3.5 一元一次不等式组（12大基础题型+5大巩固提升）（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

3.5 一元一次不等式组 题型一：判断是否为一元一次不等式组 1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 题型二：一元一次不等式组在数轴上的表示 1．（2025·河南郑州·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的解集以及在数轴上的表示，解题关键是理解解集的概念，本题根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”求出解集并在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式组的解集为， 利用大小小大取中间，且包括3和4，取实心点， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，数轴表示不等式解集，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质，分别求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 解集表示在数轴上如图所示， 故选：D． 4．（2025·山西·模拟预测）不等式组，的解集可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组解集的表示，解题关键是熟练运用解一元一次不等式组的方法进行准确计算．根据解不等式组的方法求解后判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 把不等式组的解集表示在数轴上： 故选：B． 5．（2025·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选D． 6．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 先解每一个不等式，再求解集的公共部分，在数轴上表示解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． ∴数轴表示为： 故选：B． 7．（2025九年级下·全国·专题练习）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可． 【详解】解：在数轴上表示不等式组的解集，如下： 故选：A 题型三：解一元一次不等式组（计算题） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解： 解①得，   解②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示为： 2．（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示如下： 3．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）解不等式组：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】解集为，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，然后在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示为： 4．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断不等式组的解集即可； （2）先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）解不等式组 ，请按下列步骤完成解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集是 ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）作图见解析；（Ⅳ） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用不等式组解集求法原则求出它们的公共部分，然后把不等式的解集分别表示在数轴上即可得到答案． 【详解】解：， （Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ； （Ⅳ）原不等式组的解集是； 故答案为：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅳ）． 6．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式（组）的解法是解题关键． （1）根据不等式的性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上即可得； （2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 把不等式的解集表示在数轴上，如图所示： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： 题型四：求一元一次不等式组的整数解 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式组的解集中，有（    ）个整数解． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 则不等式组的整数解有、、、共个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先分别解两个不等式，求出解集的公共部分，再确定其中的正整数解的个数即可． 【详解】解：解不等式： 展开得： 移项合并同类项： 解得：； 解不等式： 移项得： 两边乘以，得 ∴不等式组的解集为， 则正整数解为 即不等式组的正整数解的个数为1个， 故选：A． 3．（24-25七年级下·河南许昌·期末）不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别解两个不等式，确定解集的公共部分，再找出其中的整数解个数即可． 【详解】解：解得： 解得： 即 在内的整数为，共6个． 故选：B 4．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先解不等式组，然后从不等式组的解集中找到最大整数解即可． 【详解】 解①得， ， 解②得， ， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解是1， 故选：C． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）不等式组的非负整数解的和为 ． 【答案】21 【分析】本题考查求不等式组的整数解，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而确定不等式组的非负整数解，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2，3，4，5，6 ∴； 故答案为：21 7．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）请写出满足不等式组的一个正整数解 ． 【答案】1或2 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，然后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的正整数解为， 故答案为：1或2． 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 则不等式组的解集是：． 则最大整数解是2． 故答案为：2． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）不等式组所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键； 分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分得不等式组的解集，从而可确定所有整数解，继而求得所有整数解的和． 【详解】解：解不等式，得：； 解不等式，得：； 所以不等式组的解集为， 则整数解为，其和为； 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）不等式组的最小整数解为 ． 【答案】0 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，根据x的取值范围，得出x的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．正确的求出不等式的解集是解题的关键．首先解不等式组，再根据x是整数解得出x的可能取值，进而得出最小整数解． 【详解】解： ， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∵x为整数，故x可取0、1、2、3、4， ∴最小整数解为0． 故答案为：0． 题型五：由一元一次不等式组求参数 1．（24-25七年级下·全国·期末）若不等式组的解集是，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求参数，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”是解本题的关键． 先求出不等式的解集，再根据两个不等式解集的公共部分为，即可确定n的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集是， ， 故选D． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的字母参数，解题关键是掌握求不等式组的字母参数求法． 先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集是，得到关于m的不等式求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得：， 故选：D． 4．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解不等式，先根据不等式的解集为，可得不等式的符号改变，故有，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得：， 关于x的不等式组的解集为， ， 故选：D ． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）若不等式组的解集为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确两个不等式的解集，按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的是无解”确定不等式组的解集．把不等式的解用含，的式子表示出来，再结合条件进行分析即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， 即， 故答案为：，． 7．（24-25七年级下·青海玉树·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及根据解集求参数，重点在于理解“同大取大”等不等式组解集的确定原则． 分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集来确定参数a的值． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 当时，， 则， 时，， 则a无解． ， 故答案为： 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 根据口诀：同大取大，且结合不等式组的解集，得出，再解得，可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为：， ， 解这个不等式得， 故答案为： 9．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分别求出不等式①②的解集，根据不等式组的解集为得到，即m的范围． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵已知不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·福建宁德·阶段练习）若不等式组的解集为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数．首先解出不等式组的解集，再把结果与所给的解集对比，即可求得a，b的值． 【详解】解：由，解得：， 由，解得：， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ∴，解得：，， ∴， 故答案为：2． 11．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，注意找准对应关系．根据题目中的不等式组可以求得、的值，从而可以求得的值． 【详解】解：由不等式组 得：． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型六：列一元一次不等式组 1．（2025·广西南宁·模拟预测）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组是解题的关键． 【详解】解：设有条船，由题意可得， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温即温度大于或等于，据此即可判断． 【详解】解：某天最高气温是，最低气温，则当天重庆市的气温t℃的变化范围是． 故答案为：D． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 5．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 6．（24-25八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组． 【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页 由“张力读了一周（7天）还没读完”可得： 由“李永不到一周就已读完” 可得： 故： 故选：A． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为”，可得出这箱苹果共个，结合“若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果，且小朋友的人数为， 这箱苹果共个， 每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个， ， 故选：C． 题型七：不等式组中行程问题 1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型八：不等式组中工程问题 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 3．（24-25七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ （3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？ 【答案】（1）甲、乙两工程队各需要25天和50天； （2）甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元； （3）取值范围是：17≤m＜20．   【详解】分析：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，列方程求解即可； （2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，根据甲队的10天的总费用+乙队15天的总费用=85”列方程求解可得； （3）根据题意表示出甲、乙两队的施工天数，再根据不等关系：①甲队施工总费用+乙队施工总费用≤116，②乙队施工天数＞10，列出不等式组，求出范围． 详解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据题意得： +=， 解得：x=25， 经检验：x=25是原方程的根， 则2x=25×2=50（天）， 答：甲、乙两工程队各需要25天和50天； （2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元， 根据题意得：10a+15（a-1）=85， 解得：a=4， 则a-1=3（万元）， 答：甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元； （3）设全部完成此项工程中，甲队施工了m天， 则甲完成了此项工程的，乙队完成了此项工程的（）， 故乙队在全部完成此项工程中，施工时间为：=50-2m（天）， 根据题意得：， 解得：17≤m＜20． 答：甲工程队施工天数m的取值范围是：17≤m＜20． 题型九：不等式组中经济问题 1．（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找出不等关系并列出不等式组是解题的关键． 根据总费用不超过3550元，购买篮球的数量多于购买足球的数量，列出不等式组，求解即可． 【详解】设购买篮球个，则购买足球个，根据题意，得 ， 解得：， ∵篮球和足球的数量是整数， ∴， 答：学校购买篮球个． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 【答案】(1)糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元 (2)糯米糍最多为箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出，即可求解． 【详解】（1）解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元； （2）解：设糯米糍有箱，则桂味有箱， 由题意可得： 解得：， 为正整数， 糯米糍最多为箱． 4．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【答案】每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件，根据每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】解：设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件， 由题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴， 答：每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件． 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 6．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的2倍，购买奖品的花费不得高于680元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元 (2)购买A奖品17个，购买B奖品8个，花费最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的解法，需熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法． （1）设出未知数，根据题目已知条件列二元一次方程组求解即可． （2）根据A种奖品与B种奖品的数量关系以及钱数列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， ∵购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元， 购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元， 由题意，得：，解得：． 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元． （2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个， ∵购买奖品的花费不得高于680元， 由题意，得：，解得：． ∵m为整数， ∴，则． ∴学校有两种购买方案， 方案一：购买A种奖品17个，则购买B种奖品8个， ∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元， 此时花费元； 方案二：购买A种奖品18个，则购买B种奖品7个， ∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元， 此时花费元； ∴时，花费最少， 即购买A奖品17个，购买B奖品8个，花费最少． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 (1)该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； (2)该个体户能够获得的最大利润是多少？ (3)若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【答案】(1)有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； (2)665元 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，根据预计投资不少于1800元，但不超过1830元建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案； （2）根据计算出一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润大，则A款T恤越多，利润越大，据此确定利润最大的方案，并计算出最大利润即可； （3）设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套，用含a、x的式子表示出总利润，根据利润不变可知利润的值与x值无关求解即可． 【详解】（1）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的值可以为30或31或32或33， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， ∴有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； （2）解：∵， ∴一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润高， ∴购买A款33套，B款17套时所获得的利润最大，最大利润为元， 答：该个体户能够获得的最大利润是665元； （3）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤套， 将每套A款T恤的售价降低a元（）后，所获得的利润为（元）， ∵要使（1）中所有方案获利相同， ∴利润的值与x值无关， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元．当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元． (1)求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ (3)为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为______． 【答案】(1)该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是15万元，1辆B型汽车的进价是25万元； (2)该公司有3种购进方案 (3)1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出列出方程和一元一次不等式组． （1）设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是x万元，则该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价是万元，根据“当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价，再将其代入中，即可求出该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价； （2）设购进m辆A型汽车，则购进辆B型汽车，根据“该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，且全部售出后至少要获利11万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）根据（2）中所有方案获利相同，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是x万元，则该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价是万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是15万元，1辆B型汽车的进价是25万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，则购进辆B型汽车， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为9，10，11， ∴该公司共有3种购进方案， 方案1：购进9辆A型汽车，6辆B型汽车； 方案2：购进10辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进11辆A型汽车，4辆B型汽车； （3）解：根据（2）中的方案，当方案1和方案2获利相同，则： 解得：， 此时方案1和方案2获利（万元）， 方案3获利（万元） ∴要使（2）中所有方案获利相同，则a的值为1． 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． (1)求一件型商品的进价分别为多少元？ (2)若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ (3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元 (2)见解析 (3)方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量关系列出方程和不等式式解题的关键． （1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元，根据数量总价单价，结合“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进A型商品m件，则购进B型商品件，根据“A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于78件”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案； （3）利用总利润每件的利润销售数量，可分别求出3种进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，依题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意，所以． 