（篇一）第一单元圆·概念认识篇【十一大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 35 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 35 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第五单元圆·概念认识篇【十一大考点】 专题名称 第五单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题以圆的概念认识为主，其中包括圆的基础概念、基本特征、直径和半径 的关系、最圆问题以及与圆有关的作图等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的地基内容，考查难度较小，多以填空、选择、作图等题型为 主，建议作为本章基础内容进行讲解，并要求全体学生务必掌握。 考点数量 十一大考点 【考点一】圆的认识 ..............................................................................................................................................3 【考点二】圆的各部分名称 ................................................................................................................................. 4 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） ......................................................................................... 6 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 ............................................................................................... 10 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 ................................................................................... 17 【考点六】寻找圆心的方法 ............................................................................................................................... 18 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 ................................................................................................... 22 【考点八】最圆问题 ............................................................................................................................................24 【考点九】画圆 ....................................................................................................................................................27 【考点十】画出最圆 ............................................................................................................................................30 第 3 页 共 35 页 【考点十一】圆与图案设计 ............................................................................................................................... 32 【考点一】圆的认识 方法点拨 1. 圆的认识。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封 闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2. 古代数学文化。 早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这 样描述道：“圆，一中同长也。” 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 【答案】圆 【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。 【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是（圆）。 【点睛】此题考查了对圆的认识。一个端点不动，就是圆心，一条线段就是半径，另一端点旋 转一周，其轨迹所形成的图形就是圆。 【对应练习】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点 O出发依次画出很多条长度为 4厘米的线段，形 成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在 2400多年前写的一句话：“圆， ( )也”。 【答案】一中同长 第 4 页 共 35 页 【分析】圆这种图形，有一个中心，从这个中心到圆上各点都一样长。数学意义：圆有一个圆 心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等，即在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长 度都相等。早在 2400多年前，我国古代著名教育家墨子就曾写过这样一句话“圆，一中同长也”， 正是诠释了圆的这一特征。 【详解】根据分析得，亮亮的想法正好体现我们古代著名教育家墨子在 2400多年前写的一句 话：“圆，一中同长也”。 【点睛】此题的解题关键是认识理解圆的特征。 【考点二】圆的各部分名称 方法点拨 1. 圆的各部分。 2. 判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 3. 等圆和同心圆。 （1）等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图 1。 （2）同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图 2。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 如图所示，点 O是( )，线段 OC是( )，线段( )是直径。 第 5 页 共 35 页 【答案】 圆心 半径 AB/BA 【分析】圆心的位置决定了圆的位置，半径决定圆的大小。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。 【详解】如图所示，点 O是圆心，线段 OC是半径，线段 AB是直径。 【对应练习 1】 《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( )。 【答案】 圆心 长度相等 【分析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的距离，叫做半径，在同圆中，所有的半径 都相等；“圆，一中同长也”，即圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等。 【详解】由分析可得，《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指圆心，“同长” 是指长度相同。 【对应练习 2】 “圆规”的发明最早可追溯至中国夏朝，《史记•夏本纪》记载大禹治水“左准绳，右规矩”，“规” 即圆规。用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是( )。 A．圆的半径 B．圆的直径 C．圆的周长 D．圆心的位置 【答案】A 【分析】根据圆的认识知识可知，用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是圆的半径，据此解 答即可。 【详解】用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是圆的半径。 故答案为：A 第 6 页 共 35 页 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） 方法点拨 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【典型例题 1】圆是轴对称图形 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【答案】 无数 圆心 【分析】根据轴对称图形的定义以及圆的特征，分析填空即可。 【详解】圆是轴对称图形，它有无数条对称轴；因为圆的对称轴是直径所在的直线，又因为通 过圆心、并且两端都在圆上的线段，叫做直径，所以圆的对称轴一定通过圆心。 【点睛】本题考查了圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习 1】 下图有( )条对称轴。 【答案】4 【分析】如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图 形，这条直线叫做这个图形的对称轴。分别找到圆和正方形的对称轴，再寻找组合图形的对称， 据此解答。 【详解】正方形有 4条对称轴，圆有无数条对称轴，所以题干中的组合图形有 4条对称轴。 【点睛】本题需要根据正方形和圆的特征去找组合图形的对称轴。 【对应练习 2】 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【答案】 圆 等边三角形 等腰梯形 第 7 页 共 35 页 【分析】我们学过三角形、正方形、长方形、梯形和圆等平面图形，其中等边三角形有 3条对 称轴，正方形有 4条对称轴，长方形有 2条对称轴，等腰梯形有 1条对称轴，圆有无数条对称 轴。据此，结合题意分析填空即可。 【详解】根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 圆、正方形、等边三角形、长方形、等腰梯形。 【点睛】本题考查了对称轴的数量，熟记常见图形的对称轴数量是解题的关键。 【对应练习 3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 【答案】 3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【详解】 第一个图形有 5条对称轴； 第二个图形有 3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第 3个图形，有无数条对称轴。 【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 【典型例题 2】作出对称轴 画出下面图形的对称轴，并填空。 第 8 页 共 35 页 （ ）条 【答案】画图见详解； 1 【分析】如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫 做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。画对称轴时要用虚线。此图是由一个大圆和两个大小相 同的小圆组成的，过大圆的圆心和两个小圆相交处画直线，直线两旁的部分能够完全重合。 【详解】如下图。 把大圆的圆心和两个小圆相交处相连并延长，可以画出对称轴，所以这个图形有 1条对称轴。 【点睛】找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个整体，仔细观察，发现对称轴的位置。 【对应练习 1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 【答案】见详解 【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。 【详解】作图如下： （画法不唯一）。 第 9 页 共 35 页 【点睛】此题考查了轴对称的意义及在实际当中的运用。 【对应练习 2】 画出下列图形的所有的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称 图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 【点睛】利用轴对称图形的特点，找出轴对称图形的所有对称轴是解题的关键。 【对应练习 3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连结对称点。（3） 画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 据此画出各图形对称轴并确定对称轴的数量即可。 第 10 页 共 35 页 【详解】 【点睛】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 折痕所在的直线就是对称轴。 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 方法点拨 1. 一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径 都相等。 