3.2 不等式的基本性质（4大基础题型+3大巩固提升）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

3.2 不等式的基本性质 题型一：根据不等式的基本性质判断式子是否正确 1．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若，则各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末） 已知，，是实数，若，，则(    ) A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川广元·期末）下列不等式的变形中，一定正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 8．（24-25七年级下·北京·期末）下列几个变形中，正确的是（    ） A．如果， 那么 B．如果， 那么 C．如果， 那么 D．如果， 那么 9．（24-25七年级下·四川广元·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 题型二：不等式的基本性质与数轴的关系 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三：利用不等式的基本性质比较两个数的大小 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）设，，那么M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2025·江苏泰州·二模）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 4．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ． 7．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知：，，（、为常数且均不为0），比较、、的大小 ． 题型四：根据不等式的性质填空 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）（1）用不等号填空： 若，则______（依据不等式的基本性质1）； 若，则______（依据不等式的基本性质2）； 若，则______（依据不等式的基本性质3）． （2）已知，试比较与的大小． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________ (2)_________ (3)_________ (4)________ (5)________ (6)________ 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解：，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 4．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）若，根据不等式的基本性质，用不等号填空： (1)_______； (2)_______； (3)_______ 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学的解题过程： 已知，试比较与的大小． 解：因为…① 所以…② 故…③ 问： (1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)错误的原因是______； (3)请写出正确的解题过程． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 7．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______； (2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）； (3)请说明（2）中猜想的合理性． 题型一：不等式的基本性质中最值问题 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若，，，求的取值范围．甲，乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题： 甲： 由，得， 由，得，从而． 由，得， 由，得，从而 故，， 所以． 乙： 由，得， 从而， 由，得，从而． 所以，即． (1) (填“甲”或“乙”)的解法正确； (2)若其中为常数，，，求的最小值用含的代数式表示)． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 4．（24-25八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？ (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 5．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知，求的值． 解：，， ， ． 材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？ ①． 代数式有最小值； ②， ．代数式有最大值4． 学习方法并完成下列问题： (1)代数式的最___________（填“大”、“小”）值为___________； (2)已知为有理数，且满足．若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；若没有最大（或最小）值，请说明理由； (3)已知的三条边的长度分别为，且，且为正整数，求周长的最小值． 题型二：利用不等式的基本性质进行证明 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 2．（24-25八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知有理数a，b，c． (1)若，求的取值范围； (2)若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数． 4．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c为三个互不相等的有理数． (1)已知，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解：（已知）， ① （不等式的基本性质3）， （ ② ） (2)已知，试说明：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三个正整数a，b，c满足，且，求a，b，c． 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 8．（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．请利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性． (1)如果，，那么； (2)如果、、、都是正数，且，，那么． 10．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)比较大小：______（填“”“”“”或“”）； (2)求证：． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 题型三：根据不等式的性质求代数式的取值范围 1．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 3．（24-25七年级下·四川眉山·期末）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）利用不等式的性质解下列不等式： (1)； (2)． 1．（24-25七年级下·河南许昌·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知三个数a，b，c满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 4．