第一单元 圆（知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学六年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第一单元 圆 （知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的认识 2 知识点梳理02：画圆 2 知识点梳理03：在长方形和正方形中画最大的圆 3 知识点梳理04：扇形的认识 3 知识点梳理05：圆周长相关知识点 3 知识点梳理06：常用3.14倍数 4 知识点梳理07：圆面积的推导 4 知识点梳理08：常用平方 4 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：圆的概念及特点 4 高频考点讲练2：画圆 6 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 7 高频考点讲练4：圆的周长 9 高频考点讲练5：半圆的周长 10 高频考点讲练6：圆的周长的应用 11 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 12 高频考点讲练8：圆周率的历史 13 高频考点讲练9：圆的面积 13 高频考点讲练10：圆的面积的应用 15 高频考点讲练11：圆环的面积 16 高频考点讲练12：求最大面积 18 高频考点讲练13：含圆的组合图形的面积 19 高频考点讲练14：方中圆和圆中方的面积问题 20 高频考点讲练15：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 22 升学真题 实战演练 24 优选题型 培优强化 27 基础夯实 能力提升 27 创新拓展 拔尖冲刺 31 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：圆的认识 ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点梳理02：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点梳理03：在长方形和正方形中画最大的圆 ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点梳理04：扇形的认识 ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点梳理05：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点梳理06：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点梳理07：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点梳理08：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 高频考点讲练1：圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·课后作业）4名同学参加趣味“套圈”比赛，场地设计如下图所示。 （1）这样设计比赛场地公平吗？ （2）请你设计并画出一个公平的比赛场地示意图。 【答案】（1）不公平 （2）见解析 【思路引导】在套圈游戏中，公平的场地设计应该是每个同学到目标（瓶子）的距离相等。从图中可以看到，4名同学的位置①、②、③、④在一条直线上，而瓶子在直线的一侧，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，②号同学到瓶子的距离是垂线段的长度，①、③、④号同学到瓶子的距离是斜线的长度，斜线长度大于垂线段长度，所以4名同学到瓶子的距离不相等； 设计公平的比赛场地要设计公平的比赛场地，需要让4名同学到瓶子的距离相等。 【规范解答】（1）由于4名同学离瓶子的距离不相等，所以这样的设计不公平。 （2）同圆内半径都相等，只要4名同学所站的位置成一个圆形，游戏就公平了。公平的比赛场地示意图如图所示。 【变式训练】（23-24六年级下·甘肃酒泉·期中）用下面的方法可以测量出没有标出圆心的圆的直径。这样测量的依据是（    ）。 A．直径是圆中最长的线段 B．圆的直径是相等的 C．圆是轴对称图形 D．圆的半径是直径的一半 【答案】A 【思路引导】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，如图测量圆中的线段，其中最长的线段即为圆的直径；据此解答。 【规范解答】在同一个圆内有无数条直径，直径是圆中最长的线段，如图所示，测量出圆中最长的线段就是圆的直径。 即这样测量的依据是直径是圆中最长的线段。 故答案为：A 高频考点讲练2：画圆 【典例精讲】（24-25六年级上·广东深圳·期中）以虚线为对称轴画出轴对称图形的另一半。 【答案】见详解 【思路引导】图中的弧线是圆形的一半，以两格的长度为圆规两脚之间的距离，以虚线的中点为圆心，画出右半圆。再根据补全轴对称图形的方法：找出图的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 【规范解答】作图如下： 【变式训练】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）在下面的空白处画一个半径是2厘米的半圆形，然后在半圆形内画一个最大的三角形，再求三角形的面积。 【答案】图见详解；4平方厘米 【思路引导】先确定圆心，然后用圆规把两脚之间的距离打开到2厘米，然后转半圈画出半圆弧，之后把左右两点连接起来就是半圆，要使三角形最大，那么三角形的底是半圆的直径，只有当高是圆的半径的时候，三角形面积最大，根据三角形的面积公式：底×高÷2，代入数据即可求解。 【规范解答】如下图所示： 2×2＝4（厘米） 4×2÷2＝4（平方厘米） 三角形的面积是4平方厘米。 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）下面四幅图中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答。 【规范解答】 A．，有4条对称轴； B．，有3条对称轴； C．，有1条对称轴； D．，有无数条对称轴。 对称轴数量最多的是。 故答案为：D 【变式训练】（24-25六年级上·陕31．西咸阳·期中）下面各图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。据此根据平面图形的特点确定对称轴的数量。 【规范解答】如图： A．有2条对称轴； B．有4条对称轴； C．有3条对称轴； D．有1条对称轴。 故答案为：B 高频考点讲练4：圆的周长 【典例精讲】（23-24六年级下·广东湛江·期末）一根铁丝可以围成一个半径是4厘米的圆，如果把它围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？ 【答案】 6.28厘米 【思路引导】根据圆的周长公式，代入数据求出铁丝的长，再根据，用铁丝的长除以4。 【规范解答】 （厘米） 答：正方形的边长是6.28厘米。 【变式训练】（23-24六年级上·广东清远·期中）笑笑和淘气各画了一个圆，如果笑笑画的圆的半径等于淘气画的圆的直径，那么笑笑画的圆的周长是淘气画的圆的周长的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意“笑笑画的圆的半径等于淘气画的圆的直径”，设笑笑画的圆的半径是r，淘气画的圆的半径是，再利用圆的周长公式，分别表示出两个圆的周长，再进行比较即可。 