2. 在同一个圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的一半，用 字母表示为：d＝2r或 r＝d÷2。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 学校田径队要选拔实心球男运动员，成绩达到校队标准可以进入校队。李老师用一条与校队标 准等长的绳子定住中心点画了一条弧线，快速筛选出了入选的运动员。李老师运用了圆的 ( )的性质。 第 11 页 共 35 页 A．圆是轴对称图形 B．同一个圆内，直径长度是半径的 2倍 C．圆的周长与直径的比值相等 D．同一个圆的所有半径相等 【答案】D 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数 条半径，同一个圆内所有的半径都相等。据此解答。 【详解】由分析可知： 李老师用一条与校队标准等长的绳子定住中心点画了一条弧线，快速筛选出了入选的运动员。 李老师运用了圆的（同一个圆的所有半径相等）的性质。 故答案为：D 【对应练习 1】 以点 O为圆心的圆内，三角形 OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是( )。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的周长是它的直径的π倍 C．同一个圆的半径相等 D．同一个圆的直径为半径的 2倍 【答案】C 【分析】因为点 A、B都在以 O为圆心的同一个圆上，所以 OA和 OB都是这个圆的半径，长 度相等。因此三角形 OAB具有两条边相等，必然是等腰三角形。 【详解】根据分析可知，以点 O为圆心的圆内，三角形 OAB一定是等腰三角形。做出这个判 断的依据是同一个圆的半径相等。 故答案为：C 【对应练习 2】 对于“井盖平面轮廓采用圆形”这个问题，下面说法中理由充分的是( )。 A．圆的直径是半径的 2倍。 B．同一圆的直径都相等，圆形的井盖怎么放都不会掉到井里。 C．圆的周长是直径的π倍。 D．圆是在周长相等的情况下，面积最大的平面图形。 【答案】B 第 12 页 共 35 页 【分析】同圆或等圆中，所有的直径和半径都相等，且两端都在圆周上的线段，直径最长；井 盖平面轮廓采用圆形就是利用这一特性，据此分析解答。 【详解】对于“井盖平面轮廓采用圆形”这个问题，同一圆的直径都相等，圆形的井盖怎么放都 不会掉到井里。 故答案为：B 【对应练习 3】 为了保持车辆的平稳行驶，所有车轮的平面轮廓都做成圆形，车轴装在圆心上，这是应用了圆 特征中的( )。 A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．圆心到圆上任意一点的距离都相等 【答案】D 【分析】圆的特征：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；在同一个圆内有无数条半径，同 一个圆内所有的半径都相等。圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴。 把车轴安装在车轮的圆心处，车开起来更平稳，是利用了同一个圆的半径都相等的特性。 【详解】为了保持车辆的平稳行驶，所有车轮的平面轮廓都做成圆形，车轴装在圆心上，这是 应用了圆特征中的圆心到圆上任意一点的距离都相等。 故答案为：D 【典型例题 2】问题二 将一个圆形纸片对折，量得折痕长 10cm，那么这个圆的直径是( )cm，半径是 ( )cm。 【答案】 10 5 【分析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；据此可知折痕就是圆 的直径；再根据半径＝直径÷2，据此解答即可。 【详解】将一个圆形纸片对折，量得折痕长 10cm，则这个圆的直径是 10cm； 10÷2＝5（cm）。 则半径是 5cm。 【对应练习 1】 用圆规画一个直径是 3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 第 13 页 共 35 页 【答案】1.5 【分析】圆规两脚张开的距离相当于圆的半径，圆的直径相当于半径的两倍，用 3÷2即可求出 半径。 【详解】3÷2＝1.5（厘米） 圆规两脚张开的距离是 1.5厘米。 【点睛】本题主要考查了圆的认识，明确直径和半径之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习 2】 一个圆的半径是 4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【答案】9.2 【分析】同一个圆内，直径＝半径×2，据此分析。 【详解】4.6×2＝9.2（厘米） 【点睛】关键是熟悉圆的特征。 【对应练习 3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶1 2 【分析】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作 1份，直径 2份，根据比的意义即可解答。 【详解】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作 1份，直径 2份， 直径与半径的比是：2∶1 2∶1＝2÷1＝2 【点睛】此题考查的是同圆中，直径与半径的关系，掌握直径＝半径×2是解题关键。 【典型例题 3】问题三 看图填一填。 (1) 半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 第 14 页 共 35 页 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【答案】(1) 7 14 (2) 10 28 【分析】（1）根据图意可知，半圆的半径等于长方形的宽，也就是 7cm，直径等于半径的 2 倍，用半径长度乘 2即可求出直径长度。 （2）根据图形可知，圆的直径为 4m，半径为（4÷2）m，长方形的长＝两个圆的直径＋一个 圆的半径，宽等于 4m，根据长方形的周长公式即可求出长方形的周长。 【详解】（1）7×2＝14（cm） 即半圆的半径是 7cm，直径是 14cm。 （2）4＋4＋4÷2 ＝8＋2 ＝10（m） （10＋4）×2 ＝14×2 ＝28（m） 即长方形的长是 10m，周长是 28m。 【点睛】本题主要考查圆的半径和圆的直径之间的关系以及长方形的长、宽与圆的半径、直径 之间的关系。 【对应练习 1】 看图填空（单位：cm）。 (1)d＝( )cm 第 15 页 共 35 页 (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【答案】(1)12 (2)8.6 (3)4.5 (4)2.4 【分析】（1）在同一个圆中，直径是半径的 2倍，d＝2r； （2）梯形的高等于圆的半径，d＝2r； （3）如图所示，正方形的边长等于圆的直径 d，半径 r＝d÷2； （4）如图所示，3个圆的半径是 3.6cm，半径 r＝3.6÷3，直径 d＝2r；据此解答。 【详解】（1）d＝2×6＝12（cm） （2）d＝2×4.3＝8.6（cm） （3）r＝9÷2＝4.5（cm） （4）r＝3.6÷3＝1.2（cm） d＝1.2×2＝2.4（cm） 【点睛】本题考查圆的特征、同圆或等圆中直径与半径的关系以及正方形的特征。 【对应练习 2】 看图填空。 第 16 页 共 35 页 r＝( )cm d＝( )cm r＝( )cm d＝( )cm 【答案】 3 8 10 9.6 【分析】根据圆的半径＝直径÷2，直径＝半径×2，计算后填空即可。 【详解】6÷2＝3（cm）、4×2＝8（cm）、4.8×2＝9.6（cm） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，知道直径和半径之间的关系。 【对应练习 3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【答案】 4 8 6 12 10 25 12 8 【分析】（1）由图可知，圆的直径相当于正方形的边长即 8cm，根据半径＝直径÷2，据此解 第 17 页 共 35 页 答。 （2）由图可知，长方形的长相当于圆的半径，根据直径＝半径×2，据此解答即可。 （3）由图可知：圆的直径是 10cm，长方形的长＝两条圆的直径＋一条半径，宽就是圆的半径。 （4）由图可知：长方形的长＝一条直径＋一条半径，宽就是圆的直径，据此解答即可。 【详解】由分析可知： （1）8÷2＝4（cm） r＝（ 4 ）cm，d＝（ 8 ）cm。 （2）6×2＝12（cm） r＝（ 6 ）cm，d＝（ 12 ）cm。 （3）10×2＋10÷2 ＝20＋5 ＝25（cm） 长方形的宽是（ 10 ）cm，长方形的长是（ 25 ）cm。 （4）4×2＝8（cm） 4×2＋4 ＝8＋4 ＝12（cm） 长方形的长是（ 12 ）cm，长方形的宽是（ 8 ）cm。 【点睛】本题考查长方形内画圆，圆与长方形的关系，明确它们的关系是解题的关键。 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 方法点拨 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 用圆规画圆时，( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【答案】 圆心 半径 【分析】圆规再画圆的时候，有针的一脚不动，即圆心，圆心确定了，圆的位置也就确定了， 有笔头的一脚旋转一周，得到圆，两脚之间的距离是圆的半径，半径越长，圆越大，半径越短， 第 18 页 共 35 页 圆越小，由此填空即可。 【详解】由分析可得： 用圆规画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 【对应练习 1】 圆的中心位置是由( )决定的，晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径， 这是因为( )。 【答案】 圆心 两端都在圆上的线段中，直径最长 【分析】根据圆心决定圆的位置，结合直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直 径，在圆中直径最长，解答即可。 【详解】（1）圆的中心位置是由圆心决定的； （2）晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为两端都在圆上的线段中， 直径最长。 【点睛】本题考查了圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小知识，结合两端都在圆上 的线段中，直径最长，分析解答即可。 【对应练习 2】 圆的位置是由( )决定，圆的大小是由( )决定，圆的周长是直径的( ) 倍。 【答案】 圆心 半径 π 【详解】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，根据 C＝πd可知，圆的周长是直径的π倍。 【考点六】寻找圆心的方法 方法点拨 1. 同一圆内，两条直径的交点是圆心。 2. 同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 第 19 页 共 35 页 【典型例题 1】问题一 小明想要在圆形蛋糕上找到圆心来均匀地插上蜡烛，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为 ( )。 A．圆有无数条直径 B．直径是圆中最长的线段 C．圆是轴对称图形 D．同一圆内，直径长度是半径的 2倍 【答案】B 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，直径是圆内最长的线段，据此分析。 【详解】根据分析，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为直径是圆中最长的线段。 故答案为：B 【对应练习 1】 一张圆形的纸，至少对折几次，才能看到圆心？( ) A．1 B．2 C．4 【答案】B 【分析】用一张圆形的纸，依次对折 1次、2次和 4次，看能否看到圆心，从而解题。 【详解】A．对折 1次不展开，折痕所在直线是一条直径，看不出圆心位置； B．对折 2次不展开，折痕所在直线是两条半径，两条半径的交点就是圆心； C．对折 4次不展开，折痕所在直线是两条半径，两条半径的交点就是圆心； 所以，至少对折 2次，才能看到圆心。 故答案为：B 【对应练习 2】 一张正方形的纸，至少对折( )次才能找到圆心。 【答案】2 第 20 页 共 35 页 【分析】圆的圆心是正方形的中心，正方形中两条对角线的交点即为圆心；连接正方形对边中 点，两条折线的交点即为圆心，据此解答。 【详解】方法一： 方法二： 如图所示，沿虚线至少对折 2次即可找到圆心。 【点睛】找出正方形的中心是解答题目的关键。 【典型例题 2】问题二 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【答案】见详解 【分析】根据圆的轴对称性，并且圆心是到圆周上任意一点距离都相等的点，把这个圆看作一 张圆形的纸，沿两个不同位置对折，这些折痕相交于圆内的一点就是圆心的位置；据此解答。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查了圆形的认识与特征，关键理解概念。 【对应练习 1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 第 21 页 共 35 页 【答案】见详解 【分析】先连接正方形的 2条对角线，以对角线的交点作为圆的圆心 O；然后画一条通过圆心 且两端都在圆上的线段，即是直径 d。 【详解】如图： 【点睛】本题考查确定圆心位置的方法以及直径的认识。 【对应练习 2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 【答案】见详解 【分析】左图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心 O；通过圆心任意画一 条两端都在圆上的线段，即是圆的直径 d。 右图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心 O；因为这两条对角线的两端都 在圆上，所以它们也是圆的直径 d，据此画图即可。 