（24-25八年级下·山东聊城·期中）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 6．（2024·四川攀枝花·中考真题）P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东临沂·期末）任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ． 8．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，记，当，则的范围为 ． 11．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 12．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴趣，其游戏规则是：有30张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表所示． 卡片编号 A，B B，C C，D D，B 两数和 m 【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】 (1)比较卡片A和C的大小，说明理由； (2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由． 13．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是，其中含有糖（），则糖水的浓度为． ①如果加入水，糖水的浓度变为________．因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入糖，糖水的浓度变为________．因为糖水变甜，可以得到不等式________； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有，糖水，分别含糖，．它们浓度相同，则有． …… 任务1：直接写出小明笔记当中的“________”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是三边的长，则． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 不等式的基本性质 题型一：根据不等式的基本性质判断式子是否正确 1．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断即可． 【详解】解：A、不等式的两边同时乘，当时，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意； B、不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，故此选项不符合题意； C、不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，即，故此选项符合题意； D、不等式的两边同时加上3，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以，故此选项正确，不符合题意； B、因为，所以，故此选项错误，符合题意； C、因为，所以，故此选项正确，不符合题意； D、因为，所以，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若，则各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，原式错误，不符合题意； D、由可得，原式正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由不等式的性质可知，或，即原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； B、由不等式的性质可知，，，即原不等式不成立，不符合题意，选项错误； C、由不等式的性质可知，当时，；当时，；当时，；即原不等式不一定成立，不符合题意，选项错误； D、，由不等式的性质可知，，原不等式一定成立，符合题意，选项正确； 故选：D． 5．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式的性质，根据不等式的基本性质逐项分析，判断是否一定成立 【详解】A. 由，两边同乘正数3，得，一定成立； B. 由，两边同减1，得，一定成立； C. 当a和b均为负数时，若，可能，例如，此时，但，故不一定成立； D. 由，两边同乘-3得，再两边加1得，一定成立。、； 综上，不一定成立的是选项C， 故选：C 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末） 已知，，是实数，若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； 若，，则，则，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 7．（24-25七年级下·四川广元·期末）下列不等式的变形中，一定正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、由，得，正确符合题意； B、，则，原写法错误，不符合题意； C、，则，原写法错误，不符合题意； D、，得不到，如，此时，显然，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 8．（24-25七年级下·北京·期末）下列几个变形中，正确的是（    ） A．如果， 那么 B．如果， 那么 C．如果， 那么 D．如果， 那么 【答案】C 【分析】本题考查不等式性质，解题的关键在于正确掌握不等式性质．根据“不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘除同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘除乘除同一个负数，不等号方向改变；”逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、如果，当，时，，故A选项不符合题意； B、如果，当，时，，故B选项不符合题意； C、如果，，那么，故C选项符合题意； D、如果，当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 9．（24-25七年级下·四川广元·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的性质：①把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A. 由，两边同时加5，得，故A为真命题； B. 由，两边同时除以2（正数），得，故B为真命题； C. 当时，可推出；但当时，不等号方向改变，即；若，则，由于的符号不确定，结论不一定成立，故C为假命题； D. 由和，根据不等式加法性质，相加得，故D为真命题． 故选：C． 题型二：不等式的基本性质与数轴的关系 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴可得，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 两边同时加上得，则A不符合题意， 两边同时减去得，则B符合题意， 两边同时乘以得，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，观察数轴判断的大小关系，然后根据不等式的基本性质对各个选项的不等式进行判断即可． 【详解】解：A．因为，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．因为，所以，所以此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．因为，，所以，所以此选项的结论错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由数轴判断字母的大小，不等式的性质． 