【规范解答】设笑笑画的圆的半径是r，淘气画的圆的半径是。 笑笑画的圆的周长是， 淘气画的圆的周长是 笑笑画的圆的周长是淘气画的圆的周长的2倍。 故答案为：A 高频考点讲练5：半圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）下图是甲乙两辆汽车的行走路线，已知甲车是1号路线，乙车是2号路线，甲乙两车从A地到B地，谁走的路程长？（    ） A．甲走的路程长 B．乙走的路程长 C．甲乙车走的路程一样长 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】分析题目，可以设大半圆的半径为r，则两个小半圆的直径都是r，圆周长的一半＝πr，据此分别算出1号路线和2号路线的路程，再比较即可。 【规范解答】假设大半圆的半径为r。 1号路线：3.14×r＝3.14r 2号路线：3.14×（r×）×2 ＝3.14×r×2 ＝1.57r×2 ＝3.14r 3.14r＝3.14r，1号路线和2号路线的路程一样长，所以甲乙两车走的路程一样长。 故答案为：C 【变式训练】（23-24六年级上·广东茂名·期中）爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，需要多长的篱笆？现在为了节约成本，把其中一面靠墙，菜地现在需要多长的篱笆？ 【答案】25.7米；15.7米 【思路引导】根据题意可知，第一问，求直径是10米的半圆的周长，半圆周长＝πd÷2＋d，第二问中，有一面靠墙，那么篱笆的长度就是直径是10米的圆的周长的一半，即πd÷2，据此解答。 【规范解答】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（米） 3.14×10÷2 ＝31.4÷2 ＝15.7（米） 答：在空地上需要篱笆25.7米；一面靠墙，菜地现在需要篱笆15.7米。 高频考点讲练6：圆的周长的应用 【典例精讲】（2023·广东深圳·小升初真题）如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚( )圈。 【答案】8 【思路引导】根据题意可知，油桶滚动的距离＝两墙之间的距离－油桶的底面直径；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出油桶的底面周长，再用两墙之间的距离与油桶底面直径的差÷油桶的底面周长，即可解答。 【规范解答】（26.12－0.5×2）÷（3.14×0.5×2） ＝（26.12－1）÷（1.57×2） ＝25.12÷3.14 ＝8（圈） 底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚8圈。 【变式训练】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）一个圆形牛栏的半径是12米，要用多长的铁丝才能把牛栏围上3圈？（接头处忽略不计） 【答案】226.08米 【思路引导】根据圆的周长公式C＝2πr，求出1圈的长度，再乘3即可求出3圈的长度。 【规范解答】12×2×3.14×3＝226.08（米） 答：要用226.08米的铁丝才能把牛栏围上3圈。 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·陕西延安·期末）计算下面图形的周长。 【答案】27.42cm 【思路引导】组合图形是边长6cm的正方形与直径6cm的半圆组合而成，其周长等于正方形边长的3倍加上圆周长的一半，利用圆的周长公式，代入数据，据此解答。 【规范解答】 （cm） 组合图形周长是27.42cm。 【变式训练】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）如图，甲、乙两部分的周长关系是（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．甲、乙一样长 【答案】C 【思路引导】正方形中一条圆心角是90°的弧把正方形一分为二，分别计算甲、乙两部分的周长，再比较即可。 【规范解答】甲、乙的周长都是两条正方形的边长加上圆心角是90°的弧长，所以甲、乙两部分的周长相等。 故答案为：C 高频考点讲练8：圆周率的历史 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·单元测试）圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率（    ）。 A．圆A大 B．圆B大 C．一样大 D．不确定大小 【答案】C 【思路引导】圆周率表示圆的周长与直径的比值，比值是，据此解答。 【规范解答】圆周率表示圆的周长与直径的比值，比值是，与圆的直径是多少无关，所以圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率一样大。 故答案为：C 【变式训练】（22-23六年级上·广东深圳·期末）在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家（    ）得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14，他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。 A．祖冲之 B．杨辉 C．刘锻 D．贾宪 【答案】A 【思路引导】从古到今，国内外的数学家都在研究圆周率的问题，最早是用测量的方法，发现圆的周长总是直径的3倍多；古希腊数学家阿基米德和我国魏晋时期数学家刘徽都用割圆术研究过圆周率的值；我国南北朝时期数学家祖冲之算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，比欧洲早1000多年，据此解答。 【规范解答】在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家祖冲之得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14，他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。 故答案为：A 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握圆周率的意义，以及有关圆周率研究的数学常识。 高频考点讲练9：圆的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·四川成都·期末）转化是一种重要的数学思想，小学数学学习中经常用到，以下（    ）没有用到转化的思想。 A． B． C．公顷的是？公顷 D． 【答案】C 【思路引导】转化思想就是将没有学过的新知识转化成学过的知识，化难为易。 A．根据圆的面积公式的推导过程判断。 B．根据小数除法的计算过程判断。 C．根据分数乘分数的意义判断。 D．根据平行四形面积公式的推导过程判断。 逐项分析，找出没有用到转化思想的选项。 【规范解答】A．把圆分成若干等份，剪开后再拼成一个近似的长方形，这样圆的面积转化成长方形的面积，进而推导出圆的面积公式。该选项采用了转化的思想。 B．观察可知，4.65÷0.85计算时分别把除数和被除数扩大到它的100倍，变成765÷85，即转化为整数除法再计算。所以该选项采用了转化的思想。 C．长方形中的浅色阴影表示，深色阴影表示的，深色阴影是（公顷），所以，公顷的是？公顷运用数形结合的思想，解决分数乘分数的问题，没有采用转化的思想。 D．将平行四边形剪开拼成一个长方形，这样平行四边形的面积转化成长方形的面积，进而推导出平行四边形的面积公式。所以该选项采用了转化的思想。 