【详解】如图： 第 22 页 共 35 页 （答案不唯一） 【点睛】本题考查外方内圆、外圆内方图形找圆心和直径的方法。 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 方法点拨 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽 两边各能画多少个圆，再将数量相乘。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 1. 把一张边长是 8分米的正方形纸片剪成半径是 0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 【答案】64 【分析】直径＝半径×2，在正方形里剪出的圆片数量相当于在正方形里剪出边长等于直径的正 方形数量，据此分析。 【详解】8×8÷（0.5×2）² ＝64÷1 ＝64（个） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握正方形面积公式。 2. 在长 12.4cm、宽 7.2cm的长方形纸中，剪半径是 1cm的圆，能剪( )个。 【答案】18 【分析】半径是 1cm的圆，则直径为 2cm，横着可以剪这样的圆的个数为 12.4÷2≈6个，竖着 可以剪这样的圆的个数为 7.2÷2≈3个（用去尾法取近似值，余下的不能剪 1个就舍去），共 6×3=18个，据此选择即可。 【详解】1×2=2cm， 12.4÷2≈6（个）， 第 23 页 共 35 页 7.2÷2≈3（个）， 6×3=18（个）， 答：能剪 18个这样的圆 【点睛】分别求出在长方形中长和宽各能剪这样的圆多少个，然后相乘，要注意用去尾法取近 似值。 【对应练习 1】 在一块长 42厘米、宽 35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是 3.5厘米的圆，最多能剪( ) 个。 【答案】30 【分析】最多能剪圆的个数＝长边剪的个数×宽边剪的个数；其中，长边剪的个数＝长÷圆的 直径，宽边剪的个数＝宽÷圆的直径，直径＝半径×2，据此解答。 【详解】3.5×2＝7（厘米） 42÷7＝6（个） 35÷7＝5（个） 6×5＝30（个） 所以最多能剪 30个半径是 3.5厘米的圆。 【对应练习 2】 在一张长 19厘米，宽 13厘米的长方形纸中，剪直径是 2厘米的圆片，最多能剪几( ) 个。 【答案】54 【分析】圆片的直径是 2厘米，根据长方形的长是 19厘米，宽是 13厘米，可分别用长方形的 长和宽除以圆直径就可得出长和宽分别可以剪出多少个圆片，最后再相乘就是所求的答案，列 式解答。 【详解】19÷2＝9（个）……1（厘米） 13÷2＝6（个）……1（厘米） 9×6＝54（个） 最多可以剪 54个。 【点睛】解答此题的关键是明确长方形切割成圆形的方法。不可用长方形的面积除以圆的面积， 因为圆不能密铺。 第 24 页 共 35 页 【对应练习 3】 一块长 30分米，宽 20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是 20厘米的圆。 【答案】35 【分析】先求出圆的直径；再求出长方形的长里面包含几条直径，宽里面包含几条直径；最后 用长里面包含的直径条数乘宽里面包含的直径条数求出最多可剪的圆的个数。 【详解】30分米＝300厘米，20分米＝200厘米 直径：20×2＝40（厘米） 300÷40＝7（条）……20（厘米） 200÷40＝5（条） 7×5＝35（个） 所以最多可剪 35个半径是 20厘米的圆。 【点睛】因为圆不能密铺，所以求圆的个数不能用长方形的面积除以圆的面积。 【考点八】最圆问题 方法点拨 1. 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】长方形中的最圆 在一张长 16cm、宽 12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是( )cm。 【答案】6 【分析】在长方形纸上画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，圆规两脚间的距离是圆的半径， 半径＝直径÷2，据此分析解答。 【详解】圆的直径等于长方形的宽是 12厘米，则半径为 12÷2＝6厘米，即圆规两脚间的距离 是 6厘米。 【点睛】此题考查圆直径和半径之间的关系，明确最大的圆的直径等于长方形的较短边是解题 的关键。 【对应练习 1】 在一个长 7厘米，宽 5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，半径 第 25 页 共 35 页 是( )。 【答案】 5厘米 2.5厘米 【分析】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径不能超过长方形的宽，题中告诉长方形的宽是 5厘米，所以圆的直径是 5厘米，同圆或等圆中，半径是直径的一半，所以半径是（5÷2）厘 米。 【详解】在一个长 7厘米，宽 5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是 5厘米， 半径是 2.5厘米。 【对应练习 2】 在一个长 6厘米，宽 4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。画一个 最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【答案】 4 3 【分析】如下图，因为 6＞4，所以在长方形里画最大的圆，应以长方形的宽（4厘米）为直径。 6÷2＝3（厘米），3＜4，所以应该以长方形的长为最大半圆的直径画半圆，再用直径÷2求出 这个半圆的半径。 【详解】如 上图，长方形中最大圆的直径等于长方形的宽，所以在一个长 6厘米，宽 4厘米的长方形里画 一个最大的圆，圆的直径是 4厘米。 6÷2＝3（厘米），3厘米小于长方形宽 4厘米，所以画一个最大的半圆，这个半圆的半径是 3 厘米。 【点睛】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；在长方形内画最大的半圆，当宽 大于或等于长的一半时，半径是长的一半。 【对应练习 3】 在一个长 10厘米，宽 8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果 在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。 【答案】 4 10 第 26 页 共 35 页 【分析】在长方形上画一个最大的圆，则圆的直径相当于长方形的宽，根据 d＝2r，用 8÷2即 可求出圆的半径，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，则半径要小于宽，所以以长为半圆 的直径可以画出最大的半圆。据此解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 10÷2＝5（厘米） 5＜8 在一个长 10厘米，宽 8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是 4厘米；如果在这个长 方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是 10厘米。 【点睛】本题主要考查了圆直径和半径之间的关系，以及长方形和圆的关系。 【典型例题 2】正方形中的最圆 在一个边长是 2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。 【答案】2 【分析】能画出的最大的圆的直径，和正方形的边长相等。 【详解】在一个边长是 2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是 2厘米。 【点睛】本题考查了画圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习 1】 从一张边长为 20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm。 【答案】20 【分析】根据题意，在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于正方形的边长，据此解 答。 【详解】如图： 这个圆的直径是 20cm。 【点睛】掌握在正方形内画最大的圆，圆的直径与正方形的边长之间的关系是解题的关键。 【对应练习 2】 第 27 页 共 35 页 在一个周长为 20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm。 【答案】2.5 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形的周长除以 4 即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】20÷4÷2 ＝5÷2 ＝2.5（cm） 所以，在一个周长为 20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是 2.5cm。 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系。 【对应练习 3】 在一个周长为 100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。 【答案】12.5 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形的周长除以 4 即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】100÷4÷2 ＝25÷2 ＝12.5（厘米） 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系。 【考点九】画圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 第 28 页 共 35 页 画一个直径是 5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，用 5÷2＝2.5厘米，求出圆的半径；用圆规画圆，有针的一脚不动， 确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于 2.5厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可得到半径是 2.5厘米的圆，并在图中用字母标出圆心 O、半径 r。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 如图： 【对应练习 1】 画一个半径是 2厘米的圆，并标出它的圆心 O和半径 r。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤如下：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。（2）把有针 尖的一只脚固定在一点上，即圆心。（3）把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常 用字母 r表示。据此解答。 【详解】 【对应练习 2】 第 29 页 共 35 页 请画出一个直径是 6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，据此求出半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此画出这 个半圆，并用字母标出它的圆心和半径；根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线 对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） 如图： 【对应练习 3】 画一个半径是 1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心 O，然后画出一条半径和一条直径，并用字 母表示出来。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小；以点 O为圆心，圆规两脚之间的距离就是 半径，圆心到圆上的长度就是半径用字母 r表示；通过圆心且两个端点在圆上的线段就是直径 用字母 d表示。据此作图即可。 【详解】如图所示： 第 30 页 共 35 页 【考点十】画出最圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】画出正方形的两条对角线，对角线的交点就是正方形内最大的圆的圆心。测量正方形 的边长，边长的一半就是圆的半径。 画圆的步骤如下： 1、把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。 2、把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。 3、把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】 【对应练习 1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心的作图痕迹。 第 1 页 共 17 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 17 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·概念认识篇【十一大考点】 专题名称 第五单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题以圆的概念认识为主，其中包括圆的基础概念、基本特征、直径和半径 的关系、最圆问题以及与圆有关的作图等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的地基内容，考查难度较小，多以填空、选择、作图等题型为 主，建议作为本章基础内容进行讲解，并要求全体学生务必掌握。 