由数轴得到，再根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，， 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：，A、B选项均根据不等式的性质判断正误即可；C选项根据有理数的乘法法则进行计算即可；D．根据有理数的加减法则进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：， A．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； B．，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意； C．，，，此选项的判断正确，故此选项符合题意； D．，，，此选项的判断错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，不等式的性质，根据数轴上点的位置，得到，再根据不等式的性质，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴；故选项A不成立； ；故选项B成立； ；故选项C不成立； ；故选项D不成立； 故选B． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查不等式的性质、数轴上的点的位置和数值的关系．由数轴可知：且，再由不等式的性质得出结果即可． 【详解】解：由数轴可知：且， A、因为，，，所以，故A选项错误； B、因为，，所以，故B选项正确； C、因为，所以，故C选项错误； D、因为，所以，故D选项错误． 故选：B． 题型三：利用不等式的基本性质比较两个数的大小 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生对利用不等式比较大小的方法的灵活使用情况，利用作差法分别比较即可． 【详解】解：∵， ， ， ，， 而， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）设，，那么M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．通过计算，化简后根据结果的符号判断大小关系． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 即， 选择C． 3．（2025·江苏泰州·二模）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解此题的关键．根据不等式的基本性质可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了不等式性质，根据不等式性质得到，，即可解题． 【详解】解：， ，， ，，的大小关系是， 故选：C． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在的两边同乘以，变号，再在此基础上同减去3，不变号，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 6．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：由得， 可知，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向发生改变， ∴， 即， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）已知：，，（、为常数且均不为0），比较、、的大小 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以代入特殊值也是最好的选择． 代数式的比较，常用的方法是做差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法，考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单． 【详解】解：解法1：令，， 则，，， ∵， ∴． 解法2：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：根据不等式的性质填空 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）（1）用不等号填空： 若，则______（依据不等式的基本性质1）； 若，则______（依据不等式的基本性质2）； 若，则______（依据不等式的基本性质3）． （2）已知，试比较与的大小． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：若，则（依据不等式的基本性质1）； 若，则（依据不等式的基本性质2）； 若，则（依据不等式的基本性质3）． 故答案为：；；； （2）∵， ∴（依据不等式的基本性质3）， ∴（依据不等式的基本性质1）． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： (1)________ (2)_________ (3)_________ (4)________ (5)________ (6)________ 【答案】(1)，依据是：不等式的性质1 (2)，依据是：不等式的性质1 (3)，依据是：不等式的性质1 (4)，依据是：不等式的性质3 (5)，依据是：不等式的性质2 (6)，依据是：不等式的性质2和性质1 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）根据不等式的性质1即可得； （2）根据不等式的性质1即可得； （3）根据不等式的性质1即可得； （4）根据不等式的性质3即可得； （5）根据不等式的性质2即可得； （6）根据不等式的性质2和性质1即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． （2）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． （3）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． （4）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质3， 故答案为：． （5）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质2， 故答案为：． （6）解：∵， ∴，依据是：不等式的性质2， ∴，依据是：不等式的性质1， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）（1）已知，比较与的大小． 解：，且（已知）， ________（依据：________）， ________（依据：________）． （2）若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），不等式的性质2，，不等式的性质1；（2），理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质，并能根据性质对不等式进行变形． （1）根据不等式的性质分析即可求解； （2）根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解：（1），且（已知）， （依据：不 等 式 的 性 质 2 ）， （依据：不 等 式 的 性 质 1）， 故答案为：，不等式的性质2，，不等式的性质1； （2），理由如下： ，且（已知）， （依据：不等式的性质3）， （依据：不等式的性质1）． 4．