故答案为：C 【变式训练】（2023·陕西西安·小升初真题）两个圆按照上图所示不同位置关系摆放，从左到右，两个圆的重叠部分越来越小，那么两个圆形中空白部分的面积差( )。（填变大，变小或不变） 【答案】不变 【思路引导】设大圆与小圆面积分别为a、b（a＞b），重叠部分面积为s，先算出两个圆形中空白部分的面积，再进行作差，可知两个圆形中空白部分的面积差＝a－b，也就是两个圆形中空白部分的面积差与重叠面积s无关，据此解答。 【规范解答】假设大圆与小圆面积分别为a、b（a＞b），重叠部分面积为s。大圆空白部分的面积为a－s，小圆空白部分的面积为b－s。 两个圆形中空白部分的面积差＝（a－s）－（b－s）＝a－s－b＋s＝a－b－s＋s＝a－b，由此可知两个圆形中空白部分的面积差与重叠面积s无关，故两个圆形中空白部分的面积差不变。 高频考点讲练10：圆的面积的应用 【典例精讲】张奶奶用25.12米长的竹篱笆一边靠墙围了一个半圆形的鸡舍，鸡舍的占地面积是多少平方米？ 【答案】100.48平方米 【思路引导】根据题意，圆的周长的一半是25.12米，根据圆的周长公式：C＝2πr，则圆的周长的一半为πr，圆的半径为（25.12÷3.14）米，再利用圆的面积公式：S＝πr2，代入数值，求出圆的面积，再用圆的面积除以2，即可求出鸡舍的占地面积。 【规范解答】25.12÷3.14＝8（米） 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 200.96÷2＝100.48（平方米） 答：鸡舍的占地面积是100.48平方米。 【变式训练】（23-24六年级上·广东深圳·期中）按要求画一画，算一算。 （1）如图是一个直径为4厘米的圆，请在这个圆内画一个最大的正方形。 （2）将圆以内正方形以外的部分涂上阴影，求出阴影部分的面积。 【答案】（1）如图：； （2）；4.56平方厘米 【思路引导】（1）在圆内画两条互相垂直的直径，再把直径相交于圆上的四个点用线连起来，即可得到圆内最大的正方形。 （2）已知圆的直径为4厘米，则用直径除以2就得到半径的长度，再根据圆的面积公式，计算圆的面积，正方形的面积等于底为4厘米，高等于半径的两个三角形的面积，根据，计算三角形面积再乘2。根据阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，代入数据计算即可得解。 【规范解答】（1）据分析画图如下： （2）3.14×（4÷2）2－4×（4÷2）÷2×2 ＝3.14×22－4×2÷2×2 ＝3.14×4－8÷2×2 ＝12.56－8 ＝4.56（平方厘米） 阴影部分的面积是4.56平方厘米。 高频考点讲练11：圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·广东湛江·期末）一个圆环，内圆的直径是5分米，环宽是1分米，这个环形的面积是( )平方分米。 【答案】18.84 【思路引导】已知圆环内圆的直径是5分米，根据圆的半径r＝d÷2，求出内圆的半径；再用内圆的半径加上环宽，求出外圆的半径R；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出这个圆环的面积。 【规范解答】内圆半径：5÷2＝2.5（分米） 外圆半径：2.5＋1＝3.5（分米） 3.14×（3.52－2.52） ＝3.14×（12.25－6.25） ＝3.14×6 ＝18.84（平方分米） 这个环形的面积是18.84平方分米。 【变式训练】（24-25六年级上·陕西铜川·期中）求阴影部分的面积。 【答案】75.36平方分米；9.12平方厘米 【思路引导】第一个图形的阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积＝×（－），代入数据解答； 第二个图形的阴影部分的面积等于直径是8厘米的半圆的面积减去底为8厘米、高为（8÷2）厘米的三角形的面积，根据圆的面积＝ 、三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 【规范解答】3.14×（－） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方分米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×÷2－8×4÷2 ＝3.14×16÷2－32÷2 ＝3.14×8－16 ＝25.12－16 ＝9.12（平方厘米） 高频考点讲练12：求最大面积 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 【答案】不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式： 3.14×（2÷2）2＝3.14（m2） 【思路引导】在长方形里切割一个最大的圆，应以短边为直径，用直径除以2求出半径，再代入圆的面积公式去计算。据此解答。 【规范解答】 （m2） 答：不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式：3.14×（2÷2）2＝3.14（m2）。 【变式训练】（21-22六年级上·辽宁·期中）周长相等的长方形、正方形、圆，( )的面积最大。面积相等的长方形、正方形、圆，( )的周长最小。 【答案】 圆 圆 【思路引导】（1）要比较周长相等的长方形、正方形和圆，谁的面积大，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别求出它们的面积，最后比较这三种图形面积大小； （2）周长相等时，形状越近似圆，面积越大，反之，面积相等，形状越接近圆，周长越小；长方形、正方形和圆的面积相等，它们的周长排列顺序为：长方形＞正方形＞圆；据此解答。 【规范解答】为了便于理解，假设长方形、正方形和圆的周长都是16 圆的半径：＝ 面积：π××＝≈20.38 正方形边长：16÷4＝4 面积：4×4＝16 长方形取长为5，宽为3 面积：5×3＝15 当长方形的长和宽最接近时面积也小于16； 长方形面积＜正方形面积＜圆的面积 当长方形、正方形和圆的面积相等，它们周长关系是相反的； 长方形周长＞正方形周长＞圆的周长。 周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大；面积相等的长方形、正方形和圆，圆的周长最小。 【考点剖析】本题考查图形的面积以及周长的比较，是一个经典的题型，本题从数量上认证了面积一定，长方形周长＞正方形的周长＞圆形的周长，还考查长方形、正方形、圆的面积公式以及灵活运用。 高频考点讲练13：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）如图所示，妙想模仿古钱币造型的沈阳方圆大厦，设计了一个建筑模型，模型正面是铜钱的形状，圆的直径是30厘米，中间正方形的边长是10厘米，这个模型正面的面积是多少平方厘米？ 【答案】606.5平方厘米 【思路引导】这个模型的面积＝圆的面积－正方形的面积，根据圆的面积＝，正方形的面积＝边长×边长，将数据代入计算即可。 【规范解答】3.14×（30÷2）2－10×10 ＝3.14×152－100 ＝3.14×225－100 ＝706.5－100 ＝606.5（平方厘米） 答：这个模型正面的面积是606.5平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·吉林长春·期末）下面每个正方形的边长都相等，下面左图阴影部分的面积与下面右边图（    ）阴影部分的面积相等。