方 导学案 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“两数和(差)的平方”公式，通过回顾平方差公式、用多项式乘法计算具体式子搭建学习支架，引导学生从旧知（多项式乘法法则）过渡到新知，观察结果特点以推导公式。 资料亮点在于结合几何背景验证公式培养几何直观，通过问题链引导推理意识，题型涵盖计算、化简求值及简算，助力提升运算能力与整体思想，自主预习与合作探究设计促进自主学习，发展创新意识。

11.3.2 两数和(差)的平方 素养目标 1.知道两数和(差)的平方公式的特点,并会用式子表示. 2.能熟练运用两数和(差)的平方公式进行多项式的乘法. 3.了解两数和(差)的平方公式的几何背景. 重点 两数和(差)的平方公式的推导及结构特征. 【自主预习】 预学思考 1.回顾平方差公式的结构特征. 2.用多项式乘以多项式的法则计算下列各式,并观察这些计算结果有什么特点? (x+3)(x+3)=　　　　　　　　　　　;  (x-3)(x-3)=　　　　　　　　　　　.  自学检测 1.下列计算错误的是 ( ) A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4 B.(m-2)(m+3)=m2+m-6 C.(y+4)(y-5)=y2+9y-20 D.(x-3)(x-6)=x2-9x+18 2.计算(-x+2)2的结果是 ( ) A.x2-4x+4 B.-x2-4x+4 C.x2+4x+4 D.-x2+4x+4 【合作探究】 知识生成 知识点一 两数和(差)的平方公式的推导 阅读课本本课时“做一做”至“试一试”中的内容,思考下列问题. 1.在(x+a)(x+b)中,若a=b,那么上述式子将会成为怎样的式子?计算结果是什么? 2.根据上题结论,把x换成b又有什么结论? 3.你会用(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a-b)2吗? 4.你能用图形验证:(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2=a2-2ab+b2吗? 归纳总结 完全平方公式:(a+b)2= ,(a-b)2= .用语言来叙述: 　. 对点训练 已知(2x-1)2=4x2+nx+1,则n的值是 ( ) A.-4　　　　B.4　　　　C.-2　　　　D.2 知识点二 两数和(差)的平方公式的应用 阅读课本本课时“例4”至“练习”前面的内容,思考下列问题. 计算:(-3a-2b)2. 1.运用了哪个公式?公式中的a,b分别是什么? 2.你会计算吗?试一试. 3.你会计算(a-b+c)2吗? 归纳总结 两数和的平方可以推广到(a+b+c)2= .解题时,应注意利用 将代数式变形,再应用 计算.  对点训练 1.m2-4m+ =(m- )2;( )2=9a2- +16b2. 2.下列多项式乘法中可以用两数和的平方公式计算的有 ( ) ①(-a+b)(a-b);②(x+2)(2+x); ③x+yy-x;④(x-2)(x+1). A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④ 题型精讲 题型1 完全平方公式在计算中的应用 例1　运用完全平方公式计算:(-2x+5y)2. 变式训练 计算:(-a-b)2. 题型2 完全平方公式在化简求值中的应用 例2　已知a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值. 题型3 运用完全平方公式进行简算 例3　计算:9992. 课堂检测 1.利用完全平方公式计算89.22,下列变形最恰当的是 ( ) A.(89+0.2)2 B.(90-0.8)2 C.(100-10.8)2 D.(80+9.2)2 2.计算:(-2a+3)2= .  3.已知a2+b2=13,ab=6,则a+b的值是 . 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积.右边是这两数的平方差. 2.x2+6x+9　x2-6x+9 特点:公式的右边有三项. 自学检测 1.C 2.A 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.变为(x+a)(x+a),计算结果是x2+2ax+a2. 2.(a+b)2=a2+2ab+b2. 3.会.将“-b”看作一个数,将(a-b)2化为[a+(-b)]2=a2+2a×(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2. 并指出这也是一个乘法公式:(a-b)2=a2-2ab+b2. 4.能:在图1中,大正方形的面积是(a+b)2,它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的,两个小正方形的面积分别是a2,b2,长方形的面积是ab,所以有等式(a+b)2=a2+2ab+b2. 在图2中,有a2=(a-b)2+2(a-b)·b+b2,即(a-b)2=a2-2(a-b)·b-b2=a2-2ab+b2. 图1　　　　　　　图2 归纳总结 a2+2ab+b2　a2-2ab+b2　两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和,再加上(或减去)它们的积的2倍 对点训练 A 知识点二 1.运用了两数和的平方公式.“-3a”看作公式中的“a”,“-2b”看作公式中的“b”. 2.(-3a-2b)2=(-3a)2+2(-3a)(-2b)+(-2b)2=9a2+12ab+4b2. 3.(a-b+c)2=(a-b)2+2(a-b)c+c2 =a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2. 归纳总结 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　整体思想　乘法公式 对点训练 1.4　2　3a-4b　24ab 2.B 题型精讲 题型1 例1 解:(-2x+5y)2=(5y-2x)2=(5y)2-2×5y×2x+(2x)2=25y2-20xy+4x2. 变式训练 解:(-a-b)2=[(-a)-b]2 =(-a)2-2(-a)b+b2=a2+2ab+b2. 题型2 例2 解:因为(a+b)2=a2+b2+2ab, 所以52=a2+b2+2ab, 所以a2+b2=25-2×(-6)=37. 题型3 例3 解:9992=(1 000-1)2=1 0002-2 000+12=1 000 000-2 000+1=998 001. 课堂检测 1.B 2.4a2-12a+9　3.±5 学科网（北京）股份有限公司 $$