答：一件型商品的进价为160元，一件型商品的进价为150元． （2）解：设购进型商品件，则购进型商品件， 依题意得 解得， 又∵为整数，即可以为78，79，80， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进型商品78件，B型商品82件； 方案2：购进型商品79件，B型商品81件； 方案3：购进型商品80件，B型商品80件． （3）解：方案1获得的利润为（元）； 方案2获得的利润为（元）； 方案3获得的利润为（元）． ∵， ∴方案3购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元． 题型十：不等式组中分配问题 1．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 4．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)160件或161件或162件或163件或164件 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 题型十一：不等式组中方案选择问题 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元 (2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设鲁迅文集（套）的单价为元，则四大名著（套）的单价是元，由题意：花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鲁迅文集套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30套（两类图书都要买），总费用不超过570元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 2．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）六一儿童节到来之际，幼儿园某班计划购买哪吒玩偶和敖丙玩偶作为礼物送给小朋友．经过调查，购买2个哪吒玩偶和1个敖丙玩偶需19元，购买1个哪吒玩偶和3个敖丙玩偶需22元． (1)求哪吒玩偶和敖丙玩偶每个价格各是多少元； (2)该班级准备采购这两种玩偶共42个，其中要求哪吒玩偶个数不少于敖丙玩偶个数的二倍，且总费用不超过270元．请求出共有哪几种购买方案． 【答案】(1)每个哪吒玩偶的价格是7元，每个敖丙玩偶的价格是5元； (2)见解析． 【分析】本题考查了利用不等式组解决实际问题，并结合了二元一次方程组的实际应用． （1）主要考查二元一次方程组的应用，根据所求设出未知数，再根据等量关系列出方程组求解即可； （2）主要考查一元一次不等式的应用，解题关键是根据题中的不等关系适当设出未知数，构建不等式模型来解决实际问题，最后根据实际情况找出符合条件的方案即可． 【详解】（1）解：设每个哪吒玩偶的价格是元，每个敖丙玩偶的价格是元， 根据题意得： ， 解得：． 答：每个哪吒玩偶的价格是7元，每个敖丙玩偶的价格是5元； （2）解∶设购买个哪吒玩偶，则购买个敖丙玩偶， 根据题意得： ， 解得：． 又为正整数， 可取的数为28，29，30． 共有3种购买方案： 方案一：买28个哪吒玩偶，则购买14个敖丙玩偶； 方案二：买29个哪吒玩偶，则购买13个敖丙玩偶； 方案三：买30个哪吒玩偶，则购买12个敖丙玩偶． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 (2)能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【详解】（1）解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． （2）解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 5．（24-25七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，计划组织初中部1200名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号的客车可以租用，已知1辆大型客车和2辆中型客车可以载乘客105人，2辆大型客车和1辆中型客车可以载乘客135人． (1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？ (2)该校计划租用两种型号的客车共27辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2倍，请求出所有的租车方案？ 【答案】(1)一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人 (2)租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意得： ， 解得：， 答：一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人； （2）解：设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴，此时， 答：租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆． 6．（24-25七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 (2)共有种建造方案：新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩；新建个地上充电桩，个地下充电桩 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个，根据该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）设新建地下充电桩个，则新建地上充电桩个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 共有种建造方案： 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩； 新建个地上充电桩，个地下充电桩． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两款都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值； (2)若某旅游公司需购买款和款新能源汽车共14辆，且总付款不超过150万元也不少于144万，请求出所有的购买方案； (3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总付款336万元，款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的，且两款汽车均有部分享受国家补贴，求款中享受国家补贴的有多少辆． 【答案】(1)， (2)①购买A款新能源汽车9辆，B款新能源汽车5辆；②购买A款新能源汽车10辆，B款新能源汽车4辆；③购买A款新能源汽车11辆，B款新能源汽车3辆；④购买A款新能源汽车12辆，B款新能源汽车2辆； (3)A款中享受国家补贴的有8辆 【分析】（1）根据“买10辆A款和5辆B款需付款160万元，买5辆A款和10辆B款需付款170万元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A款新能源汽车a辆，则购买B款新能源汽车辆，根据总付款不超过150万元也不少于144万，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论； （3）设A款中享受国家补贴的有m辆，A款中没有享受国家补贴的和B款中享受国家补贴的共n辆，则B款中没有享受国家补贴的有，利用总价单价数量，列出关于m、n的二元一次方程，求出符合题意的正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 即，； （2）设购买A款新能源汽车a辆，则购买B款新能源汽车辆， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，10，11，12， ∴有4种购买方案： ①购买A款新能源汽车9辆，B款新能源汽车5辆； ②购买A款新能源汽车10辆，B款新能源汽车4辆； ③购买A款新能源汽车11辆，B款新能源汽车3辆； ④购买A款新能源汽车12辆，B款新能源汽车2辆； （3）∵（万元）， ∴A款中没有享受国家补贴的单价与B款中享受国补的单价相同， 设A款中享受国家补贴的有m辆，A款中没有享受国家补贴的和B款中享受国家补贴的共有n辆， 则B款中没有享受国家补贴的有辆， 根据题意得：， 整理得：， 又∵m、n、均为正整数， ∴， ∴A款中享受国家补贴的有8辆， 答：A款中享受国家补贴的有8辆． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； (2)学校共有3种购买方案，方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜；方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜；方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元，根据“购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元， 根据题意得， 解得， 答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； （2）解：设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜， 根据题意得， 解得， 又，均为正整数， 可以为8，9，10， 学校共有3种购买方案， 方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜； 方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜； 方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 9．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价为元，足球的单价为元 (2)学校一共有三种购买方案：方案一：采购篮球个，采购足球个；方案二：采购篮球个，采购足球个；方案三：采购篮球个，采购足球个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． （1）根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意可得：，解得， 答：篮球的单价为元，足球的单价为元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， ∵要求篮球不少于个，且总费用不超过元， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的值可为，，， ∴共有三种购买方案， 方案一：采购篮球个，采购足球个； 方案二：采购篮球个，采购足球个； 方案三：采购篮球个，采购足球个． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． (1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元 (2)共有3种购买方案，方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合投入资金不少于万元又不超过12万元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元， 根据题意得：， 解得． 答：购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为5，6，7， 共有3种购买方案， 方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件． 11．（24-25七年级下·安徽六安·期末）2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元． (1)求，两种客房的单价分别是多少； (2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少? 【答案】(1)A，B两种客房的单价分别是元，元 (2)有3种方案，分别为：方案1：租住客房间，则租住客房间；方案2：租住客房间，则租住客房间；方案3：租住客房间，则租住客房间，最省钱方案的费用为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的解法，根据题意列出分式方程、一元一次不等式组是解题的关键． （1）设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设租住客房间，则租住客房间，根据题意列一元一次不等式组，再解一元一次不等式组求出取值范围，再求整数解，确定有几种方案即可． 【详解】（1）解：设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意， 得：， 解得：， 检验：时，， 是原分式方程的解． 答：A，B两种客房的单价分别是元，元． （2）解：设租住客房间，则租住客房间，根据题意， 得：， 解得：， 为整数，即或或， 故有3种方案，分别为： 方案1：租住客房间，则租住客房间 费用是（元）； 方案2：租住客房间，则租住客房间； 费用是（元）； 方案3：租住客房间，则租住客房间． 费用是（元）； ∵ ∴最省钱方案的费用为元 12．