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【思路引导】分析题目，左边阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个以正方形的边长为直径的圆的面积；①的阴影面积等于一个以正方形的边长为直径的圆的面积；②的阴影面积等于正方形的面积减去2个以正方形的边长为底，正方形边长的一半为高的三角形的面积；③的阴影面积等于正方形的面积减去一个以正方形的边长为直径的圆的面积，据此解答。 【规范解答】根据分析可知：给出的图形的阴影面积等于正方形的面积减去以正方形的边长为直径的圆的面积；图③的阴影面积也等于正方形的面积减去以正方形的边长为直径的圆的面积。 故答案为：C 高频考点讲练14：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 【答案】（1）相等；原因见详解 （2）①； 【思路引导】（1）图①：两个半圆的面积和等于直径是2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出阴影部分面积。 图②：四个空白面积加起来是一个直径2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米的圆的面积，据此求出阴影部分面积。 图③：三个空白面积加起来就是直径2分米的圆的面积，阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积，据此求出阴影部分面积，再进行比较，即可解答。 （2）选择图①（选法不唯一），用阴影部分的面积÷正方形面积，即可解答。 【规范解答】（1）图①： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图②： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图③： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 0.86＝0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。 答：阴影部分的面积相等，因为计算的阴影部分的面积结果相同。 （2）0.86÷（2×2） ＝0.86÷4 ＝ 我选择第①图，计算出阴影面积占正方形面积的。（选择的图答案不唯一） 【变式训练】（23-24六年级上·河南信阳·期末）一张桌面半径是r米的圆形餐桌，折叠后是一个正方形。折叠后的桌面面积是2r2。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】桌面的半径是r米，折叠后是一个正方形，即正方形的对角线为2r米。折叠后的正方形可以被它的一条对角线分成两个完全一样的等腰直角三角形，且每个等腰直角三角形的底等于圆的直径，每个等腰直角三角形的高等于圆的半径。根据三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，可以得出答案。 【规范解答】折叠后的正方形面积 ＝2×三角形面积 ＝2×底×高÷2 ＝2×2r×r÷2 ＝2r2 故答案为：√ 高频考点讲练15：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级上·广东茂名·期中）一个正方形的面积是28平方厘米，笑笑在这个正方形中画了一个最大的圆，如图1所示。你能帮她计算出阴影部分的面积吗？ （1）可以这样思考：解决问题的关键是求圆的面积，但是我们无法求出圆的半径。我们可以运用“转化思想”，把正方形分成大小相等的小正方形（如图2），圆半径的平方就等于（    ），从而可以求出圆的面积。 （2）列式解答。 【答案】（1）小正方形的面积； （2）6.02平方厘米 【思路引导】（1）观察图2可知，圆的半径等于小正方形的边长，根据正方形面积＝边长×边长知：圆半径的平方＝小正方形的面积； （2）正方形的面积是28平方厘米，观察图2可知：大正方形被平均分成4个小正方形，根据除法的意义，用28除以4求出其中一个小正方形的面积。又知小正方形的边长＝大圆的半径，即＝小正方形的面积，再根据圆的面积＝计算出圆的面积，阴影部分面积＝大正方形的面积－圆的面积，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）由分析知：圆半径的平方就等于小正方形的面积； （2）一个小正方形的面积：28÷4＝7（平方厘米） 阴影部分的面积＝大正方形的面积－圆的面积 ＝28－3.14×7 ＝28－21.98 ＝6.02（平方厘米） 所以阴影部分的面积是6.02平方厘米。 【变式训练】（22-23六年级上·安徽阜阳·期末）求涂色部分的周长和面积。    【答案】周长25.12厘米，面积25.12平方厘米 【思路引导】观察图形可知，涂色部分的周长包括以4厘米为半径的半圆和两个以4厘米为直径的小半圆的周长之和，而两个半径相等的小半圆可以组成一个整圆。根据圆的周长＝πd＝2πr即可解答。 涂色的小半圆可以填补到空白的小半圆处，这样涂色部分的面积转化为半圆的面积。根据圆的面积＝πr2即可解答。 【规范解答】周长：2×4×3.14÷2＋3.14×4 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（厘米） 面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 则涂色部分的周长是25.12厘米，面积是25.12平方厘米。 【演练1】（2024·安徽淮北·小升初真题）如图有( )条对称轴，如果每个圆的周长是25.12cm，长方形的面积是( )cm2。 【答案】 2 128 【思路引导】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，据此即可解答。 根据图可知，圆的直径＝长方形的宽，圆的直径×2＝长方形的长，根据圆的周长＝π×直径，直径＝周长÷π，据此求出圆的直径，进而求出长方形的长，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出长方形面积。 【规范解答】如图： ，有2条对称轴。 25.12÷3.14＝8（厘米） 8×2＝16（厘米） 8×16＝128（平方厘米） 有2条对称轴，如果每个圆的周长是25.12cm，长方形的面积是128cm2。 【演练2】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，求阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】51.75平方厘米 【思路引导】连接PB，则阴影部分的面积＝（正方形的面积＋半圆的面积－三角形PAB的面积）÷2－三角形PBQ的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，半圆的面积＝圆的面积÷2，三角形的面积＝底×高÷2。将数据代入计算即可。 【规范解答】10×10＝100（平方厘米） 3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝3.14×12.5 ＝39.25（平方厘米） 100＋39.25＝139.25（平方厘米） 10×（10＋5）÷2 ＝10×15÷2 ＝75（平方厘米） 5×5÷2＝12.5（平方厘米） 139.25－75－12.5＝51.75（平方厘米） 则阴影部分的面积是51.75平方厘米。 【演练3】（2024·陕西西安·小升初真题）如图，以大圆的半径为直径画一小圆，大圆的周长是小圆周长的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 【答案】A 【思路引导】已知大圆半径和小圆直径相等，假设大圆半径是2厘米，则小圆直径是2厘米，根据圆的周长公式“C＝πd”分别计算出大圆和小圆的周长，再用大圆周长除以小圆周长计算出倍数。 