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）若，根据不等式的基本性质，用不等号填空： (1)_______； (2)_______； (3)_______ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了不等式的性质． （1）根据不等式的性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即可得出答案； （2）先根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，再根据不等式的性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即可得出答案； （3）据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，特殊的情况，当乘以0时，则原不等式相等，即可得出答案； 【详解】（1）解：两边同时加2，即可得到； 故答案为：； （2）解：两边同时乘以得， 两边加1得； 故答案为：； （3）解：两边同时乘以，而为非负数， ∴； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学的解题过程： 已知，试比较与的大小． 解：因为…① 所以…② 故…③ 问： (1)上述解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)错误的原因是______； (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等号没有改变方向 (3)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案； （2）根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案； （3）利用不等式的性质逐步变形即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误； （2）解：不等号没有改变方向； （3）解：∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得． 7．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______； (2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）； (3)请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】(1)1，，，，8，4 (2)＞ (3)见解析 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）分别将，，代入A，B的代数式求解即可； （2）观察（1）中结果即可解答； （3）利用作差的方法比较A，B的大小． 【详解】（1）解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 故答案为：1，，，，8，4 （2）解：由（1）可得，当时，；当时，；当时，； 猜想：无论a为何值，始终成立． 故答案为：＞ （3）解： ∵， ∴， ∴， ∴． 题型一：不等式的基本性质中最值问题 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）在一次数学活动课上，老师提出了一个问题：若，，，求的取值范围．甲，乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题： 甲： 由，得， 由，得，从而． 由，得， 由，得，从而 故，， 所以． 乙： 由，得， 从而， 由，得，从而． 所以，即． (1) (填“甲”或“乙”)的解法正确； (2)若其中为常数，，，求的最小值用含的代数式表示)． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，列代数式，关键是掌握不等式的性质． （1）甲的解法：导致范围扩大，因此甲的解法错误，乙的解法：把问题转化为关于b的式子，结合条件准确确定范围，因此乙的解法正确． （2）求出，得到．即可得到的最小值． 【详解】（1）解：甲：分别求解不等式后直接相加，忽略了和的相关性，导致范围扩大，因此甲的解法错误， 乙：通过代数变形把问题转化为关于的式子，结合条件准确确定范围，因此乙的解法正确． 故答案为：乙． （2）， ， ， ， ， ， ． 的最小值是． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2； (2) (3)18 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式得到，，再仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 4．（24-25八年级下·四川眉山·期中）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？ (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 【答案】(1) (2) (3)27 【分析】本题考查了分式的变形、运算，完全平方公式的应用，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形． （1）按照阅读材料方法，把变形即可； （2）用分离常数法，把原式化为 ，由即可得答案； （3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用a的代数式表示x、y，进而得出，即可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， 而， ∵， ∴（， ∴当时，最小值是27． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料： 材料一：已知，求的值． 解：，， ， ． 材料二：探索代数式与是否存在最大值或最小值？ ①． 代数式有最小值； ②， ．代数式有最大值4． 学习方法并完成下列问题： (1)代数式的最___________（填“大”、“小”）值为___________； (2)已知为有理数，且满足．若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）；若没有最大（或最小）值，请说明理由； (3)已知的三条边的长度分别为，且，且为正整数，求周长的最小值． 【答案】(1)小， (2)有最大值，最大值为6 (3)15 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性、三角形的三边关系、不等式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先利用完全平方公式可得，再根据可得，由此即可得； （2）先求出，再利用完全平方公式可得，然后根据即可得； （3）先将已知等式变形为，根据偶次方的非负性可得，，从而可得，再根据三角形的三边关系可得，可得出整数的最小值，然后利用三角形的周长公式求解即可得． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 故答案为：小，． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为6． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的三条边的长度分别为， ∴，即， ∵为正整数， ∴整数的最小值为3， ∴周长的最小值为． 题型二：利用不等式的基本性质进行证明 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质即可求得答案； （2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论． 【详解】（1）解：解：， 两边同时乘以得； （2）解：，m是正数， ， ，b是正数， ， 2．（24-25八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 【答案】(1)①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③ (2)见解析 【分析】本题考查了等式的基本性质、不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据不等式的性质补全过程即可； （2）将式子变形为，再结合以及等式的基本性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ． 又， ．