3.3轴对称与坐标变化 同步课堂讲义2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

3.3轴对称与坐标变化 讲解目录 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 1 【知识点2】坐标与图形变化-对称 1 【知识点3】利用轴对称设计图案 2 【知识点4】作图-轴对称变换 2 【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征 2 【题型2】综合问题 3 【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征 5 【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征 6 知识讲解 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 【知识点2】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称      横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称      纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称      ①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）      ②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b） 【知识点3】利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【知识点4】作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径 题型专练 【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征 【典型例题】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（　　） A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5） B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2） C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2） D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5） 【举一反三1】点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A.（﹣2024，2023） B.（2023，﹣2024） C.（﹣2023，﹣2024） D.（2023，2024） 【举一反三2】已知点A（﹣2，4），B（2，4），C（1，2），D（﹣1，2），E（﹣3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　　____组对称三角形． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）求△ABC的面积． 【题型2】综合问题 【典型例题】在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称 【举一反三1】把点A（﹣2，a）向下平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【举一反三2】如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为（1，2），则点C的坐标为（　　） A.（﹣1，﹣2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，2） D.（﹣2，﹣1） 【举一反三3】若将A（2，b）向下平移4个单位得B，且A与B关于x轴对称，则b＝　　． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，点M（﹣5，12）关于x轴对称的点为点N，连接ON，则ON的长为 　　． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1； （3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2； （4）直接写出点B1，B2的坐标． 【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征 【典型例题】在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A.（﹣4，3） B.（4，﹣1） C.（﹣2，3） D.（4，﹣3） 【举一反三1】点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣3） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣4） 【举一反三2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点A'的坐标为（　　） A.（﹣2，2） B.（2，﹣2） C.（0，﹣2） D.（0，2） 【举一反三3】与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A.（﹣4，5） B.（4，﹣5） C.（﹣6，5） D.（4，﹣7） 【举一反三4】已知点A（﹣3，2），则点A关于直线x＝3的对称点B坐标为 　　． 【举一反三5】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　　． 【举一反三6】如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C的坐标为（1，﹣4），则这条平行于x轴的直线是 　　． 【举一反三7】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　　． 【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征 【典型例题】已知点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（　　） A.（2，1） B.（1，﹣2） C.（1，2） D.（﹣1，﹣2） 【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A.（1，3） B.（1，﹣3） C.（﹣1，3） D.（﹣1，﹣3） 【举一反三2】点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A.（2，8） B.（﹣2，8） C.（﹣2，﹣8） D.（2，﹣8） 【举一反三3】在平面直角坐标系中，点P（5，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为 　　． 【举一反三4】在10×10的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，直线m经过点（0，3）且平行x轴，直线n经过点（﹣1，0）且平行y轴． （1）△ABC的顶点坐标分别是A（ 　  ，　），B（ 　  ，    ），C（ 　  ，　）； （2）△ABC与△A′B′C′关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，则C′（ 　  ，　）； （3）点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为 　      　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3轴对称与坐标变化 讲解目录 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 1 【知识点2】坐标与图形变化-对称 1 【知识点3】利用轴对称设计图案 2 【知识点4】作图-轴对称变换 2 【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征 2 【题型2】综合问题 4 【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征 7 【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征 11 知识讲解 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 【知识点2】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称      横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称      纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称      ①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）      ②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b） 【知识点3】利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【知识点4】作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径 题型专练 【题型1】关于y轴对称的点的坐标特征 【典型例题】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（　　） A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5） B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2） C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2） D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5） 【答案】A 【解析】解：根据关于y轴对称的点的坐标特点可得： A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5）； 故选：A． 