【规范解答】假设大圆半径是2厘米。 3.14×（2×2） ＝3.14×4 ＝12.56（厘米） 3.14×2＝6.28（厘米） 12.56÷6.28＝2 所以大圆的周长是小圆周长的2倍。 故答案为：A 【演练4】（2024·广东清远·小升初真题）计算阴影部分的面积。 【答案】 8.37平方厘米 【思路引导】图中阴影部分的面积＝梯形面积－半圆面积，半圆的直径是6厘米，则半径为6÷2＝3（厘米），此时梯形的高恰好是圆的半径3厘米，根据半圆面积＝；梯形的上底为6厘米，下底为9厘米，高为3厘米，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此可得出答案。 【规范解答】（6＋9）×（6÷2）÷2－3.14×（6÷2）2÷2 ＝15×3÷2－3.14×32÷2 ＝22.5－3.14×9÷2 ＝22.5－14.13 ＝8.37（平方厘米） 所以阴影部分的面积为8.37平方厘米。 【演练5】（2024·四川成都·小升初真题）如图所示，求图中阴影部分的面积。（取3.14） 【答案】21.68cm2 【思路引导】如图所示，阴影面积＝直径是8cm的半圆面积－红色阴影面积。长方形内部有两个半径是2cm的扇形和半径是2cm的半圆，这两个扇形和半圆的半径相等，能够组成一个圆。所以红色阴影面积等于长方形面积减去半径是2cm的圆的面积。据此解答。 【规范解答】 （cm2） 阴影部分的面积是21.68cm2。 基础夯实 能力提升 1．（2025六年级下·全国·专题练习）如图所示，把一条线段平均分成四份，圆的直径正好是其中一份，这个圆的周长约是（    ）。 A．OA B．OB C．OC D．OD 【答案】C 【思路引导】已知把一条线段平均分成四份，圆的直径正好是其中一份，设圆的直径为d；根据圆的周长公式C＝πd，可知圆的周长是直径的π倍，约等于3倍，据此得出这个圆的周长在图中的大概位置。 【规范解答】设圆的直径为d； 圆的周长约为：3.14×d≈3d 所以，这个圆的周长约是OC。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·广东清远·期末）用折叠法从一个圆形纸片上找到圆心，要将圆形纸片至少对折（    ）次。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】用折叠法将圆形纸片对折两次，两次折痕的交点就是圆心的位置，据此解答。 【规范解答】据分析可知，用折叠法从一个圆形纸片上找到圆心，要将圆形纸片至少对折2次。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·广东清远·期末）如图，圆的半径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 【答案】B 【思路引导】连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；据此解答。 【规范解答】如图，圆的半径是4cm。 故答案为：B 4．（25-26六年级上·全国·课后作业）车轮滚动时，车轮的中心点可以看作是圆的( )，从这个中心点到圆上任意一点的距离都( )。在车的行进过程中，车轮中心点是沿一条( )在运动。 【答案】 圆心 相等 直线 【思路引导】圆的基本概念里，圆心是圆的中心位置的点，车轮的中心点符合圆心的定义； 圆的半径定义为从圆心到圆上任意一点的线段长度，同一个圆的所有半径都相等； 当车行进时，车轮是滚动的，但车轮的中心始终保持在同一水平高度沿着直线向前运动。据此可以回答。 【规范解答】车轮滚动时，车轮的中心点可以看作是圆的（圆心），从这个中心点到圆上任意一点的距离都（相等）。在车的行进过程中，车轮中心点是沿一条（直线）在运动。 5．（2023·广东深圳·小升初真题）用圆规画一个圆，如果圆规两脚尖之间的距离是3cm，这个圆的周长是( )cm。 【答案】18.84 【思路引导】画圆时，圆规两脚尖之间的距离就等于所画圆的半径，根据圆的周长公式：c＝2πr，把数据代入公式解答。 【规范解答】2×3.14×3＝18.84（cm） 用圆规画一个圆，如果圆规两脚尖之间的距离是3cm，这个圆的周长是18.84cm。 6．（2025六年级下·全国·专题练习）圆的周长总是它的直径的3.14倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据圆的周长公式，周长与直径的比值是圆周率π，而π的近似值为3.14，但并非精确等于3.14。 【规范解答】圆的周长公式为：周长＝π×直径，其中π是一个固定不变的数，约等于3.1416。题目中“3.14”是π的近似值，并非准确倍数。因此，圆的周长总是直径的π倍，而非精确的3.14倍，原题说法错误。 故答案为：× 7．（23-24六年级上·四川成都·期末）将圆规两脚间的距离调整为9厘米画圆，画出的圆直径就正好是9厘米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据圆的画法：明确画圆时圆规两脚间的距离就是圆的半径；据此解答。 【规范解答】9×2＝18（厘米） 所以，将圆规两脚间的距离调整为9厘米画圆，画出的圆直径就正好是18厘米。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（23-24六年级上·广东清远·期中）求下面圆的周长。 【答案】50.24cm 【思路引导】已知圆的半径是8cm，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求出它的周长。 【规范解答】2×3.14×8＝50.24（cm） 这个圆的周长是50.24cm。 9．（25-26六年级上·全国·课后作业）“南昌之星”摩天轮是世界第三高的摩天轮，其转盘半径大约为77m。坐在摩天轮的座椅上转动一周，转过的距离大约是多少米？如果摩天轮上大约每隔8m装挂1个透明座舱，那么大约一共可以装挂多少个座舱？ 【答案】483.56米；60个 【规范解答】根据圆的周长计算，C＝2πr，代入数据计算即可；根据植树问题的解题方法，封闭图形植树，棵数＝段数，段数＝封闭图形周长÷间隔长，据此列式解答。 答：转过的距离大约是483.56米，那么大约一共可以装挂60个座舱。 10．（24-25六年级上·安徽淮南·期末）垃圾分类有利于改善城乡环境，保障人体健康，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面是由长方形和两个半圆组成（如图），这张海报的面积是多大？物业想给这张海报布置一圈灯带，一共需要多长灯带？ 【答案】7626平方厘米；348.4厘米 【思路引导】海报的面积＝长方形的面积＋两个半圆的面积，两个半圆可以拼接成一个直径是60厘米的圆，根据圆的面积＝。长方形的长是80厘米，宽是60厘米，长方形的面积＝长×宽得出长方形的面积，最后相加即可； 灯带的长度＝长方形的两个长＋整个圆的周长，根据圆的周长＝πd得出圆的周长再加上两个长即可。 【规范解答】60÷2＝30（厘米） 3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 60×80＝4800（平方厘米） 2826＋4800＝7626（平方厘米） 3.14×60＋80×2 ＝188.4＋160 ＝348.4（厘米） 答：这张海报的面积是7626平方厘米。一共需要348.4厘米。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2024·辽宁营口·小升初真题）一个圆的直径扩大到原来的3倍，圆的面积就会扩大到原来的（    ）倍。 