考点数量 十一大考点 【考点一】圆的认识 ..............................................................................................................................................3 【考点二】圆的各部分名称 ................................................................................................................................. 4 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） ......................................................................................... 5 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 ................................................................................................. 7 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 ................................................................................... 10 【考点六】寻找圆心的方法 ............................................................................................................................... 11 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 ................................................................................................... 12 【考点八】最圆问题 ............................................................................................................................................13 【考点九】画圆 ....................................................................................................................................................14 【考点十】画出最圆 ............................................................................................................................................15 第 3 页 共 17 页 【考点十一】圆与图案设计 ............................................................................................................................... 16 【考点一】圆的认识 方法点拨 1. 圆的认识。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封 闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2. 古代数学文化。 早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这 样描述道：“圆，一中同长也。” 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 【对应练习】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点 O出发依次画出很多条长度为 4厘米的线段，形 成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在 2400多年前写的一句话：“圆， ( )也”。 第 4 页 共 17 页 【考点二】圆的各部分名称 方法点拨 1. 圆的各部分。 2. 判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 3. 等圆和同心圆。 （1）等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图 1。 （2）同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图 2。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 如图所示，点 O是( )，线段 OC是( )，线段( )是直径。 【对应练习 1】 《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( )。 【对应练习 2】 “圆规”的发明最早可追溯至中国夏朝，《史记•夏本纪》记载大禹治水“左准绳，右规矩”，“规” 第 5 页 共 17 页 即圆规。用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是( )。 A．圆的半径 B．圆的直径 C．圆的周长 D．圆心的位置 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） 方法点拨 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【典型例题 1】圆是轴对称图形 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【对应练习 1】 下图有( )条对称轴。 【对应练习 2】 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【对应练习 3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 【典型例题 2】作出对称轴 画出下面图形的对称轴，并填空。 第 6 页 共 17 页 （ ）条 【对应练习 1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 【对应练习 2】 画出下列图形的所有的对称轴。 【对应练习 3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 第 7 页 共 17 页 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 方法点拨 1. 一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径 都相等。 2. 在同一个圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的一半，用 字母表示为：d＝2r或 r＝d÷2。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 学校田径队要选拔实心球男运动员，成绩达到校队标准可以进入校队。李老师用一条与校队标 准等长的绳子定住中心点画了一条弧线，快速筛选出了入选的运动员。李老师运用了圆的 ( )的性质。 A．圆是轴对称图形 B．同一个圆内，直径长度是半径的 2倍 C．圆的周长与直径的比值相等 D．同一个圆的所有半径相等 【对应练习 1】 以点 O为圆心的圆内，三角形 OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是( )。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的周长是它的直径的π倍 C．同一个圆的半径相等 D．同一个圆的直径为半径的 2倍 第 8 页 共 17 页 【对应练习 2】 对于“井盖平面轮廓采用圆形”这个问题，下面说法中理由充分的是( )。 A．圆的直径是半径的 2倍。 B．同一圆的直径都相等，圆形的井盖怎么放都不会掉到井里。 C．圆的周长是直径的π倍。 D．圆是在周长相等的情况下，面积最大的平面图形。 【对应练习 3】 为了保持车辆的平稳行驶，所有车轮的平面轮廓都做成圆形，车轴装在圆心上，这是应用了圆 特征中的( )。 A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．圆心到圆上任意一点的距离都相等 【典型例题 2】问题二 将一个圆形纸片对折，量得折痕长 10cm，那么这个圆的直径是( )cm，半径是 ( )cm。 【对应练习 1】 用圆规画一个直径是 3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 【对应练习 2】 一个圆的半径是 4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【对应练习 3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【典型例题 3】问题三 看图填一填。 (1) 半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 第 9 页 共 17 页 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【对应练习 1】 看图填空（单位：cm）。 (1)d＝( )cm (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【对应练习 2】 看图填空。 r＝( )cm d＝( )cm r＝( )cm d＝( )cm 第 10 页 共 17 页 【对应练习 3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 方法点拨 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 用圆规画圆时，( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【对应练习 1】 圆的中心位置是由( )决定的，晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径， 这是因为( )。 第 11 页 共 17 页 【对应练习 2】 圆的位置是由( )决定，圆的大小是由( )决定，圆的周长是直径的( ) 倍。 【考点六】寻找圆心的方法 方法点拨 1. 同一圆内，两条直径的交点是圆心。 2. 同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【典型例题 1】问题一 小明想要在圆形蛋糕上找到圆心来均匀地插上蜡烛，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为 ( )。 A．圆有无数条直径 B．直径是圆中最长的线段 C．圆是轴对称图形 D．同一圆内，直径长度是半径的 2倍 【对应练习 1】 一张圆形的纸，至少对折几次，才能看到圆心？( ) A．1 B．2 C．4 第 12 页 共 17 页 【对应练习 2】 一张正方形的纸，至少对折( )次才能找到圆心。 【典型例题 2】问题二 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【对应练习 1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 【对应练习 2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 方法点拨 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽 两边各能画多少个圆，再将数量相乘。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 第 13 页 共 17 页 1. 把一张边长是 8分米的正方形纸片剪成半径是 0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 2. 在长 12.4cm、宽 7.2cm的长方形纸中，剪半径是 1cm的圆，能剪( )个。 【对应练习 1】 在一块长 42厘米、宽 35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是 3.5厘米的圆，最多能剪( ) 个。 【对应练习 2】 在一张长 19厘米，宽 13厘米的长方形纸中，剪直径是 2厘米的圆片，最多能剪几( ) 个。 【对应练习 3】 一块长 30分米，宽 20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是 20厘米的圆。 【考点八】最圆问题 方法点拨 1. 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】长方形中的最圆 在一张长 16cm、宽 12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是( )cm。 【对应练习 1】 在一个长 7厘米，宽 5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，半径 是( )。 【对应练习 2】 在一个长 6厘米，宽 4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。