【举一反三1】点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A.（﹣2024，2023） B.（2023，﹣2024） C.（﹣2023，﹣2024） D.（2023，2024） 【答案】C 【解析】解：点A（2023，﹣2024）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2023，﹣2024）． 故选：C． 【举一反三2】已知点A（﹣2，4），B（2，4），C（1，2），D（﹣1，2），E（﹣3，1），F（3，1）是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　　____组对称三角形． 【答案】4 【解析】解：因为这六个点中A（﹣2，4）与B（2，4），C（1，2）与D（﹣1，2），E（﹣3，1）与F（3，1），都是关于y轴对称，所以对称三角形有△ADE，△BCF，△BDE，△ACF，△BDF，△ACE，△ADF，△BCE．共4对． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）求△ABC的面积． 【答案】解：（1）△A1B1C1如图，A1（2，4）； （2）由图可知， S△ABC＝3×3﹣×2×3﹣×3×1﹣×2×1 ＝9﹣3﹣﹣1 ＝． 【题型2】综合问题 【典型例题】在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称 【答案】A 【解析】解：∵将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C， ∴C的坐标为（4，4）， ∵A点的坐标是（4，﹣4）， ∴A与C关于x轴对称． 故选：A． 【举一反三1】把点A（﹣2，a）向下平移3个单位，所得的点与点A关于x轴对称，则a的值为（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】B 【解析】解：点A（﹣2，a）向下平移3个单位后点坐标为（﹣2，a﹣3）， ∵所得的点与点A关于x轴对称， ∴﹣a＝a﹣3， 解得a＝1.5， 故选：B． 【举一反三2】如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为（1，2），则点C的坐标为（　　） A.（﹣1，﹣2） B.（1，﹣2） C.（﹣1，2） D.（﹣2，﹣1） 【答案】A 【解析】解：∵x轴是△AOB的对称轴， ∴点A与点B关于x轴对称， 而点A的坐标为（1，2）， ∴B（1，﹣2）， ∵y轴是△BOC的对称轴， ∴点B与点C关于y轴对称， ∴C（﹣1，﹣2）． 故选：A． 【举一反三3】若将A（2，b）向下平移4个单位得B，且A与B关于x轴对称，则b＝　　． 【答案】见试题解析内容 【解析】解：点A（2，b）向下平移4个单位后得到B（2，b﹣4）， ∵A（2，b）与点B关于x轴对称， ∴b+b﹣4＝0， 解得：b＝2， 故答案为：2． 【举一反三4】在平面直角坐标系中，点M（﹣5，12）关于x轴对称的点为点N，连接ON，则ON的长为 　　． 【答案】13． 【解析】解：在平面直角坐标系中，点M（﹣5，12）关于x轴对称的点为点N，则点N的坐标为（﹣5，﹣12）， ∴ON＝＝13． 故答案为：13． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1； （3）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2； （4）直接写出点B1，B2的坐标． 【答案】解：（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： （4）B1（﹣4，﹣2），B2（4，﹣2）． 【题型3】关于其它与轴平行的直线对称的点的特征 【典型例题】在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A.（﹣4，3） B.（4，﹣1） C.（﹣2，3） D.（4，﹣3） 【答案】C 【解析】解：把A点和直线x＝1，向左移动1个单位得：A′（3，3）和直线x＝0， 点A′（3，3）关于x＝0的对称点为B（﹣3，3）， 把B（﹣3，3）再向右平移1个单位得：（﹣2，3）， 故选：C． 【举一反三1】点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣3） B.（﹣2，﹣1） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣4） 【答案】A 【解析】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称， ∴＝﹣1， 解得：b＝﹣3， ∴点Q的横坐标为a＝﹣2，纵坐标为b＝﹣3， ∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故A正确． 故选：A． 【举一反三2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（4，2），直线m是过点B且与y轴平行的直线，△ABC关于直线m对称的三角形为△A'B'C'，则点A'的坐标为（　　） A.（﹣2，2） B.（2，﹣2） C.（0，﹣2） D.（0，2） 【答案】D 【解析】解：如图所示： 点A'的坐标为（0，2）， 故选：D． 【举一反三3】与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A.（﹣4，5） B.（4，﹣5） C.（﹣6，5） D.（4，﹣7） 【答案】C 【解析】解：点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标是（﹣6，5）． 故选：C． 【举一反三4】已知点A（﹣3，2），则点A关于直线x＝3的对称点B坐标为 　　． 【答案】（9，2）． 【解析】解：点A（﹣3，2）与点B关于直线x＝3的对称， ∴点B的纵坐标为2，横坐标为3+[3﹣（﹣3）]＝9， ∴点B的坐标为（9，2）． 故答案为：（9，2）． 【举一反三5】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　　． 【答案】（4，4）． 【解析】解：过点（3，0）且平行于y轴的直线l为：x＝3， ∵点A与点B关于直线x＝3对称，且A（2，4）， ∴点B的纵坐标为4， 设点B的横坐标为x， 则，解得：x＝4， ∴B点的坐标为（4，4）， 故答案为：（4，4）． 【举一反三6】如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C的坐标为（1，﹣4），则这条平行于x轴的直线是 　　． 【答案】y＝﹣1． 【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC， 又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，﹣4）， ∴AC＝6， ∴点A，C到该直线的距离都为3，即可得直线为y＝﹣1 故答案为：y＝﹣1． 【举一反三7】如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是 　　． 【答案】（4，4）． 【解析】解：过点（3，0）且平行于y轴的直线l为：x＝3， ∵点A与点B关于直线x＝3对称，且A（2，4）， ∴点B的纵坐标为4， 设点B的横坐标为x， 则，解得：x＝4， ∴B点的坐标为（4，4）， 故答案为：（4，4）． 【题型4】关于x轴对称的点的坐标特征 【典型例题】已知点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（　　） A.（2，1） B.（1，﹣2） C.（1，2） D.（﹣1，﹣2） 【答案】D 【解析】解：根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点， ∴点P（﹣1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2）． 故选：D． 【举一反三1】在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A.（1，3） B.（1，﹣3） C.（﹣1，3） D.（﹣1，﹣3） 【答案】B 【解析】解：∵点A（1，3）与点B关于x轴对称，， ∴点B的坐标是：（1，﹣3）． 故选：B． 【举一反三2】点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A.（2，8） B.（﹣2，8） C.（﹣2，﹣8） D.（2，﹣8） 【答案】A 【解析】解：点（2，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为：（2，8）． 故选：A． 【举一反三3】在平面直角坐标系中，点P（5，﹣8）关于x轴对称的点的坐标为 　　． 【答案】（5，8）． 【解析】解：∵在平面直角坐标系中，点P（5，﹣8）关于x轴对称的点是（5，8）． 故答案为：（5，8）． 【举一反三4】在10×10的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，直线m经过点（0，3）且平行x轴，直线n经过点（﹣1，0）且平行y轴． （1）△ABC的顶点坐标分别是A（ 　  ，　），B（ 　  ，    ），C（ 　  ，　）； （2）△ABC与△A′B′C′关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，则C′（ 　  ，　）； （3）点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为 　      　． 【答案】解：（1）由图可得，A（2，4），B（5，2），C（3，﹣1）， 故答案为：2，4；5，2；3，﹣1； （2）如图1中，C′（3，1）， 故答案为：3，1； （3）以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则D坐标为D（0，1）或（﹣5，0）， 故答案为：（0，1）或（﹣5，0）； 学科网（北京）股份有限公司 $$