A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】A 【思路引导】直径＝半径×2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，一个圆的直径扩大到原来的几倍，面积扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。 【规范解答】3×3＝9 一个圆的直径扩大到原来的3倍，圆的面积就会扩大到原来的9倍。 故答案为：A 12．（24-25六年级上·吉林长春·期末）小新有一张边长为8厘米的正方形纸，他想从这张纸上剪下一个最大的圆作为圣诞装饰。这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．16π B．25π C．64π D．8π 【答案】A 【思路引导】在正方形上剪一个最大的圆，则这个圆的直径是正方形的边长，已知正方形的边长为8厘米，所以这个圆的直径是8厘米，半径是（8÷2）厘米，根据圆的面积＝πr2，代入数据求出圆的面积即可。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） π×42 ＝π×16 ＝16π（平方厘米） 这个圆的面积是16π平方厘米。 故答案为：A 13．（23-24六年级上·四川成都·期末）大圆半径是小圆半径的3倍，小圆面积是6.28平方厘米，则大圆面积是（    ）平方厘米。 A．18.84 B．6.28 C．56.52 D．37.68 【答案】C 【思路引导】大圆半径是小圆半径的3倍，设小圆的半径为r，则大圆的半径就是3r，小圆面积是πr2，大圆的面积：π（3r）2＝π×9r2＝9πr2，因为9πr2÷πr2＝9，所以大圆的面积是小圆的面积的9倍，代入数据计算，即可求出大圆的面积，据此解答。 【规范解答】6.28×9＝56.52（平方厘米） 即大圆的面积是56.52平方厘米。 故答案为：C 14．（2024·山西晋城·小升初真题）如图，长方形里有一个最大的半圆，这个长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】 18 3.87 【思路引导】观察图形可知，长方形里有一个最大的半圆，则半圆的直径等于长方形的长； 根据长方形的周长公式C＝2（a＋b），求出这个长方形的周长； 根据长方形的面积公式S＝ab，半圆的面积公式S＝πr2÷2，分别求出长方形、半圆的面积，再相减，即是阴影部分的面积。 【规范解答】6÷2＝3（cm） （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（cm） 6×3－3.14×32÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） 长方形的周长是18cm，阴影部分的面积是3.87cm2。 15．（2024·山西吕梁·小升初真题）一个钟表，分针长40厘米，一个小时分针的尖端走了 厘米，分针扫过的面积是 平方厘米。 【答案】 251.2 5024 【思路引导】钟面上分针转一圈是1小时，经过一小时，分针的针尖走过的路程等于半径为40厘米的圆的周长，分针扫过的面积是等于半径为40厘米的圆的面积，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】2×3.14×40＝251.2（厘米） 3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） 一个小时分针的尖端走了251.2厘米，分针扫过的面积是5024平方厘米。 16．（24-25六年级上·广东湛江·期末）一个半圆形的鸡舍，它的半径是5米，这个半圆形鸡舍的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 25.7 39.25 【思路引导】已知一个半圆形的鸡舍的半径是5米，根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，半圆的面积＝圆的面积÷2，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出半圆形鸡舍的周长和面积。 【规范解答】2×3.14×5÷2＋5×2 ＝15.7＋10 ＝25.7（米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方米） 这个半圆形鸡舍的周长是25.7米，面积是39.25平方米。 17．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算下面图形的周长。 【答案】27.42cm 【思路引导】组合图形是边长6cm的正方形与直径6cm的半圆组合而成，其周长等于正方形边长的3倍加上圆周长的一半，利用圆的周长公式，代入数据，据此解答。 【规范解答】 （cm） 18．（24-25六年级上·浙江衢州·期中）如图，有4根直径都是2米的圆木头，如果用铁丝把它们捆在一起，捆一圈至少需要多长的铁丝？（接头处不计） 【答案】14.28米 【思路引导】由题意可得，用铁丝把4根直径都是2米的圆木头捆在一起，要求捆一圈需要的铁丝长度，就是求一个圆的周长加上4条直径长度，如下图，即可解答。 【规范解答】根据分析可得， 3.14×2＋2×4 ＝6.28＋8 ＝14.28（米） 答：捆一圈至少需要14.28米的铁丝。 19．（24-25六年级上·浙江衢州·期中）一只小羊拴在草地上吃草，拴羊的绳长为8米。若将拴羊的绳子加长1米，则小羊可以多吃多少面积的草？ 【答案】53.38平方米 【思路引导】根据题意，作图如下： 从图中可知：小羊吃草的面积是以拴羊的绳长为半径的圆的面积。分别求出半径8米和半径（8＋1）米的圆的面积，这两个圆面积的差，就是小羊可以多吃草的面积。 【规范解答】（8＋1）2×3.14－82×3.14 ＝92×3.14－82×3.14 ＝（92－82）×3.14 ＝（81－64）×3.14 ＝17×3.14 ＝53.38（平方米） 答：小羊可以多吃53.38平方米的草。 20．（20-21六年级上·辽宁沈阳·期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？ 【答案】32.8厘米 【思路引导】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。阴影甲比乙的面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角形ABC面积，利用三角形面积公式倒推AB边长度即可。 【规范解答】3.14×（）2＝1256（平方厘米） 1256÷2＝628（平方厘米） 628＋28＝656（平方厘米） 656×2＝1312（平方厘米） 1312÷40＝32.8（厘米） 答：AB有32.8厘米长。 【考点剖析】本题的关键是结合同加同减差不变的规律找出规则图形的面积差，把不规则转换成规则。