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型十二：不等式组中阶梯收费问题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 题型一：已知一元一次不等式组中整数解求参数 1．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据． 分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解情况得出关于a的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴3个整数解为、0、1， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 所有整数解的和是， 不等式组的整数解为、、、或、、、、、、、、， 则或， 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的不等式组的整数解只有1个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的整数解．熟练掌握一元一次不等式组的解法，根据一元一次不等式组的解集，确定整数解，根据整数解确定a的取值范围．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了． 先解每个不等式，得不等式组的解集，确定整数解，据此即可写出a的范围． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得． ∴不等式组的解集是：． ∵不等式组有且只有1个整数解， ∴一定是3． ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】AB 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法． 先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组有解， 不等式组的解集为， 不等式组有且只有2个整数解， 这2个整数解为2，3， ， ， 故选：AB． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用．熟练掌握解一元 一次不等式组，是解题的关键． 先求出不等式组中每个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m的范围． 【详解】解：解第一个不等式， 得． 解第二个不等式， 移项得， 两边除以（不等号方向改变）， 得． ∴不等式组的解集为． ∵题目要求恰好有3个整数解， ∴整数解为4、5、6． 当时，解集为，整数解为4、5、6，符合条件． 当接近7但小于7时（如），解集为，整数解仍为4、5、6． 若，解集包含整数7，导致整数解超过3个，不符合条件． ∴的取值范围是． 应选项B． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键． 分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a所满足的条件，求解即可． 【详解】解：∵ ∴解得：， 解得：， 原不等式组恰有2个整数解， 这2个整数解必然是5，6， ， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的解法及整数解的确定，得到关于a的不等式组成为解题的关键． 先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组恰有两个整数解得出a的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是：， ∵该不等式组恰有两个整数解， ∴整数解是0，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如果关于的不等式的整数解只有1，2，3，则的取值范围 ，的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，一元一次不等式组的整数解问题，解题过程中注意确定字母取值范围时的“等于号”的确定是解题的关键． 先解不等式组可得解集为：，再利用整数解只有1，2，3，列不等式 ，，再解不等式可得答案． 【详解】解： 由①得： 由②得： 因为不等式组有整数解，所以其解集为： 又整数解只有1，2，3， ∴ ，， 解得：， 故答案为：，． 题型二：由不等式组的解集的情况求解 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出原不等式组中两个不等式的解集，再根据“大大小小找不到（无解）”的口诀求解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于x的不等式组无解， ； 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式组的无解问题，根据大大小小找不到（无解）的口诀进行求解即可． 【详解】解：， 即， ∵不等式组无解， ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）若关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，确定出m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）若不等式组无解，则m的值可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的判定方法．核心是理解不等式组解集的几何意义，即两个解集在数轴上无重叠区域时，不等式组无解． 首先分别解出不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共部分，来确定m的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求． 【详解】解：对不等式进行求解， 可得，即． 对不等式进行求解， 可得，即． 因为不等式组无解， 所以，解得． 选项A中，，满足． 选项B中，，不满足． 选项C中，，不满足． 选项D中，，不满足． 故选：A ． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若不等式组无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解不等式，得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故选A． 6．（2024九年级下·河南安阳·竞赛）若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：， 由①得， 又∵，且不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）若关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出不等式组每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集情况得出关于的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解： 解不等式，得， 又且不等式组有实数解， ∴， 故答案为：． 题型三：不等式组与方程组的结合 1．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）在方程组中，若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组．先根据方程组将两式相减，得到，再代入，得到关于k的不等式组，进而得出k的取值范围． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海·期中）已知和是关于，的方程的两个解，当取不小于的负数时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二元一次方程组的解法．先根据和是关于，的方程的两个解，求出，，得出，再根据当取不小于的负数时，，解不等式组，即可得出答案． 【详解】解：∵和是关于，的方程的两个解， ∴， ，得， 把代入①，得， 解得：， ∴， ∴， 当取不小于的负数时，， 解得：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： ， 将方程两边同时除以4： ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的二元一次方程组，若，则 ；若该方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由得：，再由，可求出a的值；由得：，再由该方程组的解满足，可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴； 由得：， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：；． 7．（23-24九年级上·四川巴中·开学考试）若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 先解二元一次方程组，然后代入不等式即可求解． 【详解】解：， ①②，得：， ， ∴， 代入②，得：， ， ∴， ∴方程组的解为：， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，去绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质以及一元一次不等式组解集的求法． （1）解二元一次方程组求出x和y，根据x为非正数，y为负数，得到关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围； （2）根据m的取值范围去绝对值即可； （3）由可得，根据解为，利用不等式的基本性质可得，结合（1）中结论可得，进而可得． 【详解】（1）解：解关于的方程组， 得， ∵为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴； （3）∵不等式即的解集为， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴当时该不等式的解集为． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 由得，方程组的解满足， ∴， 解得． 题型四：一元一次不等式组中新定义类问题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新运算：（相当于取a，b中较大的数）． (1)_____； (2)若，则_____； (3)若满足，求的整数解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，不等式组的整数解； （1）根据新定义，即可求解； （2）根据新定义列出方程，解方程，即可求解； （3）根据新定义列出不等式组，解不等式组并求整数解，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：当时，即， ∵ ∴， 解得， 当时，即， ∴，解得． 综上，或． 故答案为：或． （3）由，得，解得：． 由，得，解得：． ∴． ∵为整数， ∴． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为且，则称这样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组的解集为，其中，所以该不等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题： (1)判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号） ①  ②  ③ (2)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且在解集范围内有2025个整数解，求整数a，b的值． (3)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且恰好有7个整数解，求a，b的值或取值范围． 【答案】(1)② (2)， (3)或，且 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据“对称不等式组”的定义进行判断即可． （2）根据“对称不等式组”的定义，得到，然后根据整数解的个数得到，，求出整数a，b即可． （3）分为和两种情况，根据“对称不等式组”的定义得到，然后根据整数解的个数求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵不等式组无解， ∴①不是“对称不等式组”； 解不等式组的，且， ∴②是“对称不等式组”； 解不等式组的，但是前边没有等于， ∴③是“对称不等式组”； 故答案为：②； （2）解：解不等式组得， 又∵不等式组是“对称不等式组”， ∴， 又∵解集范围内有2025个整数解， ∴ 整数为到， 即，， 解得，； （3）当时，解不等式组得， ∵不等式组为“对称不等式组”， ∴， 解得， 又∵恰好有7个整数解， ∴， 解得， 当时，解不等式组得， ∴， 解得， 又∵恰好有7个整数解， ∴， 解得， 综上所述，或，且． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为___________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）由亲密方程的定义即可求解； （2）先求出与它的“亲密方程”组成的方程组的解，代入，得到的关系，再变形代入求值即可； （3）由 “亲密方程”得到，解得，继而得到不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“亲密方程”为， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵， ∴ ∴方程组的解为， ∵方程组的解是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：∵是关于，的二元一次方程的“亲密方程”， ∴， 解得：， ∵整数，，，满足条件， ∴， ∴， ∴； 5．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． (1)若关于x的不等式A：，B：，则A与B存在“雅含”关系，________的“子式”（填“A是B”或“B是A”）； (2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； (3)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”． (2) (3)0或1 【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． （1）根据“雅含”关系的定义即可判断； （2）根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可 （3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据， ，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值； 【详解】（1）解∶不等式A：的解集为， A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”． （2）解：不等式C：的解集为， 不等式D：的解集为， 且C是D的“子式”， ，解得． （3）解：由 得 ，， 解得． k为整数， 的值为，0，1，2． 不等式P：，整理得； 不等式Q：的解集为． 当时，不等式P的解集是全体实数， P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”； 当时，不等式P的解集为 不能满足P与Q存在“雅含”关系； 当时，不等式P：的解集为． P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”， ，且，解得． 为整数， ． 综上k的值为0或1． 6．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解新定义得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． （1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程①得：， 解方程②得：， 解方程③得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 7．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为．因为在的范围内，所以是的“子方程”． (1)方程______不等式组的“子方程”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解“子方程”的定义． （1）求得方程的解和不等式组的解集，即可判断； （2）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出的取值范围； （3）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：由，得， 由，得， ∵在的范围内， ∴是的“子方程”， 故答案为：是． （2）解：由，得， 由，得， ∵是不等式组的“子方程”， ∴， 解得，， 答：的取值范围是． （3）解：由，得， 由，得， ∵是关于的不等式组的“子方程”， ∴， ∴， 答：的取值范围是． 题型五：一元一次不等式组实际应用（压轴） 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 【答案】(1)母鸡买了11只，小鸡买了81只 (2)见解析 【分析】本题考查方程组的应用和不等式组的解集； （1）设母鸡买了m只，小鸡买了n只，根据题意列方程组，解方程组即可解答； （2）设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，根据题意得到，利用t为正整数得到购买方案即可解答． 【详解】（1）解：设母鸡买了m只，小鸡买了n只， 根据题意得：， 解得：． 答：母鸡买了11只，小鸡买了81只； （2）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只， 根据题意得：， 得：， ∵是这个二元一次方程的一组解， ∴该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数）， 则， ∵x，y，z非负整数， ∴， 解得：， 又∵t为正整数， ∴t可以为25，26，27，28， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，． 答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0只，25只，75只或4只，18只，78只或8只，11只，81只或12只，4只，84只． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：．其证明过程如下： ∵右边左边， ∴，即． 当，即当时，取得等号． 我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题． 如：若正数a、b满足，则利用可以得出：当且仅当时，取得最小值18． (1)理解：证明“基本不等式”：． (2)感悟：已知x、y满足，求的最大值，并求出此时m的值． (3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地．外部为长方形，中间用笆隔开，且．若篱笆的总长为20米，则边长为多少米时，基地的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的最大值为25， (3)AB边长为时，基地的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查完全平方公式的变形和应用； （1）仿照例题方法证明即可； （2）根据题意求出，利用（1）中结论计算解题； （3）设，则，表示基地面积，利用（1）中结论求出最值即可解题． 【详解】（1）证明：∵右边左边 ∴，即． （2）解：由得 ∴，即的最大值为25． 解得， 代入求得． （3）设，则． 基地的面积 当且仅当，即时，基地的面积最大． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下： ①使用厦门地铁刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行碳币累计．例如，当票价为2元时，实付金额为元，累计增加18碳币． ②每日可在厦门地铁签到一次，每次签到可累计增加10碳币． ③用户可以用碳币在厦门地铁上兑换各项权益． 为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择． 单程出行方式 总碳排放量 方式一 地铁8站（票价4元）电动车骑行 方式二 地铁9站（票价5元）电动车骑行 注：假设地铁每站碳排放量一样． 结合上述信息，回答下列问题： (1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？ (2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量； (3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830碳币．他每月工作20天，在总碳排放量不超过千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由．（每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式） 【答案】(1)这五天共累计增加410碳币 (2)乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为 (3)一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组； （1）利用这五天共累计增加碳币的数量（选择方式一单程出行累计增加碳币数每次签到可累计增加碳币数），即可求出结论； （2）设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （碳币）． 答：这五天共累计增加410碳币； （2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为， 根据题意得：， 解得：． 答：乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为； （3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），理由如下： 设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可以为25，26，27，28，29，30， 一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一）． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 【答案】(1)4 (2)白鸽广场，45 (3)②③ (4) (5)72或96 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键． （1）观察图象即可； （2）根据两图象交点的纵坐标判断除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在哪个景点相遇；写出与x的函数关系式，当时，求出对应x的值即可； （3）①求出当时，与x的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而根据平均速度总路程总时间求出然然从园中园到游乐场游览的过程中的平均速度即可； ②观察图象即可； ③当时，求出对应的值，从而求出琦琦比然然多走的路程即可； （4）根据速度路程时间求出这个过程中然然的速度，再由路程速度时间写出与x的函数解析式即可； （5）按照x的取值范围，利用和关于x的函数关系式，当琦琦和然然相距时，分别列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为， 故答案为：4； （2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇， 琦琦的速度为，则， 当时，得， 解得， ∴此时距出发经过了， 故答案为：白鸽广场，45； （3）解：当时，然然的速度为， ∴， 当时，得， 解得， 则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 ， ∴①不合理，不符合题意； 然然比琦琦晚到达游乐场， ∴②合理，符合题意； 当时，， ， ∴时，琦琦比然然多走了， ∴③合理，符合题意． 故答案为：②③； （4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为， 则， ∴然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式及自变量x的取值范围为； （5）解：综上，与x的函数关系式为，与x的函数关系式为， 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得； 当，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得． 综上，当琦琦和然然相距时，x的值为72或96． 故答案为：72或96． 5．（24-25八年级下·河北承德·期末）蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户如果步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网上缴交通罚单、网络挂号、网络购票等行为，就会减少相应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树，这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙伴们，可以“买走”用户的“树”，而在现实某个地域种下一棵实体的树，为了响应支付宝蚂蚁森林活动，某健身器材销售公司捐出五月份全部销售利润用于买“树”、种树．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款74万元和其他各项支出（人员工资和杂项开支）4.35万元．这三种器材的进价和售价如下表，人员工资（万元）和杂项支出（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）． 型号 甲 乙 丙 进价（万元/台） 0.9 1.2 1.1 售价（万元/台） 1.2 1.6 1.3 (1)求与x的函数解析式； (2)求五月份该公司的总销售量； (3)设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出） (4)请推测该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额． 【答案】(1)； (2)五月份该公司的总销售量为70台； (3)； (4)该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额为万元． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）观察图象，一次函数过，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）就是总销售量函数，令其等于，可解出五月销售台数； （3）根据销售利润＝销售额－进价－其他各项支出，得到W与t的函数关系式； （4）根据题意得到捐款金额的函数关系，得到t的取值范围，利用（3）中一次函数的性质，可求得最值． 【详解】（1）解：设，依题意， 得， 解得， ∴与x的函数解析式为； （2）解：依题意得：， 解得：， ∴五月份该公司的总销售量为70台； （3）解：设五月份售出乙种型号器材p台，则售出丙种型号器材台， 依题意得：， 解得， ∴， 即W与t的函数关系式为：； （4）解：依题意有， 解得， 又∵t为正整数 ∴t最大为21， ∵W是关于t的一次函数，由（3）知W随t的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值 ∴该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额为万元． 6．（24-25七年级下·福建泉州·期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 【答案】任务一：九仙队的净胜分是，石牛队的净胜分是； 任务二：当时，九仙队为第三名； 任务三：当且时，石牛队得第一名；当时，九仙队得第一名 【分析】任务一：根据净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分进而计算可以得解； 任务二：依据题意，当时，三支篮球队均1胜1负，故需比较三支篮球队的净胜分，又戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8，故石牛队得第一名，又戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47，进而可以判断得解； 任务三：依据题意，分、且分别进行分析计算即可判断得解． 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出不等式组是关键． 【详解】任务一：（1）由题意得，九仙队的净胜分是； 石牛队的净胜分是 答：九仙队的净胜分是，石牛队的净胜分是 任务二：由题意，当时，三支篮球队均1胜1负， 需比较三支篮球队的净胜分． 戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为，，8， 石牛队得第一名． 戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队：47 戴云队为第二名． 九仙队为第三名． 任务三：①当时，石牛队两场都胜，石牛队得第一名． ②当时，每队各胜1场， 若戴云队得第一名，则需 此时，这个不等式组无解， 戴云队不可能得第一名； 若九仙队得第一名， ， 又， ； 若石牛队得第一名， 综上所述：当且时，石牛队得第一名；当时，九仙队得第一名． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三： 表三 盲盒种类 单价（元／个） 优惠方案 A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折 优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折 优惠方案三：总费用满800元立减100元 （备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）| B款盲盒 15 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有人，购买这两款盲盒的总费用为元，求的最小值． 【答案】(1)选A款和B款盲盒的分别有18、12人 (2)700 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设选A款和B款盲盒的分别有x、y人，根据“按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元”列方程组求解即可； （2）根据题意，得出选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人，然后分两种情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值；②当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值，最后比较①、②两种情况即可求解． 【详解】（1）解∶设选A款和B款盲盒的分别有x、y人， 根据题意，得， 解得， 答：选A款和B款盲盒的分别有18、12人； （2）解：∵剩余17人中选择A款盲盒有人， ∴选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人， ①当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为700； ②当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为755； ∵， ∴当时，y的最小值为700． 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，解一元一次不等式组．数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，由此列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得 解不等式得：， 解不等式得：， 所以该不等式组的解集为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·期末）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集在数轴上表示，熟悉掌握不等式组的运算方法是解题的关键． 求出不等式组的解集后在数轴上表示即可． 【详解】解：解得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴解①得，，解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据解集的情况得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有2个整数解， ∴，整数解为， ∴， ∴； 故选A． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 6．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行相加求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意得， 解得； 解方程得，，且， ∵关于y的分式方程的解均为负整数， ∴，解得， ∴， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 当时，， ∴符合条件的有 8，4 ， ∴， 即所有满足条件的整数的值之和是 12 ． 故选：A． 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（   ） A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式、不等式组的整数解等知识，熟练掌握不等式组解集的相关知识是关键．首先求出每个不等式的解集，再根据选项的条件进行分析解答即可． 【详解】解：由得到， ∵不等式组所有正整数解的和为5， ∴， 解得， 故A正确，不合题意； 若，则不等式组的解集为， ∴是不等式组的解， 故B正确，不合题意； ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， 故C正确，不合题意； 若不等式组有解，则， 解得， 故D错误，符合题意， 故选：D 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”． 分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解列出关于的不等式组，解之即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 因为不等式组的所有整数解之和为2， 所以不等式组的整数解为、0、1、2， 则， 解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有 个 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式组的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 根据两边之和大于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 解不等式④得： 解不等式⑤得： 解不等式⑥得： ∴， ∴整数m有3，4共2个， 故答案为：2 10．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找． 分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，第一次敲进长度为，第二次敲进长度为，第三次敲进长度最大值为，根据前两次敲进长度之和小于铁钉总长度，前两次敲进长度与第三次敲进长度的最大值之和大于等于铁钉总长度，列一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解不等式得：， 解不等式得：， 因此不等式组的解集为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）解下列不等式(组)： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 13．（23-24七年级下·广西河池·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共 180 件其进价和售价如表：（注：获利售价进价）． 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利 1240 元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于 5040 元，且销售完这批商品后获利多于 1312 元， 请问有哪几种购货方案？ 并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】(1)甲、乙两种商品应分别购进件和件 (2)方案一：购进甲商品件，购进乙商品件；方案二：购进甲商品件，购进乙商品件；方案三：购进甲商品件，购进乙商品件；当购进甲商品件，购进乙商品件时，获得的利润最大 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设甲、乙两种商品应分别购进件和件，根据购进甲、乙两种商品共 180 件，计划销售完这批商品后能获利 1240 元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲商品件，根据商店计划投入资金少于 5040 元，且销售完这批商品后获利多于 1312 元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种商品应分别购进件和件，由题意，得： ， 解得：； 答：甲、乙两种商品应分别购进件和件； （2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，由题意，得： ，解得：， ∵为整数， ∴， ∴共有3种进货方案： 方案一：购进甲商品件，购进乙商品件； 方案二：购进甲商品件，购进乙商品件； 方案三：购进甲商品件，购进乙商品件； ∵甲商品的利润为元，乙商品的利润为元， 故购进的乙商品的数量越多，利润越大，即当购进甲商品件，购进乙商品件时，获得的利润最大． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数的值之和． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，根据不等式组的解集情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，分别求出分式方程和不等式的解集，根据解和解集的情况求出满足条件的的取值范围，进而得到整数的值，再相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：分式方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 由，得， 由，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴所有满足条件的的取值范围为且， ∴所有满足条件的的整数解有，，，它们的和为． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元? (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? (3)在（）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利元，每出售一本动漫书盈利元，此时店家获得最大利润为元，则的值为_____（直接写出结果）． 