画一个 最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【对应练习 3】 在一个长 10厘米，宽 8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果 在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。 第 14 页 共 17 页 【典型例题 2】正方形中的最圆 在一个边长是 2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。 【对应练习 1】 从一张边长为 20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm。 【对应练习 2】 在一个周长为 20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm。 【对应练习 3】 在一个周长为 100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。 【考点九】画圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 画一个直径是 5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 【对应练习 1】 画一个半径是 2厘米的圆，并标出它的圆心 O和半径 r。 第 15 页 共 17 页 【对应练习 2】 请画出一个直径是 6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【对应练习 3】 画一个半径是 1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心 O，然后画出一条半径和一条直径，并用字 母表示出来。 【考点十】画出最圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 第 16 页 共 17 页 【对应练习 1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心的作图痕迹。 【对应练习 2】 按要求作图。 在下面的正方形里画一个最大的圆，并用字母标出圆心 O和半径 r。（保留作图痕迹） 【对应练习 3】 以点 0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。 【考点十一】圆与图案设计 方法点拨 用圆规和直尺画图的步骤和方法。 (1)分析图案的特点； (2)用圆规和直尺一步一步画图； (3)擦掉多余的辅助线并涂上颜色。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 第 17 页 共 17 页 请你用一个圆形和一个正方形设计一个有四条对称轴的组合图形。 【对应练习 1】 用圆规和尺作图，画一个与下图一样的图案。（正方形边长 4厘米） 【对应练习 2】 请你在下面的空白处画一个和下图形状一样的图案（大小可以不一样）。 【对应练习 3】 利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图形吗？试试看。 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元圆·概念认识篇【十一大考点】 专题名称 第五单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题以圆的概念认识为主，其中包括圆的基础概念、基本特征、直径和半径的关系、最圆问题以及与圆有关的作图等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的地基内容，考查难度较小，多以填空、选择、作图等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，并要求全体学生务必掌握。 考点数量 十一大考点 【考点一】圆的认识 3 【考点二】圆的各部分名称 4 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） 5 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 7 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 10 【考点六】寻找圆心的方法 11 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 12 【考点八】最圆问题 13 【考点九】画圆 14 【考点十】画出最圆 15 【考点十一】圆与图案设计 16 【考点一】圆的认识 方法点拨 1. 圆的认识。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2. 古代数学文化。 早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这样描述道：“圆，一中同长也。” 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 【对应练习】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点O出发依次画出很多条长度为4厘米的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。 【考点二】圆的各部分名称 方法点拨 1. 圆的各部分。 2. 判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 3. 等圆和同心圆。 （1）等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图1。 （2）同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图2。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 如图所示，点O是( )，线段OC是( )，线段( )是直径。 【对应练习1】 《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( )。 【对应练习2】 “圆规”的发明最早可追溯至中国夏朝，《史记•夏本纪》记载大禹治水“左准绳，右规矩”，“规”即圆规。用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是( )。 A．圆的半径 B．圆的直径 C．圆的周长 D．圆心的位置 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） 方法点拨 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【典型例题1】圆是轴对称图形 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【对应练习1】 下图有( )条对称轴。 【对应练习2】 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【对应练习3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 【典型例题2】作出对称轴 画出下面图形的对称轴，并填空。 （     ）条 【对应练习1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 【对应练习2】 画出下列图形的所有的对称轴。    【对应练习3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 方法点拨 1. 一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。 2. 在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示为：d＝2r或r＝d÷2。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 学校田径队要选拔实心球男运动员，成绩达到校队标准可以进入校队。李老师用一条与校队标准等长的绳子定住中心点画了一条弧线，快速筛选出了入选的运动员。李老师运用了圆的( )的性质。 A．圆是轴对称图形 B．同一个圆内，直径长度是半径的2倍 C．圆的周长与直径的比值相等 D．同一个圆的所有半径相等 【对应练习1】 以点O为圆心的圆内，三角形OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是( )。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的周长是它的直径的π倍 C．同一个圆的半径相等 D．同一个圆的直径为半径的2倍 【对应练习2】 对于“井盖平面轮廓采用圆形”这个问题，下面说法中理由充分的是( )。 A．圆的直径是半径的2倍。 B．同一圆的直径都相等，圆形的井盖怎么放都不会掉到井里。 C．圆的周长是直径的π倍。 D．圆是在周长相等的情况下，面积最大的平面图形。 【对应练习3】 为了保持车辆的平稳行驶，所有车轮的平面轮廓都做成圆形，车轴装在圆心上，这是应用了圆特征中的( )。 A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．圆心到圆上任意一点的距离都相等 【典型例题2】问题二 将一个圆形纸片对折，量得折痕长10cm，那么这个圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 【对应练习1】 用圆规画一个直径是3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 【对应练习2】 一个圆的半径是4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【对应练习3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【典型例题3】问题三 看图填一填。 (1)     半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【对应练习1】 看图填空（单位：cm）。 (1)d＝( )cm (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【对应练习2】 看图填空。 r＝( )cm   d＝( )cm   r＝( )cm   d＝( )cm 【对应练习3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 方法点拨 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 用圆规画圆时，( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【对应练习1】 圆的中心位置是由( )决定的，晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为( )。 【对应练习2】 圆的位置是由( )决定，圆的大小是由( )决定，圆的周长是直径的( )倍。 【考点六】寻找圆心的方法 方法点拨 1. 同一圆内，两条直径的交点是圆心。 2. 同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【典型例题1】问题一 小明想要在圆形蛋糕上找到圆心来均匀地插上蜡烛，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为( )。 A．圆有无数条直径 B．直径是圆中最长的线段 C．圆是轴对称图形 D．同一圆内，直径长度是半径的2倍 【对应练习1】 一张圆形的纸，至少对折几次，才能看到圆心？( ) A．1 B．2 C．4 【对应练习2】 一张正方形的纸，至少对折( )次才能找到圆心。 【典型例题2】问题二 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【对应练习1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 【对应练习2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 方法点拨 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽两边各能画多少个圆，再将数量相乘。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 1. 把一张边长是8分米的正方形纸片剪成半径是0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 2. 在长12.4cm、宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，能剪( )个。 【对应练习1】 在一块长42厘米、宽35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是3.5厘米的圆，最多能剪( )个。 【对应练习2】 在一张长19厘米，宽13厘米的长方形纸中，剪直径是2厘米的圆片，最多能剪几( )个。 【对应练习3】 一块长30分米，宽20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是20厘米的圆。 【考点八】最圆问题 方法点拨 1. 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】长方形中的最圆 在一张长16cm、宽12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是( )cm。 【对应练习1】 在一个长7厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，半径是( )。 【对应练习2】 在一个长6厘米，宽4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【对应练习3】 在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。 