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 圆 （知识梳理+15个考点讲练+真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的认识 2 知识点梳理02：画圆 2 知识点梳理03：在长方形和正方形中画最大的圆 3 知识点梳理04：扇形的认识 3 知识点梳理05：圆周长相关知识点 3 知识点梳理06：常用3.14倍数 4 知识点梳理07：圆面积的推导 4 知识点梳理08：常用平方 4 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：圆的概念及特点 4 高频考点讲练2：画圆 5 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 6 高频考点讲练4：圆的周长 6 高频考点讲练5：半圆的周长 6 高频考点讲练6：圆的周长的应用 7 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 7 高频考点讲练8：圆周率的历史 8 高频考点讲练9：圆的面积 8 高频考点讲练10：圆的面积的应用 9 高频考点讲练11：圆环的面积 10 高频考点讲练12：求最大面积 10 高频考点讲练13：含圆的组合图形的面积 11 高频考点讲练14：方中圆和圆中方的面积问题 11 高频考点讲练15：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 12 升学真题 实战演练 13 优选题型 培优强化 14 基础夯实 能力提升 14 创新拓展 拔尖冲刺 16 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：圆的认识 ①圆是一种曲线图形。 ②画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； ③连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； ④通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 ⑤因为同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。通过对折，就可知圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 ⑥注意点：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 ⑦半径和直径的关系：在同一个圆中，半径（r）是直径（d）的一半。用字母表示为：d=2r或r=。 知识点梳理02：画圆 先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。 知识点梳理03：在长方形和正方形中画最大的圆 ①正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径 画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 ②长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径 画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 知识点梳理04：扇形的认识 ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点梳理05：圆周长相关知识点 ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 知识点梳理06：常用3.14倍数 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点梳理07：圆面积的推导 ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 知识点梳理08：常用平方 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 高频考点讲练1：圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级上·全国·课后作业）4名同学参加趣味“套圈”比赛，场地设计如下图所示。 （1）这样设计比赛场地公平吗？ （2）请你设计并画出一个公平的比赛场地示意图。 【变式训练】（23-24六年级下·甘肃酒泉·期中）用下面的方法可以测量出没有标出圆心的圆的直径。这样测量的依据是（    ）。 A．直径是圆中最长的线段 B．圆的直径是相等的 C．圆是轴对称图形 D．圆的半径是直径的一半 高频考点讲练2：画圆 【典例精讲】（24-25六年级上·广东深圳·期中）以虚线为对称轴画出轴对称图形的另一半。 【变式训练】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）在下面的空白处画一个半径是2厘米的半圆形，然后在半圆形内画一个最大的三角形，再求三角形的面积。 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）下面四幅图中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25六年级上·陕31．西咸阳·期中）下面各图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点讲练4：圆的周长 【典例精讲】（23-24六年级下·广东湛江·期末）一根铁丝可以围成一个半径是4厘米的圆，如果把它围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？ 【变式训练】（23-24六年级上·广东清远·期中）笑笑和淘气各画了一个圆，如果笑笑画的圆的半径等于淘气画的圆的直径，那么笑笑画的圆的周长是淘气画的圆的周长的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C． D． 高频考点讲练5：半圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）下图是甲乙两辆汽车的行走路线，已知甲车是1号路线，乙车是2号路线，甲乙两车从A地到B地，谁走的路程长？（    ） A．甲走的路程长 B．乙走的路程长 C．甲乙车走的路程一样长 D．无法确定 【变式训练】（23-24六年级上·广东茂名·期中）爷爷在后院建了一个半圆形菜地，其直径为10米，需要多长的篱笆？现在为了节约成本，把其中一面靠墙，菜地现在需要多长的篱笆？ 高频考点讲练6：圆的周长的应用 【典例精讲】（2023·广东深圳·小升初真题）如图，底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离为26.12米，油桶从墙的一侧滚到另一侧要滚( )圈。 【变式训练】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）一个圆形牛栏的半径是12米，要用多长的铁丝才能把牛栏围上3圈？（接头处忽略不计） 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级上·陕西延安·期末）计算下面图形的周长。 【变式训练】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）如图，甲、乙两部分的周长关系是（    ）。 A．甲比乙长 B．乙比甲长 C．甲、乙一样长 高频考点讲练8：圆周率的历史 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·单元测试）圆A的直径是6cm，圆B的直径是2dm，它们的圆周率（    ）。 A．圆A大 B．圆B大 C．一样大 D．不确定大小 【变式训练】（22-23六年级上·广东深圳·期末）在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家（    ）得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14，他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。 A．祖冲之 B．杨辉 C．