【答案】(1)每本文学名著元，每本动漫书元； (2)有种购书方案； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组和不等式组是解题的关键． （）设每本文学名著元，每本动漫书元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设动漫书购买本，则购买文学名著本，根据题意得，然后解不等式组即可； （）根据题意得店家获得的利润为，然后分若即和若即两种情况分析即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本动漫书元， 根据题意得，， 解得：， 答：每本文学名著元，每本动漫书元； （2）解：设动漫书购买本，则购买文学名著本， 根据题意得，， 解得：， ∴可取的整数值为，，，，，，， ∴有种购书方案； （3）解：根据题意得店家获得的利润为， 若即， 当时，利润最大， ∴，解得：， 若即， 当时，利润最大， ∴，解得：（不符合题意）， 综上可得，的值为， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元． (1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)共有3种方案，方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装； (2)方案3利润最大，最大为1900元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算； （1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，根据生产50套童装所需甲种布料不超过38米、乙种布料不超过26米，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各生产方案； （2）利用总利润=每套的利润×生产数量，即可得出各生产方案获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产型号的童装件，则生产型号的童装件， 依题意得： 解得：． 又∵为正整数， ∴可以取，，， ∴共有种生产方案， 方案：生产套型号的童装，套型号的童装； 方案：生产套型号的童装，套型号的童装； 方案：生产套型号的童装，套型号的童装． （2）方案获得的总利润为（元）； 方案获得的总利润为（元）； 方案获得的总利润为（元）． ∵， ∴方案获得的总利润最大，最大利润是元． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.5 一元一次不等式组 题型一：判断是否为一元一次不等式组 1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2025七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：一元一次不等式组在数轴上的表示 1．（2025·河南郑州·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 4．（2025·山西·模拟预测）不等式组，的解集可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025九年级下·全国·专题练习）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：解一元一次不等式组（计算题） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 3．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）解不等式组：，并将解集表示在如图所示的数轴上． 4．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）解下列不等式组： (1)； (2)． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）解不等式组 ，请按下列步骤完成解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集是 ． 6．（24-25八年级下·甘肃张掖·期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 题型四：求一元一次不等式组的整数解 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式组的解集中，有（    ）个整数解． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）不等式组的正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（24-25七年级下·河南许昌·期末）不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是（　　） A． B．0 C．1 D．2 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）不等式组的非负整数解的和为 ． 7．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）请写出满足不等式组的一个正整数解 ． 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 9．（24-25七年级下·吉林·期末）不等式组所有整数解的和为 ． 10．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）不等式组的最小整数解为 ． 题型五：由一元一次不等式组求参数 1．（24-25七年级下·全国·期末）若不等式组的解集是，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 3．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）若不等式组的解集为，则 ， ． 7．（24-25七年级下·青海玉树·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的解集是，则a的取值范围是 ． 9．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·福建宁德·阶段练习）若不等式组的解集为，则 ． 11．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）不等式组的解集是，则的值是 ． 题型六：列一元一次不等式组 1．（2025·广西南宁·模拟预测）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 题型七：不等式组中行程问题 1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型八：不等式组中工程问题 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 3．（24-25七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ （3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？ 题型九：不等式组中经济问题 1．（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．若学校计划用不超过3550元的总费用购买篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 4．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 6．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的2倍，购买奖品的花费不得高于680元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 (1)该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； (2)该个体户能够获得的最大利润是多少？ (3)若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元．当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元． (1)求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ (3)为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为______． 9．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多10元． (1)求一件型商品的进价分别为多少元？ (2)若该外地客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不大于型的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？ (3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润． 题型十：不等式组中分配问题 1．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 2．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 3．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 4．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 题型十一：不等式组中方案选择问题 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 2．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）六一儿童节到来之际，幼儿园某班计划购买哪吒玩偶和敖丙玩偶作为礼物送给小朋友．经过调查，购买2个哪吒玩偶和1个敖丙玩偶需19元，购买1个哪吒玩偶和3个敖丙玩偶需22元． (1)求哪吒玩偶和敖丙玩偶每个价格各是多少元； (2)该班级准备采购这两种玩偶共42个，其中要求哪吒玩偶个数不少于敖丙玩偶个数的二倍，且总费用不超过270元．请求出共有哪几种购买方案． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 5．（24-25七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，计划组织初中部1200名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号的客车可以租用，已知1辆大型客车和2辆中型客车可以载乘客105人，2辆大型客车和1辆中型客车可以载乘客135人． (1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？ (2)该校计划租用两种型号的客车共27辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2倍，请求出所有的租车方案？ 6．（24-25七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和已知新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆（两款都要），若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值； (2)若某旅游公司需购买款和款新能源汽车共14辆，且总付款不超过150万元也不少于144万，请求出所有的购买方案； (3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总付款336万元，款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的，且两款汽车均有部分享受国家补贴，求款中享受国家补贴的有多少辆． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 9．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案？ 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． (1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 11．（24-25七年级下·安徽六安·期末）2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元． (1)求，两种客房的单价分别是多少； (2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少? 12．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 题型十二：不等式组中阶梯收费问题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟） ． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 题型一：已知一元一次不等式组中整数解求参数 1．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的不等式组的整数解只有1个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）若不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如果关于的不等式的整数解只有1，2，3，则的取值范围 ，的取值范围 ． 题型二：由不等式组的解集的情况求解 1．