11.3.1 两数和乘以这两数的差 导学案 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

11.3.1 两数和乘以这两数的差 素养目标 1.理解两数和乘以这两数差的乘法公式. 2.掌握两数和乘以这两数差的乘法公式的结构特征,能熟练应用公式进行计算. 3.了解两数和乘以这两数差的乘法公式的几何背景,体会代数与几何的内在统一. 重点 理解两数和乘以两数差的公式,掌握其结构特征,并能灵活用于计算. 【自主预习】 预学思考 1.如何进行多项式与多项式乘法的运算? 2.用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列各式,并观察这些计算结果有什么特点? (1)(m+1)(m-1);(2)(x+2)(x-2); (3)(2d+1)(2d-1);(4)(5p+q)(5p-q). 自学检测 1.(x-1)(x+2)的结果是 ( ) A.x2+21 B.x2-x-2 C.x2+x-2 D.x2-2 2.若(x-2)(x+m)=x2-4,则常数m的值为 ( ) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.-3 【合作探究】 知识生成 知识点一 两数和乘以这两数差公式的推导 阅读课本本课时“做一做”至“试一试”的内容,思考下列问题. 1.等式左边和右边的两个多项式各有什么特点? 2.你能用字母表示上述几个式子反映的规律吗? 3.你能用一句话归纳总结(a+b)(a-b)=a2-b2的运算吗? 4.你能用上面的规律直接计算下列各式吗? (1)(a+2)(a-2);(2)(3a+1)(3a-1). 归纳总结 两数和乘这两数的差的公式结构特征:公式左边是两个二项式的积,这两个二项式中 有一项 ,另一项 ;右边是乘式中两项的平方差,而且 是 减去 . 对点训练 1.下列各式中,不能用平方差公式计算的是 ( ) A.(2x+y)(2x-y) B.(4x-3y)(3x+4y) C.(y-x)(x+y) D.(x+3y)(3y-x) 2.计算:(x+2y)(x-2y)= ( ) A.x2-2y2 B.x2+2y2 C.x2+4y2 D.x2-4y2 知识点二 两数和乘这两数差公式的应用 阅读课本本课时“例1”“例2”“例3”的内容,思考下列问题. 1.你能用“↕”表示“例1(2)、(4)”中各个因式与公式中a,b的对应关系吗?试试看. 2.计算:998×1 002. 归纳总结 进行简便计算时,可以先观察两个因数是由哪个较为好计算的“整百”“整千”“整万”加、减某个数得到的,进而运用两数和,两数差公式计算. 对点训练 1.下列各式,计算正确的是 ( ) A.(a+4)(a-4)=a2-4 B.(2a+3)(2a-3)=2a2-9 C.(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 D.(a+2)(a-4)=a2-8 2.(2x+y)(2x-y)= .  题型精讲 题型1 平方差公式的概念 例1　下列各式中,不能应用平方差公式进行计算的是 ( ) A.(x+y)(x-y) B.(-x+2y)(x+2y) C.(a-b)(-a+b) D.(-2m+n)(-2m-n) 变式训练 下列算式能用平方差公式计算的是 ( ) A.(2x+y)(2y-x) B.(4x-3y)(-3y+4x) C.(3a-b)(-3a+b) D.(-m+n)(-m-n) 题型2 平方差公式在计算中的运用 例2　计算:4x2-+4x2. 变式训练 计算:(1)(2a+1)2-(2a-1)2; (2)3a-b9a2+b23a+b. 题型3 运用平方差公式进行简算 例3　计算:399.82-399.9×399.7. 变式训练 计算:2 0262-2 025×2 027. 题型4 平方差公式的几何意义 例4　如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图2所示),通过这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是 ( ) A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.a(a+b)=a2+ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2 变式训练 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1所示),再将剩余部分拼成一个长方形(如图2所示).根据图形的变化过程,下列等式正确的是 ( ) A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-ab=a(a-b) C.ab-b2=b(a-b) D.a2-b2=(a+b)(a-b) 课堂检测 1.下列计算正确的是 ( ) A.(-2ab2)·(-ab2)3=2a3b6 B.-3xy2·(2x-3y)=6x2y2-9xy3 C.(a+b)(x-y)=ax-ay-bx+by D.(-2x-y)(y-2x)=4x2-y2 2.计算(-1-a)(a-1)的结果是 ( ) A.1-a2 B.-1-a2 C.a2-1 D.1+a2-2a 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 2.(1)(m+1)(m-1) =m2-1. (2)(x+2)(x-2) =x2-4. (3)(2d+1)(2d-1) =4d2-1. (4)(5p+q)(5p-q) =25p2-q2. 这几个式子的特点:结果都只有两项. 自学检测 1.C 2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.等式左边:两数和与这两数差的积;等式右边:这两数的平方差. 2.能.(a+b)(a-b)=a2-b2. 3.两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 4.解:(1)(a+2)(a-2)=a2-4. (2)(3a+1)(3a-1)=9a2-1. 归纳总结　完全相同　互为相反数　相同项的平方　相反项的平方 对点训练 1.B 2.D 知识点二 1.(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. ↕　 ↕　↕　↕　　↕　　↕ (a + b) (a- b)= a2 - b2 (-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)= 　　　　　　　　　　　↕　↕　 ↕　 ↕ 　　　　　　　　　　 (a + b) (a - b)= (-y)2-(2x)2=y2-4x2. 　↕　　　 ↕ 　a2　-　 b2 2.解:原式=(1 000-2)×(1 000+2)=1 000 000-4=999 996. 对点训练 1.C 2.4x2-y2 题型精讲 题型1 例1 C 变式训练 D 题型2 例2 解:原式=4x2-4x2+=(4x2)2-2=16x4-. 变式训练 解:(1)(2a+1)2-(2a-1)2=[(2a+1)+(2a-1)][(2a+1)-(2a-1)]=4a×2=8a. (2)3a-b9a2+b23a+b=3a+b3a-b9a2+b2=9a2-b2×9a2+b2=81a4-b4. 题型3 例3 解:原式=399.82-(399.8+0.1)×(399.8-0.1) =399.82-399.82+0.12 =0.01. 变式训练 解:2 0262-2 025×2 027 =2 0262-(2 026-1)×(2 026+1) =2 0262-(2 0262-1) =2 0262-2 0262+1 =1. 题型4 例4 D 变式训练 D 课堂检测 1.D 2.A 学科网（北京）股份有限公司 $$