【典型例题2】正方形中的最圆 在一个边长是2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。 【对应练习1】 从一张边长为20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm。 【对应练习2】 在一个周长为20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm。 【对应练习3】 在一个周长为100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。 【考点九】画圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 画一个直径是5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 【对应练习1】 画一个半径是2厘米的圆，并标出它的圆心O和半径r。 【对应练习2】 请画出一个直径是6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【对应练习3】 画一个半径是1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心O，然后画出一条半径和一条直径，并用字母表示出来。 【考点十】画出最圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 【对应练习1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心的作图痕迹。 【对应练习2】 按要求作图。 在下面的正方形里画一个最大的圆，并用字母标出圆心O和半径r。（保留作图痕迹）       【对应练习3】 以点0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。 【考点十一】圆与图案设计 方法点拨 用圆规和直尺画图的步骤和方法。 (1)分析图案的特点； (2)用圆规和直尺一步一步画图； (3)擦掉多余的辅助线并涂上颜色。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 请你用一个圆形和一个正方形设计一个有四条对称轴的组合图形。 【对应练习1】 用圆规和尺作图，画一个与下图一样的图案。（正方形边长4厘米） 【对应练习2】 请你在下面的空白处画一个和下图形状一样的图案（大小可以不一样）。 【对应练习3】 利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图形吗？试试看。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第五单元圆·概念认识篇【十一大考点】 专题名称 第五单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题以圆的概念认识为主，其中包括圆的基础概念、基本特征、直径和半径的关系、最圆问题以及与圆有关的作图等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的地基内容，考查难度较小，多以填空、选择、作图等题型为主，建议作为本章基础内容进行讲解，并要求全体学生务必掌握。 考点数量 十一大考点 【考点一】圆的认识 3 【考点二】圆的各部分名称 4 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） 6 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 10 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 17 【考点六】寻找圆心的方法 18 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 22 【考点八】最圆问题 24 【考点九】画圆 27 【考点十】画出最圆 30 【考点十一】圆与图案设计 32 【考点一】圆的认识 方法点拨 1. 圆的认识。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2. 古代数学文化。 早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载，墨子在他的著作中这样描述道：“圆，一中同长也。” 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 【答案】圆 【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。 【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是（圆）。 【点睛】此题考查了对圆的认识。一个端点不动，就是圆心，一条线段就是半径，另一端点旋转一周，其轨迹所形成的图形就是圆。 【对应练习】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点O出发依次画出很多条长度为4厘米的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。 【答案】一中同长 【分析】圆这种图形，有一个中心，从这个中心到圆上各点都一样长。数学意义：圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等，即在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。早在2400多年前，我国古代著名教育家墨子就曾写过这样一句话“圆，一中同长也”，正是诠释了圆的这一特征。 【详解】根据分析得，亮亮的想法正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，一中同长也”。 【点睛】此题的解题关键是认识理解圆的特征。 【考点二】圆的各部分名称 方法点拨 1. 圆的各部分。 2. 判断半径、直径的方法。 半径：看线段的一端是否在圆心，另一端是否在圆上。 直径：(1)看是否通过圆心；(2)看线段的两端是否都在圆上。 3. 等圆和同心圆。 （1）等圆：半径相等的两个或几个圆叫作等圆。如图1。 （2）同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。如图2。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 如图所示，点O是( )，线段OC是( )，线段( )是直径。 【答案】 圆心 半径 AB/BA 【分析】圆心的位置决定了圆的位置，半径决定圆的大小。 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径。 【详解】如图所示，点O是圆心，线段OC是半径，线段AB是直径。 【对应练习1】 《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( )。 【答案】 圆心 长度相等 【分析】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的距离，叫做半径，在同圆中，所有的半径都相等；“圆，一中同长也”，即圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等。 【详解】由分析可得，《墨经》中记载“圆，一中同长也。”这句话中“一中”是指圆心，“同长”是指长度相同。 【对应练习2】 “圆规”的发明最早可追溯至中国夏朝，《史记•夏本纪》记载大禹治水“左准绳，右规矩”，“规”即圆规。用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是( )。 A．圆的半径 B．圆的直径 C．圆的周长 D．圆心的位置 【答案】A 【分析】根据圆的认识知识可知，用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是圆的半径，据此解答即可。 【详解】用圆规画圆时，圆规两只脚之间的距离是圆的半径。 故答案为：A 【考点三】圆的特征其一：对称性（轴对称图形） 方法点拨 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【典型例题1】圆是轴对称图形 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【答案】 无数 圆心 【分析】根据轴对称图形的定义以及圆的特征，分析填空即可。 【详解】圆是轴对称图形，它有无数条对称轴；因为圆的对称轴是直径所在的直线，又因为通过圆心、并且两端都在圆上的线段，叫做直径，所以圆的对称轴一定通过圆心。 【点睛】本题考查了圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习1】 下图有( )条对称轴。 【答案】4 【分析】如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。分别找到圆和正方形的对称轴，再寻找组合图形的对称，据此解答。 【详解】正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，所以题干中的组合图形有4条对称轴。 【点睛】本题需要根据正方形和圆的特征去找组合图形的对称轴。 【对应练习2】 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【答案】 圆 等边三角形 等腰梯形 【分析】我们学过三角形、正方形、长方形、梯形和圆等平面图形，其中等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。据此，结合题意分析填空即可。 【详解】根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 圆、正方形、等边三角形、长方形、等腰梯形。 【点睛】本题考查了对称轴的数量，熟记常见图形的对称轴数量是解题的关键。 【对应练习3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 【答案】 3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【详解】第一个图形有5条对称轴； 第二个图形有3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第3个图形，有无数条对称轴。 【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 【典型例题2】作出对称轴 画出下面图形的对称轴，并填空。 （     ）条 【答案】画图见详解； 1 【分析】如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。画对称轴时要用虚线。此图是由一个大圆和两个大小相同的小圆组成的，过大圆的圆心和两个小圆相交处画直线，直线两旁的部分能够完全重合。 【详解】如下图。 把大圆的圆心和两个小圆相交处相连并延长，可以画出对称轴，所以这个图形有1条对称轴。 【点睛】找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个整体，仔细观察，发现对称轴的位置。 【对应练习1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 【答案】见详解 【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。 【详解】作图如下： （画法不唯一）。 【点睛】此题考查了轴对称的意义及在实际当中的运用。 【对应练习2】 画出下列图形的所有的对称轴。    【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图：    【点睛】利用轴对称图形的特点，找出轴对称图形的所有对称轴是解题的关键。 【对应练习3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连结对称点。（3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 据此画出各图形对称轴并确定对称轴的数量即可。 【详解】 【点睛】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【考点四】圆的特征其二：直径和半径的关系 方法点拨 1. 一个圆里有无数条半径和直径，同一圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。 2. 在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示为：d＝2r或r＝d÷2。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 学校田径队要选拔实心球男运动员，成绩达到校队标准可以进入校队。李老师用一条与校队标准等长的绳子定住中心点画了一条弧线，快速筛选出了入选的运动员。李老师运用了圆的( )的性质。 A．圆是轴对称图形 B．同一个圆内，直径长度是半径的2倍 C．圆的周长与直径的比值相等 D．同一个圆的所有半径相等 【答案】D 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数条半径，同一个圆内所有的半径都相等。据此解答。 【详解】由分析可知： 李老师用一条与校队标准等长的绳子定住中心点画了一条弧线，快速筛选出了入选的运动员。李老师运用了圆的（同一个圆的所有半径相等）的性质。 故答案为：D 【对应练习1】 以点O为圆心的圆内，三角形OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是( )。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的周长是它的直径的π倍 C．同一个圆的半径相等 D．同一个圆的直径为半径的2倍 【答案】C 【分析】因为点A、B都在以O为圆心的同一个圆上，所以OA和OB都是这个圆的半径，长度相等。因此三角形OAB具有两条边相等，必然是等腰三角形。 