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变） ． ， ， 故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③； （2）证明：， ． ． ①． ， ． 等式①的两边同时除以，得， ． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知有理数a，b，c． (1)若，求的取值范围； (2)若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质、整式的加减、数的奇偶性等知识点． （1）由已知可得，代入，可得，再由，得出的取值范围； （2）由都是整数，得出是偶数；再由已知条件可得，由此得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：（方法一）都是正整数， 是偶数， ； 也是偶数，偶数偶数偶数， 是偶数． （方法二）都是正整数，且是偶数， 若为偶数，则也必是偶数， 为同奇同偶， 必是偶数．是偶数． 若为奇数，则也必是奇数， 为一奇一偶， 必是奇数， 是偶数， 综上所述：是偶数． 4．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． (1)利用不等式的基本性质证明； (2)若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②，，． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此可证明结论； （2）①同理可得，则，则可证明，则，据此可证明结论；②根据①可得或，则或或，再讨论a、m的值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵a，m均为整数，且，，， ∴或， ∴或或， 当时， ∵， ∴，即，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∵，且c、b都是整数， ∴， ∴，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，，． 5．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知a，b，c为三个互不相等的有理数． (1)已知，试说明：． 在下列说理中，填空（数学符号或理由）： 解：（已知）， ① （不等式的基本性质3）， （ ② ） (2)已知，试说明：． 【答案】(1)①>；②不等式的基本性质1 (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：解：（已知）， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1） 故答案为：①；②不等式的基本性质1． （2）解：， ， ， ， 去括号、合并同类项，得， 解得：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三个正整数a，b，c满足，且，求a，b，c． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．先由，且，，为正整数得，则，，由此可得，则，进而可得，同理得，则，结合可得，进而再求出的值即可． 【详解】解：，且，，为正整数， ， ， 又， ，， ，， 即：， ， 将代入，得：， 同理：，则， ， ， 将代入，得：， 综上所述：，，， 7．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 8．（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．请利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性． (1)如果，，那么； (2)如果、、、都是正数，且，，那么． 【答案】(1)正确，证明见解析 (2)正确，证明见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）由不等式的性质可得，，则由传递性可得； （2）由不等式的性质可得，，则由传递性可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，是正数， ∴． 又∵，是正数， ∴． ∴． 10．（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键． （1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论； （2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)比较大小：______（填“”“”“”或“”）； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查分式减法，完全平方公式的应用，不等式的性质： （1）利用完全平方公式可得，即可得出结论； （2）利用分式减法法则求出，再根据题意得到，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵ ； ∵， ∴，， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，不等式的性质，证明是解题的关键． （1）利用作差法得到，再判断出的符号即可证明结论； （2）利用分式的加法计算法则得到，根据（1）可证明，据此可得结论． 【详解】（1）证明： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型三：根据不等式的性质求代数式的取值范围 1．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ：， ， 把代入②，得   （2）           法二：：         2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题干信息的提示，猜想结果即可； （2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论； （3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案. 【详解】（1）解：根据题干例子可知，材料中“▲”处空缺的内容为：； 故答案为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·四川眉山·期末）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 【答案】(1)①   ② (2)3 【分析】本题围绕“等式与不等式的性质综合运用”展开，先考查等式基本性质是等式变形的依据，如移项、系数化为1等操作，可实现“用一个变量表示另一个变量”，为代入化简代数式做准备 ．再考查不等式基本性质（①不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变 ）是推导变量取值范围的核心工具，通过对已知不等式变形，逐步缩小变量范围，结合整数等限定条件确定具体值 ． （1）①利用等式的基本性质实现变量代换，用表示，变形得， ②先把代入进行代换，得到；再由已知（即，解此不等式得），确定的范围是；最后由不等式基本性质，给的范围乘3再减8，推出（即 ）的范围：． （2）思维拓展，本题题型本质：先依据等式建立变量联系，再结合两个不等式条件确定的取值范围，利用“是整数”限定具体值，进而求出参数的值，考查等式变形、不等式求解、整数解筛选及代数式求值的综合运用 ． 【详解】解：（1）① ②：， ， ， ， ， ， ， ，即． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是整数， 为整数， ． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 【答案】（1）①见详解，②；（2） 【分析】本题主要考查加减消元法解一元二次方程组，整体代入法求代数式的值，以及不等式的性质，解题的关键是熟悉整体代入的应用． （1）①小明的解法首先利用加减消元法求得x和y，再代入求得 代数式的值；小红采取整体代入法求解即可； ②根据题意化简得，列出方程组求得n和m，再代入代数式计算即可； （2）设，列出方程组求解得到n和m，将，结合不等式的性质求得，即可知的取值范围． 