刘锻 D．贾宪 高频考点讲练9：圆的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·四川成都·期末）转化是一种重要的数学思想，小学数学学习中经常用到，以下（    ）没有用到转化的思想。 A． B． C．公顷的是？公顷 D． 【变式训练】（2023·陕西西安·小升初真题）两个圆按照上图所示不同位置关系摆放，从左到右，两个圆的重叠部分越来越小，那么两个圆形中空白部分的面积差( )。（填变大，变小或不变） 高频考点讲练10：圆的面积的应用 【典例精讲】张奶奶用25.12米长的竹篱笆一边靠墙围了一个半圆形的鸡舍，鸡舍的占地面积是多少平方米？ 【变式训练】（23-24六年级上·广东深圳·期中）按要求画一画，算一算。 （1）如图是一个直径为4厘米的圆，请在这个圆内画一个最大的正方形。 （2）将圆以内正方形以外的部分涂上阴影，求出阴影部分的面积。 高频考点讲练11：圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·广东湛江·期末）一个圆环，内圆的直径是5分米，环宽是1分米，这个环形的面积是( )平方分米。 【变式训练】（24-25六年级上·陕西铜川·期中）求阴影部分的面积。 高频考点讲练12：求最大面积 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 【变式训练】（21-22六年级上·辽宁·期中）周长相等的长方形、正方形、圆，( )的面积最大。面积相等的长方形、正方形、圆，( )的周长最小。 高频考点讲练13：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）如图所示，妙想模仿古钱币造型的沈阳方圆大厦，设计了一个建筑模型，模型正面是铜钱的形状，圆的直径是30厘米，中间正方形的边长是10厘米，这个模型正面的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】（24-25六年级上·吉林长春·期末）下面每个正方形的边长都相等，下面左图阴影部分的面积与下面右边图（    ）阴影部分的面积相等。 A．① B．② C．③ 高频考点讲练14：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 【变式训练】（23-24六年级上·河南信阳·期末）一张桌面半径是r米的圆形餐桌，折叠后是一个正方形。折叠后的桌面面积是2r2。( )（判断对错） 高频考点讲练15：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级上·广东茂名·期中）一个正方形的面积是28平方厘米，笑笑在这个正方形中画了一个最大的圆，如图1所示。你能帮她计算出阴影部分的面积吗？ （1）可以这样思考：解决问题的关键是求圆的面积，但是我们无法求出圆的半径。我们可以运用“转化思想”，把正方形分成大小相等的小正方形（如图2），圆半径的平方就等于（    ），从而可以求出圆的面积。 （2）列式解答。 【变式训练】（22-23六年级上·安徽阜阳·期末）求涂色部分的周长和面积。    【演练1】（2024·安徽淮北·小升初真题）如图有( )条对称轴，如果每个圆的周长是25.12cm，长方形的面积是( )cm2。 【演练2】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，求阴影部分面积。（单位：厘米） 【演练3】（2024·陕西西安·小升初真题）如图，以大圆的半径为直径画一小圆，大圆的周长是小圆周长的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 【演练4】（2024·广东清远·小升初真题）计算阴影部分的面积。 【演练5】（2024·四川成都·小升初真题）如图所示，求图中阴影部分的面积。（取3.14） 基础夯实 能力提升 1．（2025六年级下·全国·专题练习）如图所示，把一条线段平均分成四份，圆的直径正好是其中一份，这个圆的周长约是（    ）。 A．OA B．OB C．OC D．OD 2．（24-25六年级上·广东清远·期末）用折叠法从一个圆形纸片上找到圆心，要将圆形纸片至少对折（    ）次。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25六年级上·广东清远·期末）如图，圆的半径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 4．（25-26六年级上·全国·课后作业）车轮滚动时，车轮的中心点可以看作是圆的( )，从这个中心点到圆上任意一点的距离都( )。在车的行进过程中，车轮中心点是沿一条( )在运动。 5．（2023·广东深圳·小升初真题）用圆规画一个圆，如果圆规两脚尖之间的距离是3cm，这个圆的周长是( )cm。 6．（2025六年级下·全国·专题练习）圆的周长总是它的直径的3.14倍。( )（判断对错） 7．（23-24六年级上·四川成都·期末）将圆规两脚间的距离调整为9厘米画圆，画出的圆直径就正好是9厘米。( )（判断对错） 8．（23-24六年级上·广东清远·期中）求下面圆的周长。 9．（25-26六年级上·全国·课后作业）“南昌之星”摩天轮是世界第三高的摩天轮，其转盘半径大约为77m。坐在摩天轮的座椅上转动一周，转过的距离大约是多少米？如果摩天轮上大约每隔8m装挂1个透明座舱，那么大约一共可以装挂多少个座舱？ 10．（24-25六年级上·安徽淮南·期末）垃圾分类有利于改善城乡环境，保障人体健康，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面是由长方形和两个半圆组成（如图），这张海报的面积是多大？物业想给这张海报布置一圈灯带，一共需要多长灯带？ 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2024·辽宁营口·小升初真题）一个圆的直径扩大到原来的3倍，圆的面积就会扩大到原来的（    ）倍。 A．9 B．18 C．27 D．36 12．（24-25六年级上·吉林长春·期末）小新有一张边长为8厘米的正方形纸，他想从这张纸上剪下一个最大的圆作为圣诞装饰。这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．16π B．25π C．64π D．8π 13．（23-24六年级上·四川成都·期末）大圆半径是小圆半径的3倍，小圆面积是6.28平方厘米，则大圆面积是（    ）平方厘米。 A．18.84 B．6.28 C．56.52 D．37.68 14．（2024·山西晋城·小升初真题）如图，长方形里有一个最大的半圆，这个长方形的周长是( )cm，阴影部分的面积是( )cm2。 15．（2024·山西吕梁·小升初真题）一个钟表，分针长40厘米，一个小时分针的尖端走了 厘米，分针扫过的面积是 平方厘米。 16．（24-25六年级上·广东湛江·期末）一个半圆形的鸡舍，它的半径是5米，这个半圆形鸡舍的周长是( )米，面积是( )平方米。 17．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算下面图形的周长。 18．（24-25六年级上·浙江衢州·期中）如图，有4根直径都是2米的圆木头，如果用铁丝把它们捆在一起，捆一圈至少需要多长的铁丝？（接头处不计） 19．（24-25六年级上·浙江衢州·期中）一只小羊拴在草地上吃草，拴羊的绳长为8米。若将拴羊的绳子加长1米，则小羊可以多吃多少面积的草？ 20．（20-21六年级上·辽宁沈阳·期末）直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$