【详解】根据分析可知，以点O为圆心的圆内，三角形OAB一定是等腰三角形。做出这个判断的依据是同一个圆的半径相等。 故答案为：C 【对应练习2】 对于“井盖平面轮廓采用圆形”这个问题，下面说法中理由充分的是( )。 A．圆的直径是半径的2倍。 B．同一圆的直径都相等，圆形的井盖怎么放都不会掉到井里。 C．圆的周长是直径的π倍。 D．圆是在周长相等的情况下，面积最大的平面图形。 【答案】B 【分析】同圆或等圆中，所有的直径和半径都相等，且两端都在圆周上的线段，直径最长；井盖平面轮廓采用圆形就是利用这一特性，据此分析解答。 【详解】对于“井盖平面轮廓采用圆形”这个问题，同一圆的直径都相等，圆形的井盖怎么放都不会掉到井里。 故答案为：B 【对应练习3】 为了保持车辆的平稳行驶，所有车轮的平面轮廓都做成圆形，车轴装在圆心上，这是应用了圆特征中的( )。 A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．圆心到圆上任意一点的距离都相等 【答案】D 【分析】圆的特征：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；在同一个圆内有无数条半径，同一个圆内所有的半径都相等。圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴。 把车轴安装在车轮的圆心处，车开起来更平稳，是利用了同一个圆的半径都相等的特性。 【详解】为了保持车辆的平稳行驶，所有车轮的平面轮廓都做成圆形，车轴装在圆心上，这是应用了圆特征中的圆心到圆上任意一点的距离都相等。 故答案为：D 【典型例题2】问题二 将一个圆形纸片对折，量得折痕长10cm，那么这个圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 【答案】 10 5 【分析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；据此可知折痕就是圆的直径；再根据半径＝直径÷2，据此解答即可。 【详解】将一个圆形纸片对折，量得折痕长10cm，则这个圆的直径是10cm； 10÷2＝5（cm）。 则半径是5cm。 【对应练习1】 用圆规画一个直径是3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 【答案】1.5 【分析】圆规两脚张开的距离相当于圆的半径，圆的直径相当于半径的两倍，用3÷2即可求出半径。 【详解】3÷2＝1.5（厘米） 圆规两脚张开的距离是1.5厘米。 【点睛】本题主要考查了圆的认识，明确直径和半径之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习2】 一个圆的半径是4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【答案】9.2 【分析】同一个圆内，直径＝半径×2，据此分析。 【详解】4.6×2＝9.2（厘米） 【点睛】关键是熟悉圆的特征。 【对应练习3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶1 2 【分析】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作1份，直径2份，根据比的意义即可解答。 【详解】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作1份，直径2份， 直径与半径的比是：2∶1 2∶1＝2÷1＝2 【点睛】此题考查的是同圆中，直径与半径的关系，掌握直径＝半径×2是解题关键。 【典型例题3】问题三 看图填一填。 (1)     半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【答案】(1) 7 14 (2) 10 28 【分析】（1）根据图意可知，半圆的半径等于长方形的宽，也就是7cm，直径等于半径的2倍，用半径长度乘2即可求出直径长度。 （2）根据图形可知，圆的直径为4m，半径为（4÷2）m，长方形的长＝两个圆的直径＋一个圆的半径，宽等于4m，根据长方形的周长公式即可求出长方形的周长。 【详解】（1）7×2＝14（cm） 即半圆的半径是7cm，直径是14cm。 （2）4＋4＋4÷2 ＝8＋2 ＝10（m） （10＋4）×2 ＝14×2 ＝28（m） 即长方形的长是10m，周长是28m。 【点睛】本题主要考查圆的半径和圆的直径之间的关系以及长方形的长、宽与圆的半径、直径之间的关系。 【对应练习1】 看图填空（单位：cm）。 (1)d＝( )cm (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【答案】(1)12 (2)8.6 (3)4.5 (4)2.4 【分析】（1）在同一个圆中，直径是半径的2倍，d＝2r； （2）梯形的高等于圆的半径，d＝2r； （3）如图所示，正方形的边长等于圆的直径d，半径r＝d÷2； （4）如图所示，3个圆的半径是3.6cm，半径r＝3.6÷3，直径d＝2r；据此解答。 【详解】（1）d＝2×6＝12（cm） （2）d＝2×4.3＝8.6（cm） （3）r＝9÷2＝4.5（cm） （4）r＝3.6÷3＝1.2（cm） d＝1.2×2＝2.4（cm） 【点睛】本题考查圆的特征、同圆或等圆中直径与半径的关系以及正方形的特征。 【对应练习2】 看图填空。 r＝( )cm   d＝( )cm   r＝( )cm   d＝( )cm 【答案】 3 8 10 9.6 【分析】根据圆的半径＝直径÷2，直径＝半径×2，计算后填空即可。 【详解】6÷2＝3（cm）、4×2＝8（cm）、4.8×2＝9.6（cm） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，知道直径和半径之间的关系。 【对应练习3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【答案】 4 8 6 12 10 25 12 8 【分析】（1）由图可知，圆的直径相当于正方形的边长即8cm，根据半径＝直径÷2，据此解答。 （2）由图可知，长方形的长相当于圆的半径，根据直径＝半径×2，据此解答即可。 （3）由图可知：圆的直径是10cm，长方形的长＝两条圆的直径＋一条半径，宽就是圆的半径。 （4）由图可知：长方形的长＝一条直径＋一条半径，宽就是圆的直径，据此解答即可。 【详解】由分析可知： （1）8÷2＝4（cm） r＝（ 4 ）cm，d＝（ 8 ）cm。 （2）6×2＝12（cm） r＝（ 6 ）cm，d＝（ 12  ）cm。 （3）10×2＋10÷2 ＝20＋5 ＝25（cm） 长方形的宽是（ 10 ）cm，长方形的长是（ 25  ）cm。 （4）4×2＝8（cm） 4×2＋4 ＝8＋4 ＝12（cm） 长方形的长是（ 12  ）cm，长方形的宽是（ 8  ）cm。 【点睛】本题考查长方形内画圆，圆与长方形的关系，明确它们的关系是解题的关键。 【考点五】圆的特征其三：圆的中心位置与大小关系 方法点拨 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 用圆规画圆时，( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【答案】 圆心 半径 【分析】圆规再画圆的时候，有针的一脚不动，即圆心，圆心确定了，圆的位置也就确定了，有笔头的一脚旋转一周，得到圆，两脚之间的距离是圆的半径，半径越长，圆越大，半径越短，圆越小，由此填空即可。 【详解】由分析可得： 用圆规画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 【对应练习1】 圆的中心位置是由( )决定的，晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为( )。 【答案】 圆心 两端都在圆上的线段中，直径最长 【分析】根据圆心决定圆的位置，结合直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在圆中直径最长，解答即可。 【详解】（1）圆的中心位置是由圆心决定的； （2）晶晶打算用如图的方法测量没有标出圆心的圆的直径，这是因为两端都在圆上的线段中，直径最长。 【点睛】本题考查了圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小知识，结合两端都在圆上的线段中，直径最长，分析解答即可。 【对应练习2】 圆的位置是由( )决定，圆的大小是由( )决定，圆的周长是直径的( )倍。 【答案】 圆心 半径 π 【详解】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，根据C＝πd可知，圆的周长是直径的π倍。 【考点六】寻找圆心的方法 方法点拨 1. 同一圆内，两条直径的交点是圆心。 2. 同一圆内，两条半径的公共端点是圆心。 考察形式 填空、选择、作图 动态评价 【典型例题1】问题一 小明想要在圆形蛋糕上找到圆心来均匀地插上蜡烛，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为( )。 A．圆有无数条直径 B．直径是圆中最长的线段 C．圆是轴对称图形 D．同一圆内，直径长度是半径的2倍 【答案】B 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，直径是圆内最长的线段，据此分析。 【详解】根据分析，他用一把直尺就找到了圆心，主要是因为直径是圆中最长的线段。 故答案为：B 【对应练习1】 一张圆形的纸，至少对折几次，才能看到圆心？( ) A．1 B．2 C．4 【答案】B 【分析】用一张圆形的纸，依次对折1次、2次和4次，看能否看到圆心，从而解题。 【详解】A．对折1次不展开，折痕所在直线是一条直径，看不出圆心位置； B．对折2次不展开，折痕所在直线是两条半径，两条半径的交点就是圆心； C．对折4次不展开，折痕所在直线是两条半径，两条半径的交点就是圆心； 所以，至少对折2次，才能看到圆心。 故答案为：B 【对应练习2】 一张正方形的纸，至少对折( )次才能找到圆心。 【答案】2 【分析】圆的圆心是正方形的中心，正方形中两条对角线的交点即为圆心；连接正方形对边中点，两条折线的交点即为圆心，据此解答。 【详解】方法一： 方法二： 如图所示，沿虚线至少对折2次即可找到圆心。 【点睛】找出正方形的中心是解答题目的关键。 【典型例题2】问题二 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【答案】见详解 【分析】根据圆的轴对称性，并且圆心是到圆周上任意一点距离都相等的点，把这个圆看作一张圆形的纸，沿两个不同位置对折，这些折痕相交于圆内的一点就是圆心的位置；据此解答。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查了圆形的认识与特征，关键理解概念。 【对应练习1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】先连接正方形的2条对角线，以对角线的交点作为圆的圆心O；然后画一条通过圆心且两端都在圆上的线段，即是直径d。 【详解】如图： 【点睛】本题考查确定圆心位置的方法以及直径的认识。 【对应练习2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 【答案】见详解 【分析】左图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心O；通过圆心任意画一条两端都在圆上的线段，即是圆的直径d。 右图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心O；因为这两条对角线的两端都在圆上，所以它们也是圆的直径d，据此画图即可。 【详解】如图： （答案不唯一） 【点睛】本题考查外方内圆、外圆内方图形找圆心和直径的方法。 【考点七】长方形或正方形中圆的数量问题 方法点拨 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽两边各能画多少个圆，再将数量相乘。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 1. 把一张边长是8分米的正方形纸片剪成半径是0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 【答案】64 【分析】直径＝半径×2，在正方形里剪出的圆片数量相当于在正方形里剪出边长等于直径的正方形数量，据此分析。 【详解】8×8÷（0.5×2）² ＝64÷1 ＝64（个） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握正方形面积公式。 2. 在长12.4cm、宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，能剪( )个。 【答案】18 【分析】半径是1cm的圆，则直径为2cm，横着可以剪这样的圆的个数为12.4÷2≈6个，竖着可以剪这样的圆的个数为7.2÷2≈3个（用去尾法取近似值，余下的不能剪1个就舍去），共6×3=18个，据此选择即可。 【详解】1×2=2cm， 12.4÷2≈6（个）， 7.2÷2≈3（个）， 6×3=18（个）， 答：能剪18个这样的圆 【点睛】分别求出在长方形中长和宽各能剪这样的圆多少个，然后相乘，要注意用去尾法取近似值。 【对应练习1】 在一块长42厘米、宽35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是3.5厘米的圆，最多能剪( )个。 【答案】30 【分析】最多能剪圆的个数＝长边剪的个数×宽边剪的个数；其中，长边剪的个数＝长÷圆的直径，宽边剪的个数＝宽÷圆的直径，直径＝半径×2，据此解答。 【详解】3.5×2＝7（厘米） 42÷7＝6（个） 35÷7＝5（个） 6×5＝30（个） 所以最多能剪30个半径是3.5厘米的圆。 【对应练习2】 在一张长19厘米，宽13厘米的长方形纸中，剪直径是2厘米的圆片，最多能剪几( )个。 【答案】54 【分析】圆片的直径是2厘米，根据长方形的长是19厘米，宽是13厘米，可分别用长方形的长和宽除以圆直径就可得出长和宽分别可以剪出多少个圆片，最后再相乘就是所求的答案，列式解答。 