【详解】解：（1）①小明，解得， 则； 小红得， 则得； ②设， 则，解得， 那么，； （2）， 则，解得， 那么，， ∵， ∴， 则的取值范围是． 5．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）利用不等式的性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据不等式的性质，解不等式，即可求解； （1）根据不等式性质3，不等号的两边同时除以，不等号的方向改变，即可求解． （2）根据不等式性质1，不等号的两边同时减去，不等号的方向不变，即可求解． 【详解】（1）解： 不等号的两边同时除以，得：； （2）解： 不等号的两边同时减去，得 1．（24-25七年级下·河南许昌·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，设，，则，故选项错误； B．若，设，，则，故选项错误； C．若，设，则，，当，时，，故选项错误； D．若，则，成立，故选项正确． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知三个数a，b，c满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的变形与不等式的推理，解题的关键是通过已知条件对式子进行合理变形，再结合不等式性质判断结论． 先由得出关于、的表达式，代入化简，再逐一分析选项． 项即可． 【详解】由，可得． 将代入： 则， 去括号得， 化简为，所以选项C错误； 虽然，但若，可能存在（例如，），与B项矛盾，故不一定成立，所以选项A错误； ，代入，得， 当时，可能不成立（例如，），故不一定成立．所以选项B错误； 由可得，将其代入： 即， 去括号得， 合并同类项得，两边同时除以， 得，所以选项D正确． 故选：D． 3．（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， 得：， 解得：，， ∵， ∴，或，， ∵， 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； ∴，， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东聊城·期中）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a，b，c的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判断，，的正负及知识点的应用． 【详解】由数轴可得，，， A、，原选项判断错误，不符合题意， B、，原选项判断正确，符合题意， C、，原选项判断错误，不符合题意， D、，原选项判断错误，不符合题意， 故选：B． 5．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质，根据新定义可得，进而根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 6．（2024·四川攀枝花·中考真题）P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，由题意得：，通过不等式的性质求解即可，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 由③得：④， 把④代入②中得： ， 由③得：， 故选：A． 7．（24-25七年级下·山东临沂·期末）任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ． 【答案】6或7 【分析】本题考查了新定义运算，由新定义得，，结合不等式的基本性质及新定义，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 或； 故答案为：6或7． 8．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解：，， ∴， 解得：， 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据“”“”的意义求出a和b的值成为解题的关键． 先根据“”“”的意义求出a和b的值，然后计算即可． 【详解】解：∵, ∴x的最小值是, ∵, ∴y的最大值是, ∴. 故答案为：9. 10．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，记，当，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．分两种情况：当时，当时，结合新定义，分别求出y的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，， 此时， 即； 当时，， 此时， 即； 综上所述，的范围为． 故答案为： 11．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·福建厦门·期末）在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴趣，其游戏规则是：有30张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表所示． 卡片编号 A，B B，C C，D D，B 两数和 m 【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】 (1)比较卡片A和C的大小，说明理由； (2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由． 【答案】(1)卡片A小于卡片C，理由见解析 (2)B卡片最大，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减，不等式的性质，掌握“求差法”比较大小是解题的关键． （1）由题意可得，，将得到即可求解； （2）同（1）思路，比较出，，即可解答． 【详解】（1）解：卡片A小于卡片C，理由如下： 由题意可得，， ，得， ∴ （2）解：B卡片最大，理由如下： 由题意可得，， ∵，， ∴，得，即， ，得，即， 由（1）由， ∴， ∴B卡片最大． 13．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象． 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜； 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是，其中含有糖（），则糖水的浓度为． ①如果加入水，糖水的浓度变为________．因为糖水变淡，可以得到不等式________； ②如果加入糖，糖水的浓度变为________．因为糖水变甜，可以得到不等式________； 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有，糖水，分别含糖，．它们浓度相同，则有． …… 任务1：直接写出小明笔记当中的“________”处空缺的内容． 任务2：证明②中的不等式． 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理． 任务4：请运用现象1中的结论证明： 设a，b，c是三边的长，则． 【答案】任务1：①，；②，；任务2：见解析；任务3：见解析；任务4：见解析 【分析】本题考查不等式的应用，本题根据糖水浓度变化的规律，完成填空、证明及应用． 任务1直接应用现象1的结论； 任务2需通过分式变形证明不等式； 任务3需利用浓度相同的条件推导混合后的浓度； 任务4则需综合运用糖水不等式及三角形三边关系进行证明． 【详解】解：任务1：①，． ②，． 任务2：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 任务3：∵， ∴，， ∴． 任务4：由现象1得：① ② ③ 则①＋②＋③得， 即． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$