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）若关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）若不等式组无解，则m的值可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若不等式组无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2024九年级下·河南安阳·竞赛）若不等式组无解，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）若关于的不等式组有实数解，则的取值范围是 ． 题型三：不等式组与方程组的结合 1．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）在方程组中，若，则的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 4．（24-25六年级下·上海·期中）已知和是关于，的方程的两个解，当取不小于的负数时，的取值范围是 ． 5．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 6．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知关于的二元一次方程组，若，则 ；若该方程组的解满足，则的取值范围是 ． 7．（23-24九年级上·四川巴中·开学考试）若关于，的二元一次方程组为，并且，满足，求的取值范围． 8．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 题型四：一元一次不等式组中新定义类问题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新运算：（相当于取a，b中较大的数）． (1)_____； (2)若，则_____； (3)若满足，求的整数解． 3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为且，则称这样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组的解集为，其中，所以该不等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题： (1)判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号） ①  ②  ③ (2)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且在解集范围内有2025个整数解，求整数a，b的值． (3)若关于x的不等式组为“对称不等式组”且恰好有7个整数解，求a，b的值或取值范围． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为___________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“亲密方程”，求的值． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如A：，B：，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． (1)若关于x的不等式A：，B：，则A与B存在“雅含”关系，________的“子式”（填“A是B”或“B是A”）； (2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； (3)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 7．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为．因为在的范围内，所以是的“子方程”． (1)方程______不等式组的“子方程”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，求的取值范围． 题型五：一元一次不等式组实际应用（压轴） 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，意思是：如果一只公鸡值5个钱，一只母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱，现用100个钱，买了100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题． (1)小天提出的问题是：若公鸡买了8只，则母鸡、小鸡各买了多少只？ (2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x只，y只，z只，依题意得到方程组，把②①，消去z，得到一个二元一次方程．小河说：“由于是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t的式子表示，即为（t为整数），根据题意，由x，y的取值范围可以求出t的值，由此可求出满足条件的公鸡、母鸡、小鸡的数量情况． 现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：．其证明过程如下： ∵右边左边， ∴，即． 当，即当时，取得等号． 我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题． 如：若正数a、b满足，则利用可以得出：当且仅当时，取得最小值18． (1)理解：证明“基本不等式”：． (2)感悟：已知x、y满足，求的最大值，并求出此时m的值． (3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地．外部为长方形，中间用笆隔开，且．若篱笆的总长为20米，则边长为多少米时，基地的面积最大，最大面积为多少？ 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下： ①使用厦门地铁刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额1：10比例进行碳币累计．例如，当票价为2元时，实付金额为元，累计增加18碳币． ②每日可在厦门地铁签到一次，每次签到可累计增加10碳币． ③用户可以用碳币在厦门地铁上兑换各项权益． 为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择． 单程出行方式 总碳排放量 方式一 地铁8站（票价4元）电动车骑行 方式二 地铁9站（票价5元）电动车骑行 注：假设地铁每站碳排放量一样． 结合上述信息，回答下列问题： (1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？ (2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量； (3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830碳币．他每月工作20天，在总碳排放量不超过千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由．（每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式） 4．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 5．（24-25八年级下·河北承德·期末）蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户如果步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网上缴交通罚单、网络挂号、网络购票等行为，就会减少相应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树，这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙伴们，可以“买走”用户的“树”，而在现实某个地域种下一棵实体的树，为了响应支付宝蚂蚁森林活动，某健身器材销售公司捐出五月份全部销售利润用于买“树”、种树．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款74万元和其他各项支出（人员工资和杂项开支）4.35万元．这三种器材的进价和售价如下表，人员工资（万元）和杂项支出（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）． 型号 甲 乙 丙 进价（万元/台） 0.9 1.2 1.1 售价（万元/台） 1.2 1.6 1.3 (1)求与x的函数解析式； (2)求五月份该公司的总销售量； (3)设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出） (4)请推测该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额． 6．（24-25七年级下·福建泉州·期末）项目式学习 体育比赛计分 素材一 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？ 素材二 五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环赛，赛前约定的比赛排名规则： 获胜场数多的球队排名靠前； 如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次： 净胜分大的球队排名靠前； 净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前． 素材三 三支球队的比赛成绩如表： 戴云队 九仙队 石牛队 净胜分 戴云队 九仙队 石牛队 注：戴云队与九仙队的比赛得分是，则九仙队与戴云队的比赛得分是 净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分. 问题解决 任务一 分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n的代数式表示）； 任务二 当时，通过计算说明九仙队获得第几名？ 任务三 根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名 7．（24-25八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三： 表三 盲盒种类 单价（元／个） 优惠方案 A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折 优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折 优惠方案三：总费用满800元立减100元 （备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）| B款盲盒 15 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有人，购买这两款盲盒的总费用为元，求的最小值． 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 7．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（   ） A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）不等式组的所有整数解之和为2，则a的取值范围为 ． 9．（24-25八年级上·浙江·期末）能使这三个数作为三角形三边长的整数m共有 个 10．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）不等式组的解集为 ． 11．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是 ． 12．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）解下列不等式(组)： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·广西河池·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共 180 件其进价和售价如表：（注：获利售价进价）． 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利 1240 元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于 5040 元，且销售完这批商品后获利多于 1312 元， 请问有哪几种购货方案？ 并直接写出其中获利最大的购货方案． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，求所有满足条件的整数的值之和． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元? (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? (3)在（）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利元，每出售一本动漫书盈利元，此时店家获得最大利润为元，则的值为_____（直接写出结果）． 16．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元． (1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？ 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$