【详解】19÷2＝9（个）……1（厘米） 13÷2＝6（个）……1（厘米） 9×6＝54（个） 最多可以剪54个。 【点睛】解答此题的关键是明确长方形切割成圆形的方法。不可用长方形的面积除以圆的面积，因为圆不能密铺。 【对应练习3】 一块长30分米，宽20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是20厘米的圆。 【答案】35 【分析】先求出圆的直径；再求出长方形的长里面包含几条直径，宽里面包含几条直径；最后用长里面包含的直径条数乘宽里面包含的直径条数求出最多可剪的圆的个数。 【详解】30分米＝300厘米，20分米＝200厘米 直径：20×2＝40（厘米） 300÷40＝7（条）……20（厘米） 200÷40＝5（条） 7×5＝35（个） 所以最多可剪35个半径是20厘米的圆。 【点睛】因为圆不能密铺，所以求圆的个数不能用长方形的面积除以圆的面积。 【考点八】最圆问题 方法点拨 1. 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】长方形中的最圆 在一张长16cm、宽12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是( )cm。 【答案】6 【分析】在长方形纸上画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，圆规两脚间的距离是圆的半径，半径＝直径÷2，据此分析解答。 【详解】圆的直径等于长方形的宽是12厘米，则半径为12÷2＝6厘米，即圆规两脚间的距离是6厘米。 【点睛】此题考查圆直径和半径之间的关系，明确最大的圆的直径等于长方形的较短边是解题的关键。 【对应练习1】 在一个长7厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，半径是( )。 【答案】 5厘米 2.5厘米 【分析】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径不能超过长方形的宽，题中告诉长方形的宽是5厘米，所以圆的直径是5厘米，同圆或等圆中，半径是直径的一半，所以半径是（5÷2）厘米。 【详解】在一个长7厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是5厘米，半径是2.5厘米。 【对应练习2】 在一个长6厘米，宽4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【答案】 4 3 【分析】如下图，因为6＞4，所以在长方形里画最大的圆，应以长方形的宽（4厘米）为直径。6÷2＝3（厘米），3＜4，所以应该以长方形的长为最大半圆的直径画半圆，再用直径÷2求出这个半圆的半径。   【详解】如上图，长方形中最大圆的直径等于长方形的宽，所以在一个长6厘米，宽4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是4厘米。 6÷2＝3（厘米），3厘米小于长方形宽4厘米，所以画一个最大的半圆，这个半圆的半径是3厘米。 【点睛】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；在长方形内画最大的半圆，当宽大于或等于长的一半时，半径是长的一半。 【对应练习3】 在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。 【答案】 4 10 【分析】在长方形上画一个最大的圆，则圆的直径相当于长方形的宽，根据d＝2r，用8÷2即可求出圆的半径，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，则半径要小于宽，所以以长为半圆的直径可以画出最大的半圆。据此解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 10÷2＝5（厘米） 5＜8 在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是4厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是10厘米。 【点睛】本题主要考查了圆直径和半径之间的关系，以及长方形和圆的关系。 【典型例题2】正方形中的最圆 在一个边长是2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。 【答案】2 【分析】能画出的最大的圆的直径，和正方形的边长相等。 【详解】在一个边长是2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是2厘米。 【点睛】本题考查了画圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习1】 从一张边长为20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm。 【答案】20 【分析】根据题意，在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于正方形的边长，据此解答。 【详解】如图： 这个圆的直径是20cm。 【点睛】掌握在正方形内画最大的圆，圆的直径与正方形的边长之间的关系是解题的关键。 【对应练习2】 在一个周长为20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm。 【答案】2.5 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形的周长除以4即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】20÷4÷2 ＝5÷2 ＝2.5（cm） 所以，在一个周长为20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是2.5cm。 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系。 【对应练习3】 在一个周长为100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。 【答案】12.5 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形的周长除以4即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】100÷4÷2 ＝25÷2 ＝12.5（厘米） 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系。 【考点九】画圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 画一个直径是5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，用5÷2＝2.5厘米，求出圆的半径；用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于2.5厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可得到半径是2.5厘米的圆，并在图中用字母标出圆心O、半径r。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 如图： 【对应练习1】 画一个半径是2厘米的圆，并标出它的圆心O和半径r。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤如下：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。（2）把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。（3）把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。据此解答。 【详解】 【对应练习2】 请画出一个直径是6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，据此求出半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此画出这个半圆，并用字母标出它的圆心和半径；根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） 如图： 【对应练习3】 画一个半径是1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心O，然后画出一条半径和一条直径，并用字母表示出来。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小；以点O为圆心，圆规两脚之间的距离就是半径，圆心到圆上的长度就是半径用字母r表示；通过圆心且两个端点在圆上的线段就是直径用字母d表示。据此作图即可。 【详解】如图所示： 【考点十】画出最圆 方法点拨 1. 实物画圆。 把圆形物体放在纸上，固定不动，用铅笔沿边缘描一圈，就画出了一个圆。 2. 圆规画圆。 ①定长：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 ②定点：把带针尖的脚固定在一个点上。 ③旋转：把装铅笔的脚绕着固定点旋转一周，就画出一个圆。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】画出正方形的两条对角线，对角线的交点就是正方形内最大的圆的圆心。测量正方形的边长，边长的一半就是圆的半径。 画圆的步骤如下： 1、把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。 2、把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。 3、把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】 【对应练习1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心的作图痕迹。 【答案】见详解 【分析】连接两条对角线，两条对角线相交的点即为圆心，边长的一半为半径，由此画出最大的圆即可。 【详解】画图如下： 【点睛】明确圆心的位置和半径的长度是解答本题的关键。 【对应练习2】 按要求作图。 在下面的正方形里画一个最大的圆，并用字母标出圆心O和半径r。（保留作图痕迹）       【答案】图形见详解 【分析】连接这个正方形的对角线，对角线的交点就是圆心，然后以正方形的边长的一半为半径，据此作图即可。 【详解】经测量正方形的边长为4厘米，则该圆的半径为4÷2＝2（厘米） 如图所示： 【点睛】此题考查了正方形和圆的画法，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键。 【对应练习3】 以点0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】长方形有2条对称轴，分别是两组对边中点所在的直线，长方形中最大的圆是以宽为直径的圆，由此以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画圆，由此即可解决问题。 【详解】以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画圆可画出符合题意的图形如下： 【点睛】抓住长方形对称轴的特点和长方形内最大圆的特点，确定这个圆的圆心为两条对称轴的交点，是解决本题的关键。 【考点十一】圆与图案设计 方法点拨 用圆规和直尺画图的步骤和方法。 (1)分析图案的特点； (2)用圆规和直尺一步一步画图； (3)擦掉多余的辅助线并涂上颜色。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 请你用一个圆形和一个正方形设计一个有四条对称轴的组合图形。 【答案】见详解 【分析】画一个正方形，再以这个正方形的对角线的交点为圆心，以正方形边长的一半为半径，所画出的图形就符合要求；或者先画一个圆，再画这个圆的两条互相垂直的直径，分别连接两条直径与圆的交点，所形成的四边形就是正方形，且这个正方形和这个圆所组成的图形有四条对称轴。 【详解】依据分析画图如下： 或者 【点睛】此题主要考查圆的画法以及轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。 【对应练习1】 用圆规和尺作图，画一个与下图一样的图案。（正方形边长4厘米） 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 用画垂线或平行线的方法，先画一个边长4厘米的正方形，以正方形每条边的中点为圆心，分别画出4个直径是4厘米的半圆即可。 【详解】 【点睛】关键是掌握画正方形和圆的方法，能利用圆规画出圆。 【对应练习2】 请你在下面的空白处画一个和下图形状一样的图案（大小可以不一样）。 【答案】见详解 【分析】先测量出原图中大圆的半径，再确定所画大圆的圆心，根据测量结果画出大圆，然后在大圆中画两条互相垂直的直径，以所画半径的中点为圆心，半径的一半为半径画出四个小圆，最后根据原图形涂出阴影部分，据此解答。 【详解】分析可知： 【点睛】画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，掌握圆的画法是解答题目的关键。 【对应练习3】 利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图形吗？试试看。 【答案】见详解 【分析】，先画出一个正方形，一正方形每条边的中心为圆心，正方形边长的一半为半径，分别画出4个半圆即可； ，先画出大圆，再画出两条垂直的直径，以大圆半径的中心为圆心，分别画出4个半圆即可； ，先画出大圆，以大圆直径上的两条半径中心为圆心，上下各画两个半圆弧即可； ，先画出大圆，再画出两条垂直的半径，分别以大圆半径的中心为圆心，画出4个半圆弧即可； 【详解】 【点睛】关键是看懂图例，掌握画圆的方法。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$